對數(shù)正態(tài)分布時恒定應(yīng)力加速

1、對數(shù)正態(tài)分布時恒定應(yīng)力加速壽命試驗方案的優(yōu)化設(shè)計陳文華程耀東（浙江大學(xué)機(jī)械系杭州310027）在加速壽命試驗中，恒定應(yīng)力加速壽命試驗具有方法簡單，設(shè)備 要求不高；試驗理論較為成熟，容易取得成功；試驗獲取的信息最多， 試驗結(jié)果較準(zhǔn)確的優(yōu)點。但傳統(tǒng)的恒定應(yīng)力加速試驗（應(yīng)力水平數(shù)不少于 4個）存在著試驗時間較長、樣本量較大的缺點。因此，有必要對試驗方 案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，尋找一組最佳的應(yīng)力水平和試樣分配比例，使產(chǎn)品在 正常應(yīng)力水平時壽命特征的估計精度最高，同時進(jìn)一步縮短試驗時間、 減少樣本數(shù)量。由于通過試驗數(shù)據(jù)的對數(shù)變換，對數(shù)正態(tài)分布可轉(zhuǎn)化為 正態(tài)分布，因此，本文在假定產(chǎn)品壽命服從線性一一正態(tài)統(tǒng)計模型的

2、 條件下，以產(chǎn)品中位壽命ML估計值的方差最小為設(shè)計目標(biāo)，討論了恒定 應(yīng)力加速壽命試驗方案優(yōu)化設(shè)計的一般問題，并就某型航天電連接器的 加速壽命試驗方案進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。1優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型1.1目標(biāo)函數(shù)的建立若對于第i個試樣，其試驗的應(yīng)力水平為x，失效的時間為y ；而 試驗的樣本量為n，截尾時間為n，則其對數(shù)似然函數(shù)為i咨皿一峋-出1心1）-壹汁（1.11加口一蟲（就（1）“乳一y山一7又；|區(qū)1席吁式中7 一 F 其中Y 0，Y 1和。一一線性一正態(tài)模型統(tǒng)計的參數(shù)。按ML估計理論，模型參數(shù)的估計值 V1和。的協(xié)方差矩陣普是 信息矩陣F的逆陣。若加速試驗有K個應(yīng)力水平xx2，Xk，每個應(yīng)K力水平投

3、試的樣品比例為pp2,，pK，且修尸=1，那么就有1 )E傍)=一也氐)匚1+國一普告)式中C鬢)=饕新E4(EN1+W 在正常工作應(yīng)力水平xo時，正態(tài)分布p階分位數(shù)ML估計值為少p(xo)=To+Vr+Zp。，其漸近方差為VarCy(x()5 (1 ?K rapJFK1 (I tXoiZp) 式中z 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的P階分位數(shù)，V成力水平數(shù)為K時的方差因子。K這樣，若給定試驗的截尾時間n，最高應(yīng)力水平氣和正常應(yīng)力水平 xo；而且在樣本量n 一定的情況下，模型參數(shù)的粗略估計值？。，個1和0 也由其他途徑得到。那么，按照以壽命分布在正常應(yīng)力時P階分位數(shù)估 計值的方差為最小的原則，由(3)式可知，應(yīng)

4、以應(yīng)力水平為K時的方差因 子作為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。在模型參數(shù)估計值下。，七和0已知的條件下，若給定試驗的截尾時 間n，最高應(yīng)力水平氣和正常工作應(yīng)力水平x。，則壽命分布P階分位數(shù) 估計值的方差因子V完全取決于其余K-1個應(yīng)力水平x,x，x，以 及試樣的分配比例P；P2,，PK-1。因此，優(yōu)化設(shè)計的設(shè)1 計變量為K-1x ,x，x ， p ,p，p 。12K-112K-12優(yōu)化設(shè)計實例下面以某型航天電連接器為例，對其以溫度為應(yīng)力的加速壽命試驗 方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，并假定其壽命服從阿倫尼斯一對數(shù)正態(tài)統(tǒng)計模型。 由前期試驗已得到模型參數(shù)的粗略估計值V0 = -16.7087,下1 = 7.531,廿

5、= 0.2789。按設(shè)計條件，確定電連接器正常工作的溫度水平為85C，轉(zhuǎn) 化應(yīng)力為x=2.7920；另外，由電連接器的失效機(jī)理，確定其試驗的最高 溫度水平為140C，轉(zhuǎn)化應(yīng)力為x =2.4204；由電連接器的設(shè)計壽命要求， 確定試驗的截尾時間為1500小時，其對數(shù)截尾時間n =3.1761?，F(xiàn)以正常應(yīng)力水平時中位壽命夕0 5(X0)的方差因子Vk為目標(biāo)函數(shù)， 分別就下述兩種情況對試驗方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。優(yōu)化結(jié)果列于表1。K=5,4,3,2的等間隔應(yīng)力水平、試樣平均分配的傳統(tǒng)恒定應(yīng)力加 速壽命試驗方案，以最低應(yīng)力水平x為設(shè)計變量。兩應(yīng)力水平、試樣不等分配的恒定應(yīng)力加速壽命試驗方案，以最 低應(yīng)力水平

6、x和試樣分配比例p為設(shè)計變量。表1恒定應(yīng)力加速壽命試驗方案的優(yōu)化結(jié)果應(yīng)力水平數(shù)K=5K=4K=3K=2試樣分配比例pj0.2p1=0.25p1=0.3333pj0.5p1*=0.7234最佳應(yīng)力水平x1*2.67142.66302.65182.64012.6411最佳溫度水平T1*101.17C102.36C103.94C105.61C105.48C最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)V *=12.4944 5V *=12.0457 4V*=11.37983七*=8.4078V*=7.1343樣本量n6766634639由上述優(yōu)化結(jié)果可見，對于不同的應(yīng)力水平數(shù)和試樣分配比例，有v *v *v *v *v*5432按照

7、ML估計理論，夕p(x0)漸近地服從正態(tài)分布。那么，當(dāng)要求夕p(x0) 以概率a =60%位于其真值y (x ) 0. 1的范圍內(nèi)時，為了使得經(jīng)優(yōu)化 后的各種試驗方案能達(dá)到相同時估計精度，每種試驗方案應(yīng)具有的樣本 量如表1所示。3結(jié) 論由表1的結(jié)果可知，若假定某型航天電連接器在正常工作溫度時其 中位壽命的估計精度相同，那么兩應(yīng)力水平、試樣不等分配的加速壽命 試驗方案所需的樣本量最小，試驗耗費的時間也最短。因此，在以正常 工作溫度85C時中位壽命的估計精度最高為目標(biāo)時，試驗應(yīng)力水平為 105C和140C、投試樣品的數(shù)量分別為28和11，以及試驗截尾時間為 1500小時的加速壽命試驗方案是電連接器的最優(yōu)加速壽命試驗方案。由 此可見，采用上述方