高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題2《圓錐曲線中的面積問題》教師版

1、專題02 圓錐曲線中的面積問題一、單選題1直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則的面積的最小值是（ ）AB4CD6【答案】B【分析】由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立求出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對值的最小值，再利用三角形面積公式可求得面積的最小值.【詳解】由拋物線可知，所以，準(zhǔn)線為，依題意設(shè)直線：，代入得，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對值表示是本題解題關(guān)鍵.2已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) ，是橢圓上任意一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）ABCD【答案】B【分析】利

2、用橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式，即可求解.【詳解】由題意知：，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) ，是橢圓上任意一點(diǎn)，所以是焦點(diǎn)三角形，且，所以，故選：B3已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上一點(diǎn)P使得，求的面積（ ）ABCD【答案】C【分析】先根據(jù)雙曲線方程得到，設(shè)，可得，. 由，在根據(jù)余弦定理可得:，即可求得答案.【詳解】，所以，在雙曲線上，設(shè)，由，在根據(jù)余弦定理可得:故由可得，直角的面積故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決橢圓或雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形問題時(shí)，往往利用橢圓或雙曲線的定義進(jìn)行處理，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理和三角形的面積公式進(jìn)行求解，要注意整體思想的應(yīng)用.4已知橢圓兩焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，

3、若，則的的內(nèi)切圓半徑為（ ）ABCD【答案】B【分析】由余弦定理得，得到，可求得面積，再由可得答案.【詳解】，由題意得，由余弦定理得，得，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】橢圓的焦點(diǎn)三角形常常考查橢圓定義，三角形中的正余弦定理，內(nèi)角和定理，面積公式等等，覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，因此受到了命題者的青睞，特別是面積和張角題型靈活多樣，是歷年高考的熱點(diǎn).5過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）ABCD9【答案】B【分析】首先設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，從而得到直線.聯(lián)立直線與拋物線，利用根系關(guān)系得到，再求的面積即可.【詳解】由拋物線，得，設(shè)，由題知：

4、，即.由題意知：，所以，故直線.聯(lián)立得：.所以，.故.所以.則的面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用點(diǎn)差法求焦點(diǎn)三角形的面積問題.點(diǎn)差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候,利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn),并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程,并作差.求出直線的斜率,然后利用中點(diǎn)求出直線方程.利用點(diǎn)差法可以減少很多的計(jì)算,所以在解有關(guān)的問題時(shí)用這種方法比較好.二、多選題6在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足 (為坐標(biāo)原點(diǎn))，下列說法正確的有（ ）A雙曲線的虛軸長為B雙曲線的離心率為C雙曲線的一條漸近線

5、方程為D三角形的面積為【答案】BD【分析】根據(jù)題中條件，得到雙曲線的半焦距為，由雙曲線方程可得，其漸近線方程為，設(shè)，則，根據(jù)，以及點(diǎn)在圓上，求出的坐標(biāo)，得出，求出雙曲線方程，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在圓上，所以雙曲線的半焦距為，由可得其漸近線方程為，因?yàn)閳A與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于、兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則，又，所以，即，整理得，又點(diǎn)在圓上，所以，由解得，即，又點(diǎn)在漸近線上，所以，由解得，因此雙曲線的方程為；所以其虛軸長為，故A錯(cuò)；離心率為，故B正確；其漸近線方程為，故C錯(cuò)；三角形的面積為，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于通過題中條件，

6、求出雙曲線的方程；根據(jù)漸近線與圓的交點(diǎn)，以及，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，得出之間關(guān)系，進(jìn)而可求出雙曲線方程，從而可得出結(jié)果.7已知曲線C的方程為，點(diǎn)P是C上的動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)M，直線與直線交于點(diǎn)N，則的面積可能為（ ）A73B76C68D72【答案】ABD【分析】設(shè)，求出，求出的坐標(biāo)和的最小值，得到的面積的最小值，即得解.【詳解】設(shè)，則設(shè)，則，直線的方程為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直線的方程為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立從而面積的最小值為.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系

7、列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性、直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式. （5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.8雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）A雙曲線C的離心率為；B若，則的面積為；C的最小值為2；D雙曲線與C的漸近線相同.【答案】ABD【分析】由題知，雙曲線方程，再利用雙曲線離心

8、率，雙曲線漸近線方程，點(diǎn)到直線的距離可以分別判斷選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，則離心率為，故A正確；選項(xiàng)B，若，又點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，不妨設(shè)在上，即，點(diǎn)到漸近線的距離為，則，所以的面積為，故B正確；選項(xiàng)C，的最小值就是點(diǎn)F到漸近線的距離，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，它們的漸近線都是，漸近線相同，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要熟記漸近線方程和離心率公式，考查學(xué)生的分析問題能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.9已知、是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）A雙曲線的漸近線方程為B

9、以為直徑的圓方程為C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D的而積為【答案】AD【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)的正誤；求得的值，可求得以為直徑的圓的方程，可判斷B選項(xiàng)的正誤；將圓的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由雙曲線方程知,，焦點(diǎn)在軸，漸近線方程為，A正確；，以為直徑的圓的方程是，B錯(cuò)誤；由得或，由得或.所以，點(diǎn)橫坐標(biāo)是，C錯(cuò)誤；，D正確故選：AD【點(diǎn)睛】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.三、解答題10已知圓，直線是圓與圓的公共弦所在直線方程，且圓的圓心在直線上.（1）求圓

10、的方程；（2）過點(diǎn)分別作直線、，交圓于、四點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)出經(jīng)過圓和直線的圓系方程，利用圓心在直線上可求得結(jié)果；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求出四邊形的面積為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則直線，利用幾何方法求出和，求出四邊形面積，再換元求出最值可得取值范圍.【詳解】（1）依題意可設(shè)圓的方程為，整理得，所以圓心，因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，四邊形面積為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，則直線，圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，所以，所以四邊形面積為，令，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)四邊

11、形的面積的最大值為，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)四邊形面積的最小值為，綜上所述：四邊形面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為.11已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（1）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求線段的長；（2）記與的面積分別為和，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）同橢圓方程為，直線方程為，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理、弦長公式能求出的長（2）當(dāng)直線無斜率時(shí)，直線方程為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出的最大值【詳解】解：（1）因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn)，所以

12、，又，所以，所以橢圓方程為，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為1，所以直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉，得到，所以，所以線段的長（2）當(dāng)直線無斜率時(shí)，直線方程為，此時(shí)，面積相等，當(dāng)直線斜率存在（由題意知時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉得，方程有根，且，此時(shí)時(shí)等號成立）所以的最大值為【點(diǎn)睛】求解時(shí)注意根的判別式，韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用12已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，P是拋物線C上異于A、B的一點(diǎn)，若重心的縱坐標(biāo)為，且直線、的傾斜角互補(bǔ)（）求k的值（）求面積的取值范圍【答案】（）2；（）.【分析】（）設(shè)，利用斜率公式得到直線、的斜率，根據(jù)直線、的傾斜角互補(bǔ)得

13、到，根據(jù)三角形的重心的坐標(biāo)公式可得，從而可得；（）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出邊上的高，根據(jù)面積公式求出面積，再利用導(dǎo)數(shù)求出取值范圍即可.【詳解】（）設(shè)，則，同理可得，因?yàn)橹本€、的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，又重心的縱坐標(biāo)為，根據(jù)三角形的重心的坐標(biāo)公式可得，所以，所以（）由（）知直線，與拋物線方程聯(lián)立，并整理得，其判別式，所以而，因此，又由（）知，所以，所以，到直線的距離為，所以令，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題中用到的結(jié)論：三角形的重心的坐標(biāo)公式，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則三角形的重心的坐標(biāo)為，弦長公式：，本題考查了運(yùn)算求解能力

14、，邏輯推理能力，屬于中檔題.13已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓左、右頂點(diǎn)），過點(diǎn)作直線與橢圓相切，且與直線相交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若點(diǎn)在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的斜率的平方.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式列方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算得到，由此證得.（2）求得，由此求得三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最小值，進(jìn)而得出直線的斜率的平方.【詳解】（1）證明：由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè).由，得，.即點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，.故.（2）解：點(diǎn)在軸上方，由

15、（1）知；當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)，由（1）知，令則由當(dāng)時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)即的最小值，此時(shí)，解得.綜上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的斜率的平方為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示垂直關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的最值有關(guān)的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是表示出，按和分別將用表示，并構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值，考查了學(xué)生分析解決問題的能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.14設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓(ab0)的左、右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為，過F2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且的周長為，（1）求橢圓C的方程；（2）過F2點(diǎn)且垂直于的

16、直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的周長為，可得，又橢圓的離心率為，即可得出結(jié)果；（2）分類討論：當(dāng)所在的直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)四邊形的面積為：；當(dāng)所在的直線斜率存在且不為時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，分別與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得,利用四邊形的面積，可得關(guān)于斜率的式子，再利用基本不等式求最值即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由的周長為，可得，又橢圓的離心率為，可得，所以，所以橢圓C的方程為：；（2）又橢圓可得：，當(dāng)所在的直線斜率不存在時(shí)，所在的直線斜率為，此時(shí)四邊形的面積為：；當(dāng)所在的直線斜率存在時(shí)

17、，由題意知所在的直線斜率不為，不妨設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，聯(lián)立，化為：，由韋達(dá)定理得：，所以，把換成，可得，所以四邊形的面積為：，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；此時(shí)，綜上：四邊形ACBD面積的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：兩條直線相互垂直，先考慮有一條直線的斜率不存在，再分析直線的斜率存在的情況，利用斜率之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式，四邊形面積計(jì)算公式以及基本不等式求最值.15已知拋物線的焦點(diǎn)F恰為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且拋物線的通徑（過拋物線的焦點(diǎn)F且與其對稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離.（1）求拋物線及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)

18、F作兩條直線，且，的斜率之積為.設(shè)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，求的值；設(shè)直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N.求面積的最大值.【答案】（1）；(2) 【分析】(1)由拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)可得p，求出拋物線方程，根據(jù)通徑與準(zhǔn)線間的距離可求a，c，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式可求出弦長，代入即可計(jì)算求解設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系，得出弦長，同理可得另外一條弦長，根據(jù)三角形面積公式表示出面積，換元后求最值即可.【詳解】(1) ,右頂點(diǎn)為，即拋物線的焦點(diǎn) ,，故拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€的通徑的長等于橢圓的兩準(zhǔn)線

19、間的距離，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(2) 設(shè)，代入 消元得：，設(shè)，又，同理可得仍設(shè)，代入橢圓方程消元得：，即，同理得，（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立），令，則 ，,對于，在 上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解過程中，需要熟練運(yùn)用弦長公式，以及類比的思想的運(yùn)用，在得到三角形面積后，利用換元法，化簡式子，求最值是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵點(diǎn)，題目較難.16已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且短軸長為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用已知條件求出，然后求解橢圓方程；（2）當(dāng)，斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，；當(dāng)，斜率都

20、存在且不為0時(shí)，設(shè)，由求出的坐標(biāo)，然后推出坐標(biāo)，求解，求出三角形的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求解最值.【詳解】（1）由題意知，解得，故橢圓方程為：.（2）當(dāng)，斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，當(dāng)，斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)，由消得，得，又，所以，綜上，面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)

21、用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思.（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式.（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.17在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離之差為.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）本題首先可以設(shè)動點(diǎn)，然后根據(jù)題意得出，通過化簡即可得出結(jié)果；（2）本題首先可排除直線斜率不存在時(shí)的情況，然后設(shè)直線方程為，通過聯(lián)立方程并化簡得出，則，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)的面積為即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)，因?yàn)閯狱c(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距

22、離之差為，所以，化簡可得，故軌跡的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，化簡得，令、，則，因?yàn)椋?，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得或，故直線的方程為：或.【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法以及拋物線與直線相交的相關(guān)問題的求解，能否根據(jù)題意列出等式是求動點(diǎn)的軌跡方程的關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要注意斜率為這種情況，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.18如圖，為橢圓的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1） 求證:點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值；（2）過點(diǎn)作與直線傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于兩點(diǎn).問：為何值時(shí)，

23、的面積最大？并求面積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，面積最大值為.【分析】（1）由題意可得：，不妨設(shè)，則，代入拋物線方程，整理得，計(jì)算可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為，從而得證；（2）由題意可得：，求得直線的斜率，可求得直線的斜率和方程，不妨記，則，代入橢圓方程并整理得，設(shè)，求得的值和點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式可求的面積的最大值，即可求解.【詳解】（1）易知，不妨設(shè)，則，代入拋物線方程得，得， 故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為定值. （2）點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則，所以直線的斜率為，直線的方程為，即，不妨記，則，代入橢圓方程并整理得，設(shè)，則 點(diǎn)到直線的距離，所以 當(dāng)且僅

24、當(dāng)時(shí)取等號，解得，所以，從而故當(dāng)時(shí)，的面積最大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出結(jié)合，可得利用點(diǎn)在拋物線上可求出，利用其計(jì)算的值；第二問關(guān)鍵是根據(jù)傾斜角互補(bǔ)可得直線與直線的斜率互為相反數(shù)，直線的方程為，利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式將的面積表示出來，最關(guān)鍵的是利用基本不等式求最值，這是難點(diǎn)也是易考點(diǎn).19已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，.過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）斜率大于的直線經(jīng)過點(diǎn)，且交橢圓于不同的兩點(diǎn)（在點(diǎn)之間）.記與的面積之比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由橢圓性質(zhì)結(jié)合通徑運(yùn)算即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立

25、方程組結(jié)合韋達(dá)定理得，再由三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋约?，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，則，由，整理可得，解得，所以，則，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理即可得解.20已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若斜率為1且經(jīng)過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長度.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由雙曲線方程可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入即可得解；（2）聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理、弦長公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（

26、1）由題意，雙曲線的焦距，設(shè)點(diǎn)，則，解得，代入雙曲線方程可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（2）由題意，則直線，設(shè)，由，化簡可得，則，所以.21已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線與的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.（）求橢圓的方程；（）分別過作滿足，設(shè)與的上半部分分別交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】（）；（）3.【分析】(I)利用離心率及直線y=1與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離，求出a， b，即可求橢圓C的方程;（）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用基本不等式，求四邊形面積的最大值.【詳解】（）易知橢圓過點(diǎn)，所以， 又， ， 由得，所以橢圓的方程為. （）設(shè)直線，它與C的另一個(gè)交點(diǎn)為D.與C聯(lián)立，消去x，得，.設(shè)交點(diǎn)

27、則， 又到的距離為，所以.令，則，所以當(dāng)時(shí)，最大值為3.又所以四邊形面積的最大值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消元后利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，表示三角形的面積，換元后由均值不等式可求出最值，找到四邊形與三角形的關(guān)系即可解決，屬于中檔題.22在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且的中點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上.求直線的斜率；求面積的最大值.【答案】（1）；（2）；.【分析】（1）利用離心率，點(diǎn)代入橢圓方程，及，解方程即得參數(shù)a，b，即得方程；（2）先利用兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，再作差即求得直線的斜率；設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓

28、的方程，利用弦長公式計(jì)算AB的長度，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算的高，即得到面積，最后利用基本不等式求其最大值即可.【詳解】解：（1）離心率，代入橢圓方程得，又，解得，故橢圓的方程是；（2）點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)，則，作差得，即，因?yàn)椋粗本€的斜率是；設(shè)直線的方程是，聯(lián)立橢圓得，由解得，且，故，又O到直線AB的距離為，故面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參

29、數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍23已知橢圓M：的一個(gè)焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為A，B經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)（）求橢圓方程；（）當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，求線段CD的長；（）記ABD與ABC的面積分別為和，求的最大值【答案】（）；（）；（）的最大值為.【分析】（）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得結(jié)果；（）聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果；（）設(shè)直線：，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求出，變形后利用基本不等式可求得最大值.【詳解】（）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，所以且，所以，所以橢圓方程為

30、.（）因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率為1，直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，則，所以.（）由（）知，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，則，所以異號，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（）問中將三角形面積用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示，并利用韋達(dá)定理和基本不等式解決是解題關(guān)鍵.24已知圓：和點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)，的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，直線，的斜率分別是，若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，再表示為橢圓定義，得到曲線方程；（2）直線與橢圓方程

31、聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，求得，再表示的面積求最值.【詳解】（1）圓：的圓心為，半徑為，點(diǎn)的垂直平分交于點(diǎn)在圓內(nèi)，所以曲線是，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，由，得，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，直線：，聯(lián)立方程組得，由，解得，由知，且，代入化簡得，解得，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求曲線（橢圓）方程，考查直線與橢圓相交中的面積問題，解題方法是：（1）求曲線方程采用定義法，利用幾何關(guān)系表示橢圓的定義，即可得曲線方程（2）直線與橢圓相交問題采取“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，本題的關(guān)鍵是求出，然后代入三角形面積，

32、把面積轉(zhuǎn)化為參數(shù)的函數(shù)后求解25如圖，在平面直標(biāo)中，橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與橢圓C交于x軸上方一點(diǎn)B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中直線CD過原點(diǎn)，求平行四邊形ABCD面積S的最大值；（3）在（2）的條件下，是否存在如下的平行四邊形ABCD：“原點(diǎn)到直線AB的距離與線段AB的長度相等”，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在滿足條件的平行四邊形，理由見解析.【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得到方程組，解出方程即可得到答案.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,可求出，則直線AB的方程為，點(diǎn)到直線AB的距離為，得出S的表達(dá)式，從而可得出答案.

33、(3)假設(shè)存在滿足條件的平行四邊形，則，結(jié)合， 分析解方程組是否有解，從而得出答案.【詳解】解：（1）由題意有，解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線AB的方程為，整理為點(diǎn)到直線AB的距離為由，可知當(dāng)時(shí)，平行四邊形面積的最大值為（3）由（2）有，若存在滿足條件的平行四邊形，只需要方程組有解整理為上述方程組有解的問題化歸為橢圓與圓是否有交點(diǎn)的問題由下圖可知，橢圓和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然點(diǎn)為所示故存在滿足條件的平行四邊形.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題中求四邊形的面積的關(guān)鍵是選擇一個(gè)合適的量將面積的目標(biāo)函數(shù)表示出來，設(shè),則，然后表示出直線AB的方程，由點(diǎn)到直線的距離求出高，即可表示出目

34、標(biāo)函數(shù),(3)問中分析出方程組所表示的幾何意義是關(guān)鍵，屬于中檔題.四、填空題26已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為_【答案】【分析】求出ABF1的周長和面積，可得內(nèi)切圓半徑【詳解】因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，所以直線為：，代入橢圓方程可得：，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為， ，則，故的面積， 的周長C=4a=8，所以的內(nèi)切圓半徑為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查三角形內(nèi)切圓半徑橢圓中過一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為長軸長的2倍，即利用三角形面積可求解.27橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，的面積為_.【答案】.【分析】首先利用

35、橢圓的定義得的周長為，得出直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)周長最大，進(jìn)而得出直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，求出的值，利用即可求解.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得：， 如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)取等號，將代入得，直線的方程為：，設(shè) ，聯(lián)立，消得：，的面積故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是的周長為利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出直線過右焦點(diǎn)時(shí)的周長最大，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立很容易想到，下一步求面積迎刃而解.28已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交與兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為_.【答案】【分析】根據(jù)題意，求出右焦點(diǎn)，將直線方程代入橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，解方程求出方程根，求出的面積即可.【詳解】由題意可知，橢圓，又直線方程為，將其代入橢圓，消去整理可得，設(shè)，則，所以的面積為.故答案為:.29直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列.若中，邊上的中線的長為3，則的面積為_.【答案】【分析】設(shè)出，由成等差數(shù)列得到，利用點(diǎn)差法得到，再利用韋達(dá)定理可得弦長，然后求面積.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，所以，又因?yàn)闉檫吷系闹芯€