地球物理反演成像方法綜述

1、地球物理反演概述地球物理反演是近年來(lái)發(fā)展很快的地球物理學(xué)中利用地球表面及鉆孔中觀測(cè)到 的物理數(shù)據(jù)推測(cè)地球內(nèi)部介質(zhì)物理參數(shù)分布和變化的方法。其目的就是根據(jù)觀測(cè)數(shù) 據(jù)等已知信息求取地球物理模型。眾所周知，地球物理學(xué)中有地震學(xué)、電磁學(xué)、重 力學(xué)、地磁學(xué)、地?zé)釋W(xué)、放射性學(xué)和井中地球物理等學(xué)科。盡管地球物理學(xué)家研究 地球所依據(jù)的物性參數(shù)不同，方法各異，但就工作程序而言，一般都可分為數(shù)據(jù)采 集，資料處理和反演解釋等三個(gè)階段。數(shù)據(jù)采集就是按照一定的觀測(cè)系統(tǒng)、一定的測(cè)線、測(cè)網(wǎng)布置，在現(xiàn)場(chǎng)獲得第一 手、真實(shí)可靠的原始資料。所以數(shù)據(jù)采集是地球物理工作的基礎(chǔ)，是獲得高質(zhì)量地 質(zhì)成果的前提和條件；資料處理的目的是通過(guò)

2、各種手段，去粗取精，去偽存真，壓 制干擾，提高信噪比，使解釋人員能從經(jīng)過(guò)處理的資料(異?；蝽憫?yīng))中，較準(zhǔn)確的提 取出測(cè)區(qū)的地質(zhì)、地球物理信息。所以，資料處理是從原始觀測(cè)數(shù)據(jù)到地球物理模 型之間的必不可少的手段和過(guò)渡階段；反演解釋的目的，用地球物理的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)， 就是實(shí)現(xiàn)從地球物理異常(或響應(yīng))到地球物理模型的映射，使解釋人員能從經(jīng)過(guò)處理 的地球物理資料(異?；蝽憫?yīng))中提取出獲得最接近真實(shí)情況的地質(zhì)、地球物理模型， 圓滿的完成提出的地質(zhì)任務(wù)。雖然各種地球物理方法的原理、使用的儀器設(shè)備和資料采集方式有很大的不同， 但是它們資料處理和反演解釋的基礎(chǔ)確有許多共同之處。前者的基礎(chǔ)是時(shí)間(空間) 序列分析，

3、后者的基礎(chǔ)是反演理論。在本文中只涉及地球物理資料的反演解釋，地 球物理反演是地球物理資料定量解釋的理論和算法基礎(chǔ)，也是地球物理資料處理技 術(shù)的基礎(chǔ)之一。1地球物理反演概述地球物理反演理論是近二三十年來(lái)才發(fā)展起來(lái)的地球物理學(xué)的一門重要分支， 它是研究從地球物理觀測(cè)數(shù)據(jù)向量，到地球物理模型參數(shù)向量映射理論和方法的一 門學(xué)科。雖然地球物理問(wèn)題千差萬(wàn)別，但把地球物理觀測(cè)數(shù)據(jù)和地球物理模型參數(shù) 聯(lián)系起來(lái)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，卻只有線性和非線性兩大類。如以d表示觀測(cè)數(shù)據(jù)向量，m 表示模型參數(shù)向量，？是表示聯(lián)系d和m的函數(shù)或泛函表達(dá)式，則凡滿足(1) f (m + m ) = f (m ) + f (m ) = d

4、 f (am) = af (m)兩個(gè)條件時(shí)，稱?為線性函數(shù)或線性泛函，故這類問(wèn)題叫線性問(wèn)題，其松為常數(shù)。相 反，不滿足上面兩個(gè)條件之一的所有問(wèn)題都統(tǒng)稱為非線性問(wèn)題。在地球物理中，不分線性和非線性，從模型參數(shù)m到觀測(cè)數(shù)據(jù)d的變換(或映射)， 統(tǒng)稱為正演或正問(wèn)題，并記為：d = f (m)；反之，由觀測(cè)數(shù)據(jù)d反推模型參數(shù)m的變 換(或映射)，叫反演或反問(wèn)題，并記為：m = f -i(d)。大多數(shù)反演方法都是基于最優(yōu) 化的原理，即從大量已知模型的正演結(jié)果中，選出方差(或其它范數(shù)規(guī)則)為最小的那 個(gè)模型作為待求模型的解。因此，正演是反演的前提和瓶頸，成了提高反演速度的 關(guān)鍵。一般說(shuō)來(lái)，地球物理反演的目

5、標(biāo)函數(shù)都是高次非線性函數(shù)，有多個(gè)極值。反演 時(shí)，如初始模型選取不當(dāng)，不靠近目標(biāo)函數(shù)的全局極小，因而在迭代過(guò)程中，只能 在局部極小點(diǎn)附近搜索，很難跳出局部極小的阱，這時(shí)，只能獲得局部最優(yōu)解；有 的反演方法，由于初始模型選取和參數(shù)修改的隨機(jī)性，在搜索的過(guò)程中，可能在模 型空間全局尋優(yōu)，其解就是全局最優(yōu)解。所以也有的學(xué)者主張將地球物理反演問(wèn)題 分為局部尋優(yōu)和全局尋優(yōu)兩類。正如反演理論家R. L. Parker在其著名的論文Understanding Inverse Theory 中提出，地球物理反演理論必須回答以下4個(gè)問(wèn)題：解的存在性(Existence)o即給定一組地球物理觀測(cè)數(shù)據(jù)d，i=1,2,

6、3,M之 后，是否存在一個(gè)能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的地球物理模型m?解的非唯一性(Non-uniqueness)。如能求得能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的地球物理模型， 解是唯一的還是非唯一的？模型構(gòu)制(Model Construction)o如何求得能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的一個(gè)地球物理 模型?解的評(píng)價(jià)(Appraisa1)。既然解是非唯一，地球物理反演所獲得的任一解又 有何意義？理論嚴(yán)格證明，給定一組地球物理觀測(cè)數(shù)據(jù)以后，總可以找到一個(gè)能擬合它的 地球物理模型。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)并非無(wú)限，不構(gòu)成一個(gè)數(shù)據(jù)的完備群，加之每 一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)均有誤差，這就決定了地球物理反問(wèn)題的解是非惟一的。雖然反演問(wèn) 題的解是非惟一的，但這個(gè)非惟一解

7、仍然是有意義的。如前所說(shuō)，地球物理反演理論是近二三十年來(lái)才發(fā)展起來(lái)的，在上世紀(jì)70年代 以前，地球物理資料的定量解釋從屬于各種單一的觀測(cè)方法，沒(méi)有形成適用于各種 地球物理方法的統(tǒng)一的反演理論。60年代末至70年代初以美國(guó)Backus和Gilbert為首的 一批地球物理學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家研究了地球物理數(shù)據(jù)和地球模型的共性，揭示了地 球物理反問(wèn)題內(nèi)在的非唯一性，并提出用算子譜分析構(gòu)成反問(wèn)題解估計(jì)的方法，以 及評(píng)價(jià)解估計(jì)的各項(xiàng)準(zhǔn)則。這一時(shí)期的研究成果為地球物理反演建立了基本理論框 架：即地球模型在數(shù)學(xué)上可以用有限個(gè)有序的函數(shù)集合來(lái)表示，它們與線性抽象空 間的元相對(duì)應(yīng)；地球物理數(shù)據(jù)是有限個(gè)不精確實(shí)數(shù)組成

8、的集合，它們與地球模型的 聯(lián)系表示為有限個(gè)泛函方程式組成的方程組；由于零空間的存在和數(shù)據(jù)的有限性， 地球物理反問(wèn)題不存在唯一解，而只能根據(jù)某些準(zhǔn)則求取解的某種平均（稱為解估 計(jì)）；由于反問(wèn)題高度的非唯一性，對(duì)求取的解估計(jì)必須進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則之一 是在分辨率和方差之間取最佳折衷。應(yīng)用這種理論于離散的地球模型，在70年代發(fā) 展了針對(duì)非線性地球物理反問(wèn)題的所謂“廣義線性反演”方法，在解決地球振蕩、 地震波與地球波速結(jié)構(gòu)、大地電磁和重磁反問(wèn)題中迅速得到了廣泛應(yīng)用。隨著偏微分算子理論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的發(fā)展和計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速進(jìn)步，在80年 代地球物理反演研究的中心迅速地轉(zhuǎn)移到偏微分方程反問(wèn)題的軌道上來(lái)。

9、根據(jù)運(yùn)動(dòng) 方程和本構(gòu)方程，大多數(shù)地球物理現(xiàn)象都可以用二階雙曲型、橢圓型或拋物型偏微 分方程的邊值問(wèn)題描述，因此地球物理反問(wèn)題本質(zhì)上是相應(yīng)類型的偏微分方程系數(shù) 項(xiàng)或源項(xiàng)的反演。例如，地震反問(wèn)題可表為聲波或彈性波方程系數(shù)項(xiàng)的反演，重磁 反問(wèn)題表為泊松方程源項(xiàng)的反演，地?zé)岱磫?wèn)題表為熱傳導(dǎo)方程系數(shù)項(xiàng)反演等。與正 問(wèn)題研究相反，由于零空間造成的多解性最為嚴(yán)重，泊松方程反問(wèn)題的求解最為困 難，而波動(dòng)方程反問(wèn)題研究的相對(duì)比較充分，并且已經(jīng)證實(shí)，一維波動(dòng)方程反問(wèn)題 存在精確解。高維波動(dòng)方程反演采用的主要方法包括基于優(yōu)化理論的方法、逆散射、 層析成像反演、攝動(dòng)法、純數(shù)值方法等。2非線性反演及其線性化地球物理反演

10、研究的是如何根據(jù)各種地球物理觀測(cè)數(shù)據(jù)推測(cè)地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)形 態(tài)和物質(zhì)性質(zhì)。地球內(nèi)部物質(zhì)組成及結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性決定了這類問(wèn)題的非線性屬性。即使在經(jīng)典物理學(xué)的線性理論框架上，一些地球物理現(xiàn)象也會(huì)表現(xiàn)出非線性。因此， 求解非線性問(wèn)題在地球物理反演的研究中有著十分重要的地位。地球物理反演的出發(fā)點(diǎn)是反映地球內(nèi)部現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程。通常情況下，這 些方程都是非線性的，只能用數(shù)值法求解，如有限元法、有限差分法等。然而，這 些純數(shù)值法計(jì)算量很大，即使利用最現(xiàn)代的計(jì)算設(shè)備，也難以在高維問(wèn)題中得到實(shí) 際應(yīng)用。因此，在某些條件下，常采用近似方法求解。相對(duì)而言，線性反演比較簡(jiǎn) 單，所需內(nèi)存小，計(jì)算工作量也不大；非線性反演問(wèn)

11、題則不同，它要比線性反演問(wèn) 題困難得多、復(fù)雜得多。解決非線性問(wèn)題有兩種辦法，一是把非線性問(wèn)題線性化， 按線性問(wèn)題解決，然后通過(guò)迭代的辦法，逐次逼近，求得反演問(wèn)題的近似解；一是 不走線性化的路子，而按非線性的辦法進(jìn)行反演。實(shí)踐證明，非線性問(wèn)題線性化的 辦法，簡(jiǎn)單、易行，在許多情況下也可以取得較好的結(jié)果，但是在目標(biāo)函數(shù)具多極 值的情況下，在反演迭代中，容易陷入局部極小，而且反演結(jié)果極大的取決于初始 模型，也可能使反演出現(xiàn)不穩(wěn)定，甚至無(wú)解。近年來(lái)，對(duì)非線性反演問(wèn)題的研究已有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，國(guó)內(nèi)外學(xué)者先后發(fā)表并 實(shí)現(xiàn)了一些具有巨大潛力和應(yīng)用價(jià)值的非線性反演方法的文章。如蒙特卡洛法(Mont e-Carl

12、o Method)，模擬退火法(Simulated Annealing)，人工神經(jīng)元法(Artificial Neural Network)，遺傳算法(Genetic Algorithm)，多尺度反演法(Multi-Scale Inversion)，同 倫反演法(Homotopy Method)，非線性共軛梯度法(Non-Linear Conjugate Gradient M ethod)，原子躍遷法(Atomic Transition Algo-rithm)，量子退火法(Quantum Annealin g)，量子遺傳法(Quantum Genetic Algorithm)，螞蟻覓食法(An

13、t Colony Optimization Algorithm)，免疫算法(Immune algorithm)，離子群算法(Particle Swarm Optimizatio n)，演化博弈算法(Evolution-ary Game)等等。這些方法的原理各不相同，基礎(chǔ)也不 一樣，有的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，如蒙特卡洛法，同倫反演法，非線性共軛梯度法；有的基 礎(chǔ)是物理，如多尺度反演法，模擬退火法，原子躍遷法，量子退火法，量子遺傳法; 有的是生物，基于仿生原理，如人工神經(jīng)元法，遺傳算法，螞蟻覓食法，免疫算法， 演化博弈算法等等。即便是基于仿生的各種方法，其原理也不一樣。正由于此，目 前還沒(méi)有一種各家都可接受

14、的非線性反演的分類方法。雖然非線性反演的方法有很多，但是從實(shí)用角度出發(fā)，比較常用的方法還是線 性化，即用一系列的線性過(guò)程來(lái)逼近，用迭代過(guò)程來(lái)求解，在每一次迭代中都用線 性方法將積分方程化為線性泛函來(lái)求解，實(shí)現(xiàn)線性化的基礎(chǔ)是泛函的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。這種迭代方法被稱為廣義線性反演方法，這種近似方法在研究弱散射問(wèn)題上仍然有 著很強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講，線性近似方法是最基本的近似方法，由于原理 簡(jiǎn)單、運(yùn)算時(shí)間短，而被廣泛應(yīng)用。其中最常用的線性化方法有Born近似和Ryto v近 似。Born近似方法是基本的線性方法，在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)不同的情況又發(fā)展出了 一些變形。Born近似方法假設(shè)在異常體內(nèi)的散射

15、場(chǎng)為零，用入射場(chǎng)來(lái)近似總場(chǎng)，從而使非 線性積分方程線性化。在反演問(wèn)題中，常常利用最小二乘法和Born近似方法進(jìn)行反 復(fù)迭代。這種迭代的優(yōu)點(diǎn)是概念簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、抗噪聲能力強(qiáng)及每次迭代時(shí)間短， 其缺點(diǎn)是收斂速度慢。變形Born近似方法也是在反演中常用的方法，在每次迭代中，背景介質(zhì)的參數(shù) 都要根據(jù)上次迭代結(jié)果做相應(yīng)的修正。這種方法的特點(diǎn)是收斂速度快，但是每次迭 代都要計(jì)算更新的背景介質(zhì)的格林函數(shù)，計(jì)算工作量較Born近似方法大得多。在研究三維電阻率層析成像方法時(shí)，A. Lumbangh等人對(duì)傳統(tǒng)的Born迭代成像 方法進(jìn)行了改進(jìn)。這種方法不需要與真實(shí)電阻率結(jié)構(gòu)有關(guān)的初始模型，同時(shí)在正演 時(shí)沒(méi)有使用

16、Born近似，避免了處理大對(duì)比度問(wèn)題時(shí)將出現(xiàn)的困難。該算法也不必計(jì) 算雅可比矩陣，節(jié)省了時(shí)間也降低了對(duì)機(jī)器內(nèi)存的要求。后來(lái)?xiàng)罘濉⒙櫾谄接痔岢隽俗兎諦orn近似方法，并將其應(yīng)用在二維軸對(duì)稱非均 勻介質(zhì)結(jié)構(gòu)的反演和成像研究中。這種方法首先利用Born近似將非線性積分方程線 性化，然后應(yīng)用變分方法導(dǎo)出用于反演的電場(chǎng)積分方程。與Born近似方法相比，這 種方法的收斂速度快，成像質(zhì)量也得到了改善；與變形Born近似方法相比，由于不 需要在每次迭代中重新計(jì)算格林函數(shù)，所以計(jì)算效率有很大提高。Born近似方法的應(yīng)用條件是在異常體內(nèi)部入射場(chǎng)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于散射場(chǎng)，這個(gè)條件 成立的前提是異常體和背景介質(zhì)的參數(shù)對(duì)比度較小，且異常體的尺寸也較小。在地震反演的研究中，較多的人傾向于Rytov近似方法，而在電磁散射的研究中 更廣泛應(yīng)用的則是Born近似方法?；贐orn近似和Rytov近似的一階近似方法構(gòu)成 了波動(dòng)方程的線性反演理論。這種近似是弱散射近似，忽略了多次反射及折射效應(yīng) 等異常體之間及其與背景間的相互作用，只適用于均勻或小擾動(dòng)的非均勻介質(zhì)的情 況。然而，滿足這種近似條件的情況并不是普遍存在的，更多的是異常體與背景介 質(zhì)的參數(shù)對(duì)比度較大的大擾動(dòng)情況，例如，在地震勘探中，工程危體或天然氣層等 探測(cè)目標(biāo)的波速與參考波速之差可能很大。對(duì)于這種情況