運(yùn)用分類討論數(shù)學(xué)思想求解等腰三角形中多解問題

1、運(yùn)用分類討論數(shù)學(xué)思想求解等腰三角形中多解問題分類討論數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法，在等腰三角形中，往往會(huì)遇到條件或結(jié)論不唯一的情況，這時(shí)就需要分類討論.本節(jié)主要介紹下等腰三角形中需要分類討論的常見題型.類型一當(dāng)頂角或底角不確定時(shí).已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70 ,則這個(gè)等腰三角形的頂角為（A ）A.70 B. 40 C.70。或 40 D. 70 或 55 .一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于110 ,則這個(gè)三角形的三個(gè)角應(yīng)該為：70 、55 、55 或 70 、70 、40 .類型二當(dāng)?shù)缀脱淮_定時(shí).一個(gè)等腰三角形的一邊長為4 cm ,另一邊長為5 cm ,那么這個(gè)等腰三角形的周長是（C

2、）A.13 cm B. 14 cm C.13 cm 或 14 cm D. 以上都不對(duì).已知實(shí)數(shù)x , y滿足| x - 4| + V（y-8） = 0 ,則以x , y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（ B）A.20 或16 B. 20 C.16 D. 以上都不對(duì)【解析】 | x - 4| +x = 4 , y = 8 .這時(shí)底和腰都不確定，就需要分類討論了 .當(dāng)?shù)资?時(shí)，腰為8時(shí)，以4、8、8為三邊可以構(gòu)成三角形，周長=4 + 8 + 8 = 20 .當(dāng)?shù)资?時(shí)，腰為4時(shí)，以8、4、4為三邊構(gòu)不成三角形.故選B答案.類型三當(dāng)高的位置不確定時(shí)5.在等腰三角形 ABC中，AD XBC于點(diǎn)D,且

3、AD = 1/2 BC ，則 AABC底角的度數(shù)為: 45 或 75 或 15 .【解析】當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，/ A = 90 ,AB = AC ,BDC.AD BC,/B = /C = 45 .當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，AB = BC ,AC,.在 RtMDB 中，/D = 90 ,AD = 1/2 ABZABD = 30 ,ZBAC = /C = 15 .(三角形外角定理)當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，BC = AC ,.在 RtADC 中，/ADC = 90 ,AD = 1/2 AC ,/C = 30 ,. /B = ZBAC = 1/2(180 - 30 )= 75 .綜上所述：AABC底

4、角的度數(shù)為45 或75 或15類型四由腰的垂直平分線引起的分類討論6.在 XBC中，AB = AC , AB的垂直平分線與 AC所在直線相交所得的銳角為 40求底角/B的大小.【解析】如圖，當(dāng)AB的中垂線MN與AC相交時(shí)，ZAMD = 90 , jADM = 40 ,ZA = 90 - 40 = 50 .AB = AC ,/B = /C = 1/2 (180 - ZA) = 65 ;如圖，當(dāng)AB的中垂線 MN與CA的延長線相交時(shí),fZAED = 90 , ADE = 40 , /DAB = 90。- 40 = 50 .AB = AC ,/B = /C = 1/2 ZDAB = 25 .綜上所述：底角 /B的度數(shù)為65?；?5。.類型五 由腰上的中線引起的分類討論7.等腰三角形底邊長為 5 cm , 一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3 cm ,求腰長【解析】解：設(shè)等腰三角形的腰長為 2x , 一腰上的中線長為y，根據(jù)題意可得:(2x + x)- (5 + x)= 3 或(5 + x)-(2x + x)= 3 ,2x = 8 或 2, 當(dāng)AABC的三邊長為8 , 8 , 5時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，可