課標解讀關于標準中的10個核心概念

1、課標解讀第六章關于標準中的10個核心概念稿源：2011版義務教育數(shù)學課程標準解讀作者：2011版課標解讀專家組第六章 關于標準中的10個核心概念在總結前期實驗經(jīng)驗的基礎上，通過廣泛聽取各方意見和建議，此次標準 提出了 10個核心概念。這就是：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù) 分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識。核心概念有何意義呢？首先應該注意到， 這些核心概念的內(nèi)涵在性質(zhì)上是體 現(xiàn)的學習主體一一學生的特征，它們涉及的是學生在數(shù)學學習中應該建立和培養(yǎng) 的關于數(shù)學的感悟、觀念、意識、思想、能力等，因此，可以認為，它們是學生 在義務教育階段數(shù)學課程中最應培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)

2、，是促進學生發(fā)展的重要方面。第二，標準將這些核心概念放在課程內(nèi)容設計欄目下提出，是想表明， 這些概念不是設計者超乎于數(shù)學課程內(nèi)容之上外加的，而是實實在在蘊涵于具體 的課程內(nèi)容之中，或者與課程內(nèi)容緊密結合的。從這一意義上看，核心概念往往 是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓 住教學中的關鍵。并在數(shù)學內(nèi)容的教學中有機地去發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。第三，深入一步講，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學的基本思想。數(shù)學的基本 思想指對數(shù)學及其對象、數(shù)學概念和數(shù)學結構及數(shù)學方法的本質(zhì)性認識。數(shù)學基 本思想集中反映為數(shù)學抽象、數(shù)學推理和數(shù)學模型思想。這些思想是數(shù)學學習中 的重要目標。不難

3、看出，核心概念對數(shù)學基本思想的體現(xiàn)是鮮明的。 比如，與“數(shù) 與代數(shù)”部分內(nèi)容直接關聯(lián)的數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想 等核心概念就不同程度的直接體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示 我們，核心概念的教學要更關注其數(shù)學思想本質(zhì)。第四，這些核心概念都是數(shù)學課程的目標點， 也應該成為數(shù)學課堂教學的目 標，并通過教師的教學予以落實。僅以“數(shù)學思考”和“問題解決”部分的目標 設定來看，標準就提出了： “建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾 何直觀和運算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理 和演繹推理能力”；“增強應用意識，提高實踐能力”；“體驗解決問題方法

4、的 多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”。這些目標表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。綜上所述，把握好這些核心概念無論對于教師教學和學生學習都是極為重要第一節(jié) 數(shù)感一般人提起數(shù)感，總感到它是比較玄乎的。也有人質(zhì)疑，像數(shù)感這種因人的 感覺而異的、較“虛”的東西有必要作為核心概念提出來嗎？ 一些老師也感到數(shù) 感作為課堂教學目標不好把握。這些情況說明，我們有加強對數(shù)感認識的必要。一、兩個實例給人的啟示實例一：2010年2月25日，國家統(tǒng)計局公布的2009年國民經(jīng)濟和社會 發(fā)展統(tǒng)計公報顯示：我國70個大中城市房屋銷售價格同比上漲 1.5%,其中新 建住宅價格上漲1.3%。此報告一出立刻引起全國一片嘩然。公眾普遍反映此數(shù)

5、據(jù)與實際狀況嚴重不符。面對公眾質(zhì)疑，國家統(tǒng)計局召開緊急會議，討論統(tǒng)計數(shù) 據(jù)來源是否真實可靠？統(tǒng)計方法是否科學？輿論提出的一個問題是：不論統(tǒng)計部門統(tǒng)計方式是否科學，為何公眾對房價的感覺與統(tǒng)計結果是大相徑庭的呢？此例 說明數(shù)感的確是存在的，它與公眾的社會生活息息相關，并已成為現(xiàn)代社會公民 所具有的基本數(shù)學素養(yǎng)的一部分。實例二：一老師在教學指數(shù)幕的意義時，拋出一個現(xiàn)實情境問題：將一張紙 對折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結論使學生在感到驚訝之余，更表 示出強烈的質(zhì)疑。該問題的結論是：其厚度可以超過世界最高峰珠穆朗瑪峰的高 度。毫無疑問，這樣的問題會像磁石一樣，緊緊吸引學生的注意力，使學生產(chǎn)生

6、一種“不見結果不信服”的學習內(nèi)驅(qū)力。此例就其實質(zhì)看，教師在這里利用的是， 學生基于實際操作（將紙對折若干次）所建立起來的對的直觀感覺與數(shù)學科學計算得出的結果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設出一個生動的極富吸引力的 學習環(huán)境。這一實例說明，學生在學習數(shù)學概念時，其固有的數(shù)感不僅在起作用， 而且老師若能適時地利用學生原有數(shù)感的特點，使其形成課堂教學中的認知沖 突，則能大大提高課堂教學的效率。、對數(shù)感的基本認識“數(shù)感” 一詞的英文表述為“NumberSense”，可翻譯為多種意思，如感覺、 感官、理念、意識、領悟等等。那么，反映在數(shù)學課程中的數(shù)感基本內(nèi)涵究竟應 該如何理解呢？事實上，在這一點上人們的認識仍然

7、是多元的。.一些關于數(shù)感內(nèi)涵的說法。因篇幅所限，這里不一一詳述國內(nèi)外關于數(shù)感的種種說法， 只將其做大致的 梳理。歸納成這樣幾類：其一，認為數(shù)感是“關于數(shù)字（量）的一種直覺”；其 二，認為數(shù)感與語感、方向感、美感等類似，都會有一種“直感”的涵義，具有 對特定對象的一種敏感性及相關的鑒別（鑒賞）能力；其三，認為數(shù)感是一種主 動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度和意識， 是一種基本的數(shù)學素養(yǎng)； 其四，認為數(shù)感包含感覺、知覺、觀念、能力，可以用“知識”來統(tǒng)一指稱，這 一知識是程序性的、內(nèi)隱的、非結構性的。.標準對數(shù)感的表述課標實驗稿首次明確提出了培養(yǎng)學生數(shù)感， 但未對數(shù)感內(nèi)涵做解釋，而是采 用外

8、延描述的方式，提出“數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表 示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解 釋?！痹谛抡n程實驗中，廣大第一線教師在課堂教學實踐中對培養(yǎng)學生的數(shù)感做了 許多有益的探討，也形成了不少研究成果。此次修訂，認真聽取了各方意見，吸 納了前期實驗研究的一些成果，重新對數(shù)感的內(nèi)涵及功能作了表述。標準的提法是：“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。 建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義， 理解或表述具體情境中的數(shù)量關 系?！睂?shù)感表述為感悟不僅使這一

9、概念有了較大的包容性，也使得這一概念有了 更實在的意義，有利于一線教師的理解和把握。在前期課程實施中，人們對數(shù)感 內(nèi)涵的認識較多強調(diào)其直覺、感知、潛意識、經(jīng)驗等方面，在教學中教師也常常 有“虛無縹緲”之感，找不到教學支點。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的 兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領悟?！案惺峭饨?刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含 有原始的、經(jīng)驗性的成分。悟是主體自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的。感（史悟是既通過肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分寧中，呂世虎，對數(shù)感及其教學的思考數(shù)學教育學報，2006年2期）標準將這

10、種對數(shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結 果估計，這主要是基于義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的范圍并根據(jù)學生的實際所作 出的要求，這有利于教師在教學中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線。關于數(shù)與數(shù)量。在小學低段，兒童對數(shù)的感悟是從數(shù)數(shù)學習辨認各組實物對 象的多少開始建立的。這是一個逐漸展開的過程。兒童對多少的感悟離不開具體 的情境，這樣他就需經(jīng)歷一個察覺實物集合中所包含的物體數(shù)量多少的過程，從而積累并形成對量的多少的感知。 學習用數(shù)表示多少的第一步就是數(shù)數(shù)， 即用自 然數(shù)表示多少。在數(shù)數(shù)的過程中，他們能把數(shù)量詞與其代表的少量物體聯(lián)系起來， 逐漸過渡到數(shù)大量的物體；與此同時他們會形成這樣的經(jīng)驗

11、：數(shù)數(shù)的順序不會改 變數(shù)的結果；數(shù)的過程中下一個數(shù)比前一個數(shù)多一； 數(shù)數(shù)中的最后一個數(shù)不但代 表這個數(shù)，也代表了這組物體的總數(shù)（事實上就是序數(shù)與基數(shù)相等）。隨著學習 年級的增高，學生還會經(jīng)歷更多的對數(shù)意義的感悟，如對分數(shù)、負數(shù)、有理數(shù),， 并形成對數(shù)的各種表征方式，比如，他們會知道1/4, 25% 0.25是同一個數(shù)的不同表示。對數(shù)與數(shù)量建立起來的數(shù)感常常與實際情境關聯(lián)，比如對數(shù)量單位的認識，提起教室的長度，應該想到米，提到兩個城市的距離則應該想到公里（千 米），同樣，一個小學生會質(zhì)疑一個宣傳牌中所說“7000平方米森林中生活著兩只東北虎”是否成立？結合實際情境，學生的數(shù)感起到了判斷的作用（本

12、文開 始的實例一也說明了這一點）。關于數(shù)量關系。這是培養(yǎng)學生數(shù)感的另一個層次。不同年齡段的學生在理解 了所學數(shù)的意義及表征后，他就具備了理解一定數(shù)量關系的基礎。比如學生在學 習分數(shù)概念后，會建立起整體與部分之間關系的感悟，依賴于具體情境或圖形， 會分辨兩個分數(shù)的大小，“隨著他們數(shù)感的增強，學生應該能夠用數(shù)進行推理。 例如1/2+3/8 一定小于1,因為每個加數(shù)都小于或等于1/2?！?（美國學校 數(shù)學教育的原則和標準，蔡金發(fā)等譯，人民教育出版社，2004年12月，第33頁）。隨著年級的升高和數(shù)系的擴展，學生對數(shù)量關系的感悟會逐步提升，比如 對有理數(shù)的大小，以至于一些函數(shù)所表示的數(shù)量關系的感悟。學

13、生對一些相對綜 合，而顯得復雜一點的數(shù)量關系的感悟是常常伴隨著具體的問題情境而展開的。比如，具有一定數(shù)感的學生坐上出租車， 他不會對車上的計程器熟視無睹， 他會 關注跳動的數(shù)碼，并對數(shù)碼變動的間隔時間、出租車已行路程、起步價以及每公 里價、到達目的地的路程等等數(shù)量及相互關系在頭腦中作出反應，并形成判斷 這里的數(shù)感是對具體問題所涉及的數(shù)量關系的整體把握。關于運算結果估計。這是培養(yǎng)學生數(shù)感很重要的一個方面。 數(shù)的運算是數(shù)學 課程中所占學時較多的內(nèi)容，過去，這一部分內(nèi)容的學習我們更多的是關注運算 法則的掌握和運算技能的訓練，其實通過運算培養(yǎng)學生的估算意識和能力， 以此 發(fā)展學生的數(shù)感也應該成為課程教

14、學的目標。所以，標準在課程內(nèi)容中特別是“數(shù)與代數(shù)”部分多處提到估計及估算的要求。如，”在生活情境中感受大數(shù)的意義并能進行估計”，“能結合具體情境，選擇恰當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體 會估算在生活中的作用”（一學段）；“在解決問題的過程中，能選擇合適的方 法進行估算”，“會根據(jù)給出的有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格子上畫圖，會根據(jù)其 中一個量的值估計另一個量的值”（二學段）；“能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”（三學段）。其實，對運算結果的估計涉及的因素很多：對參與運算 的數(shù)與量意義及關系的理解、對運算方法的選擇與判斷、對運算方式角度的把握、 對具體情境的數(shù)量化的處理等等， 所以，對運算結果的估計反映的是

15、學生對數(shù)學 對象更為綜合的數(shù)感。三、關于學生數(shù)感的培養(yǎng)數(shù)感既然是對數(shù)的一種感悟，它就不會象知識、技能的習得那樣立竿見影， 它需要在教學中潛移默化，積累經(jīng)驗，經(jīng)歷一個逐步建立、發(fā)展的過程。1、重視低段學生對數(shù)的感覺的建立，并在數(shù)感培養(yǎng)上處理好階段性和發(fā)展 性的關系在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)感在第一學段是重點。標準在第一學段目標中明確指出：“在運用數(shù)及適當?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運算結果進行估計的過程中，發(fā)展數(shù)感?！边@一學段教學要選擇適合學生年齡特征的 方式，提供實物，聯(lián)系身邊具體事物，觀察操作、游戲等都是較好的方式。比如 剛入學的兒童在認識10以內(nèi)數(shù)的時候，應該通過實數(shù)、圖片等，將數(shù)

16、與物對應 起來；以后在認識20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)時，可以對具體實物通過估一估、數(shù) 一數(shù)等活動幫助學生形成對十、百等數(shù)量大小的感覺，如數(shù)100粒黃豆、100根小棒，估計教室里的學生人數(shù)，估計一堆水果的數(shù)量等。我們還可以就同一個數(shù) 在實際生活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量來加強對數(shù)的感知。比如1200張紙大約 有多厚？你的1200步大約有多長？ 1200名學生站成做廣播操的隊形需要多大的 場地？類似這樣的問題可讓學生舉一反三。應結合每一學段的具體教學內(nèi)容，逐步提升和發(fā)展學生的數(shù)感。比如在二學 段應結合學生所熟悉的現(xiàn)實素材感受大數(shù)的意義，并能對一些問題進行估算；能 了解負數(shù)的意義，用負數(shù)表示日常生活的問

17、題，建立起對負數(shù)的數(shù)感。在第三學 段，隨著對數(shù)的認識領域的擴大以及數(shù)的認識經(jīng)驗的積累，可以引導學生在較復 雜的數(shù)量關系和運算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。2、緊密結合現(xiàn)實生活情境和實例，培養(yǎng)學生的數(shù)感現(xiàn)實生活情境和實例，與學生的實際生活經(jīng)驗密切相連，不僅能夠為學生提 供真實自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學生在數(shù)的認知上經(jīng)歷由具體到抽象的過 程，逐步發(fā)展學生關于數(shù)的思維。反之，學生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的 眼光看周圍世界，正如標準所說：“建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù) 的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。”比如，讓學生通過調(diào)查、討論，弄清楚自己的學號、地區(qū)郵編號、汽車牌照 號

18、、身份證編號的規(guī)律和意義。如下的一個問題更是能讓學生感到， 建立良好的 數(shù)感，對數(shù)字信息作出合理解釋與推斷的重要： 火車票上車次號有兩個含義，一 是數(shù)字越小表示車速越快，198次為特快車，101198次為直快車，301398次 為普快車，401598次為普客車；二是單數(shù)表示從北京開出，雙數(shù)表示開往北京， 現(xiàn)在有一張車票的車次號為122,它能給你什么信息？3、讓學生多經(jīng)歷有關數(shù)的活動過程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗在具體的數(shù)學活動中，學生能動腦、動手、動口，多種感官協(xié)調(diào)活動，加之 能相互交流，這對強化感知和思維，積累數(shù)感經(jīng)驗非常有益。比如，組織學生參 加調(diào)查活動，讓學生調(diào)查：從你家到學校的路程大約有多遠？

19、你上學大約要多少 時間？教室面積有多大？學校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市 有多少人口？如何測量一張紙的厚度？還可組織學生針對一周出版的某種報紙 討論中間出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運算有關的數(shù)學問題，分別表述這些問題中關 于數(shù)的意義作用，如何用數(shù)來解決這些具體問題等等。這樣的數(shù)學活動有利于學 生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經(jīng)驗。第二節(jié)符號意識符號對于數(shù)學來說是特有的。它既是數(shù)學的語言，也是數(shù)學的工具，更是數(shù) 學的方法。數(shù)學符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學能夠超 越于數(shù)學對象的具體屬性，而從形式化的角度進行邏輯推演，并一步步把數(shù)學引 向深入；它具有明確性

20、，某一數(shù)學符號的意義一旦被賦予， 它就在這確定的意義 下被運用，不會含糊，不會產(chǎn)生歧義，從而帶來數(shù)學極大的嚴謹性；它具有可操 作性，數(shù)學過程往往體現(xiàn)于數(shù)學符號之間的“運算”。針對這種“運算”的算法 是形式化的，”幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起”。（迪多內(nèi)論數(shù)學 的進展，載數(shù)學史譯文集上?？萍汲霭嫔纾?980年版，126頁）；此外數(shù) 學符號還具有簡略性和通用性等特點。 正因為如此，數(shù)學符號在數(shù)學發(fā)展中起著 舉足輕重的作用。法國數(shù)學家讓迪內(nèi)多在論數(shù)學的進展一文中將“引進好 的符號”作為促進數(shù)學發(fā)展的重要原因之一。學生在數(shù)學學習過程中，將無時無 刻不與符號打交道，對數(shù)學符號的語言、工具、方法的

21、功能和上述特性的認識事 實上構成了學生數(shù)學學習的重要內(nèi)容， 學生掌握數(shù)學符號、運用數(shù)學符號能力的 培養(yǎng)也成為重要的教學目標。一、對符號意識的認識從一般意義上說，所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡 略的記號或代號。數(shù)字、字母、圖形、關系式等等構成了數(shù)學的符號系統(tǒng)。符號 意識（Symbol sense）是學習者在感知、認識、運用數(shù)學符號方面所作出的一種 主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。數(shù)學符號最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學抽象的結果。比如，在數(shù)與代數(shù)中， 數(shù)來源于對數(shù)量本質(zhì)（多與少）的抽象，而數(shù)字就成為能夠以大小排序的符號。 與數(shù)的符號表示一樣，關于數(shù)的運算知識也是從生活實踐中加

22、以抽象， 逐漸形成 法則。這一過程中很重要的一步是使用字母這一符號來表示抽象運算，這使得“可以像對數(shù)那樣對符號進行運算，并且，通過符號運算得到的結果是具有 一般性的”（史寧中數(shù)學思想概論，第一輯，地 34頁）。這表明，數(shù)學符 號不僅是一種表示方式，更是與數(shù)學概念、命題等具體內(nèi)容相關的、體現(xiàn)數(shù)學基 本思想的核心概念，發(fā)展學生的符號意識是數(shù)學教學的重要目標。標準中符號意識所包含的內(nèi)容此次標準修訂，將原來的“符號感”改為了 “符號意識”，這兩個稱謂就其 英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識”應該說其意義與課程 目標的價值取向和數(shù)學符號的本質(zhì)意義要求更加吻合。在數(shù)學學習中，無論是概念、命

23、題學習還是問題解決，都涉及用符號去表征數(shù)學對象，并用符號去進行運 算、推理，得到一般性的結論。在這個過程中，數(shù)學符號對于學習者來說主要的 還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向。所以用“意 識”更準確些。標準對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會：.能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律標準中的這個要求針對的是符號表示， 它有兩層意思：一是能夠理解符 號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數(shù)學對象 （數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律 等）。每一個數(shù)學符號都有它特定的含義，如 、分別表示特定的運算意 義，、 、 則表示數(shù)學對象之間的某種關系。使學生理解符號的意義是數(shù) 學學習

24、中的最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。由于數(shù)學符號是一種特 殊的語言，對數(shù)學符號的理解也有其固有的特點和要求：因為符號具有一定抽象度，對符號的認識和理解就不應是形式上的， 而應是實質(zhì)上的，即應從抽象的符 號本身看到其所表征的準確的數(shù)學意義； 由于符號具有壓縮信息的功能，所以對 符號的意義的理解就不應是片面的， 而應是全面的、完整的、特別將符號語言轉(zhuǎn) 換為我們所熟悉的生活語言時，應該抓住其數(shù)學本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學 符號具有概括性和一般性特征，所以對它的認識和理解又不應是孤立的、 僵化的， 比如應注意符號與符號之間的關聯(lián)（如“與“ ”之間的關系），也應注意同一符號的多重意義的理解（如

25、 既可表示矩形面積與長、寬關系，也可表示平行 四邊形面積與底、高的關系，也可表示路程與時間、速度的關系，也可表示總價 與單價、數(shù)量之間的關系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關系，）。對數(shù)學符號不僅要“懂”，還要會“用。運用符號表達數(shù)學對象就是“用” 符號的重要方面。這里的數(shù)學對象主要指數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律，它們在各個 學段都有自己的特定的要求。關于用符號表達數(shù)學對象這里著重指出兩點： 一是 要注意義務教育階段整個學習過程中，學生用符號表達數(shù)學對象是一個由簡單到 復雜，由相對具體到相對抽象的過程。比如用數(shù)字符號表示現(xiàn)實中的多少， 用單 一的運算符號表示數(shù)字運算關系，具抽象度顯然不及用字母代替

26、數(shù)及用字母表示 數(shù)量關系，后者對前者來說是一個階段性的變化。而用符號關系式或一定的數(shù)學 模式語言去表示特定的數(shù)學變化規(guī)律則又更為抽象和復雜。這表明關于數(shù)學表達 的符號意識的發(fā)展是一個逐漸積累變化的過程。二是數(shù)學符號的表達是多樣化 的，比如關系式、表格、圖像等等都是表達數(shù)量關系和變化規(guī)律的符號工具，有 時，即使是同一數(shù)學對象也可采用多種符號予以表達。而多種符號表達方式之間 也是可以轉(zhuǎn)換的。符號表達上的這些特點值得我們在教學中關注。比如這樣一個例題：在下列橫線上填上合適的數(shù)字，字母或圖形，并說明理由。通過觀察規(guī)律，使一學段學生能夠感悟到：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù) 字還是字母或圖形都可以反映相同

27、的規(guī)律，只是表達形式不同而已。.知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性這一點很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種“意識”需要強化 的。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。由于運算和推理是 數(shù)學活動最重要的基本形式，所以標準的這一要求是希望在各學段學習中， 都加強學生在邏輯法則下使用符號進行運算、 推理的訓練，這涉及到的類型較多， 如對具體問題的符號表示、變量替換、關系轉(zhuǎn)換、等價推演、模型抽象及模型解 決等等。.使學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式數(shù)學表達是學生在解決具體問題時必須采用的方式， 數(shù)學表達實質(zhì)上就是以 數(shù)學符號作為媒介的一種語言

28、表達。 通過培養(yǎng)學生的符號意識，發(fā)展學生的數(shù)學 表達能力成為當今課堂關注的目標。比如這樣一個問題：”某書定價 8元，如果一次購買10本以上，超過10 本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的關系?！憋@然，購書數(shù)量 與付款金額之間是呈函數(shù)關系（分段函數(shù)），為了解決問題的方便，我們可以分 別采用函數(shù)關系式、列表、作出圖象等多種符號表達方式來表示這一具體問題。發(fā)展符號意識最重要的是運用符號進行數(shù)學思考，我們不妨把這種思考稱為 “符號思考”，這種思考是數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學模型等基本數(shù)學思想的集 中反映，是最具數(shù)學特色的思維方式。舉一個簡單的例子：“房間里有 4條腿的椅子和三條腿的凳子共16

29、個，如 果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有 60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？”如果 學生沒有經(jīng)過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓練，他完全可以使用恰當?shù)?符號進行數(shù)學思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù) 和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組 的、關于字母的思考方式來加以解決。一、關于學生符號意識的培養(yǎng).在各學段緊密結合概念、命題、公式的教學，培養(yǎng)學生的符號意識概念、命題公式等是數(shù)學課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們常常是數(shù)學教學的重點，而它們又和數(shù)學符號的表達和使用密切相關。正因為如此，標準在學段目標和各學段內(nèi)容標準中都提出了具體要求。如：“

30、理解符號、=、的含義，能使用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大小”，“認識小括號”。（一學段）；“認識中括號” “在具體情境中能用字母表示數(shù)”，“結合簡單的時間情境，了解等量關系，并能用字母表示，“能用方程表示簡單情境中的等量關系”（二學段）；“能分析簡單問題中的數(shù)量關系，并用代數(shù)式表示”，“通過用代數(shù)式、 方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關系的過程，體會模型思想，建立符號意識”（三 學段）。.結合現(xiàn)實情境培養(yǎng)學生的符號意識一方面，盡可能通過實際問題或現(xiàn)實情境的創(chuàng)設， 引導、幫助學生理解符號 以及表達式、關系式的意義，或引導學生對現(xiàn)實情境問題進行符號的抽象和表達； 另一方面，對某一特定的符號表達式啟發(fā)學生

31、進行多樣化的現(xiàn)實意義的填充和解 讀。這種建立在現(xiàn)實情境與符號化之間的雙向過程，有利于增強學生數(shù)學表達和 數(shù)學符號思維的變通性、遷移性和靈活性。.在數(shù)學問題解決過程中發(fā)展學生的符號意識符號意識更多地表現(xiàn)為以學生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號推演訓練和模仿記憶是難以達到應有的效果的。引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、 分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數(shù)學思考）的全過 程，在這一過程中積累運用符號的數(shù)學活動經(jīng)驗， 更好地感悟符號所蘊涵的數(shù)學 思想本質(zhì)。逐步促進學生符號意識得到提高。第三節(jié)空間觀念一、空間觀

32、念的含義與意義幾何學是最早成為人們以課程的形式進行學習的科目。19世紀以前的兩千多年里，歐氏幾何一直在課程中占有統(tǒng)治地位，然而，隨著幾何學自身的發(fā)展、 數(shù)學在社會發(fā)展中的應用，幾何作為課程的地位、價值的認識也在發(fā)生著變化。 二十世紀以來，關于歐氏幾何作為中小學課程內(nèi)容的有關爭論從未間斷過。 但是， 無論爭論如何，空間想象力卻是被較為一致的認為是數(shù)學諸多能力中的重要組成 部分?？臻g觀念作為空間想象力發(fā)展的基礎受到普遍的重視，也成為我國義務教 育階段幾何課程的主要目標之一。心理學把人對頭腦中已有表象進行改造，創(chuàng)造出新形象的過程稱作想象。關 于空間想象力的含義，林崇德（1991）指出，中學生的空間想

33、象包括對平面幾何 圖形和立體幾何圖形的運動、變換和位置關系的認識，以及數(shù)形結合、代數(shù)問題 的幾何解釋等?？臻g想象能力主要體現(xiàn)在對諸如一維、二維、三維空間中方向、 方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在對簡單形體空間位置的想象和變換（平移、旋轉(zhuǎn)以及分割、割補和疊合等）上，以 及對抽象的數(shù)學式子（算式或代數(shù)式等）給與具體幾何意義的想象解釋或表象能 力上。曹才翰提出，空間想象能力就是以現(xiàn)實世界為背景，對幾何表象進行加工改 造，創(chuàng)造新的形象的能力。同時他指出，空間想象能力對初中生來說，這種要求 太高了，所以義務教育階段教學大綱中只提出培養(yǎng)學生的空間觀念。空間觀念至少反映了

34、如下的5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2） 由空間圖形反映出實物；（3）由復雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4） 由基本的圖形中尋找出基本元素及其關系；（5）由文字或符號作出或畫出圖形。全美數(shù)學教師理事會(NCTM指出，空間觀念是對一個人周圍環(huán)境和實物的 直接感知；對于23維圖形及其性質(zhì)的領會和感知，圖形之間的相互關系和變 換圖形的效果是空間觀念的重要方面1 o關于發(fā)展學生的空間觀念的意義，數(shù)學家和數(shù)學教育研究者都有相關的描 述。數(shù)學家阿蒂亞(M. Atiyah )認為，幾何是數(shù)學中這樣的一個部分，其中視 覺思維占主導地位，而代數(shù)則是數(shù)學中有序思維占主導地位的部分。

35、 這種區(qū)分也 許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴格”，兩者在真正的數(shù)學研究中都起 著本質(zhì)的作用。它們在教育中的意義也是清楚的。我們的目標應是培養(yǎng)學生發(fā)展 這兩種思維模式，過分強調(diào)一種而損害另一種是錯誤的2。荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗萊登塔爾(Freudenthal , 1989)指出，幾何是 對空間的把握一一這個空間是兒童生活、 呼吸和運動的空間。在這個空間里，兒 童必須學會去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運動。全美數(shù)學教師理事會在美國學校數(shù)學課程與評價標準提到，幾何有助于 我們用一種有序的方式表示和描述我們生活的現(xiàn)實世界，將幫助學生描述和弄清 世界的意義。對于學生來說，發(fā)

36、展牢固的空間關系的觀念，掌握幾何的概念和語 言，可以較好地為學習數(shù)和度量概念做準備， 還可以促進其他數(shù)學課程的進一步 學習。幾何的模型提供了一個透視圖，從中，學生可以分析和解決問題，而且?guī)?何的解釋還可以幫助學生形成一個抽象的(符號的)表示，使人更容易理解。的確，一方面，空間與人類的生存密切相關，了解、探索和把握我們生活的 空間能使人類更好地生存、活動和利用空間。另一方面，空間觀念是創(chuàng)新精神所 需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造，因為許許 多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實物的形態(tài)呈現(xiàn)的， 作為設計者要先要對自己的創(chuàng)造物進 行想象，然后可能是模型的構建，這里的模型包括圖形和實物，

37、再根據(jù)模型修改 設計，直至最終完善成型。這是一個充滿豐富想象和創(chuàng)造的探求過程， 也是人的 思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換， 利用直觀進行思考的過程?？臻g觀念和空 間想象力在這個過程中起著至關重要的作用?；谶@樣的分析與認識，我們可以更好地理解標準把“空間觀念”作為 義務教育數(shù)學課程的核心概念的緣由與意義二、標準中空間觀念所包含的內(nèi)容標準中沒有具體給出空間觀念的內(nèi)涵，而是從是否具有空間觀念的幾個 表征出發(fā)對其進行描述。標準是從四個方面加以刻畫描述的：空間觀念主要 是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形， 根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體； 想 象出物體的方位和相互之間的位置關系； 描述圖形的運動和變

38、化；依據(jù)語言的描 述畫出圖形等。標準對空間觀念的描述，是在義務教育階段通過圖形與幾何內(nèi)容的學習 對學生在這些方面的要求以及需要達成的目標。 這樣的目標達成的過程是一個包 括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學習的全過 程中，無論是圖形的認識，圖形的運動，圖形與坐標等都承載著發(fā)展學生空間觀 念的任務。.根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學生空間觀念的主要途 徑。“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體” 的過程，是三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換的基本表現(xiàn)形式，這是一個充滿觀察、

39、 想象、比較、推理和抽象的過程，是建立在對周圍環(huán)境直接感知基礎上的、對空 間與平面相互關系的理解與把握。由實物或幾何體再到視圖，經(jīng)歷了抽象以及從三維圖形到二維圖形轉(zhuǎn)化的過 程，而由視圖到幾何體或?qū)嵨?，則實現(xiàn)了從二維圖形到三維圖形的轉(zhuǎn)換。此外， 幾何體與側面展開圖、幾何體與用平面去截所得的截面等， 都蘊含著三維圖形與 二維圖形的相互轉(zhuǎn)換。畫出物體的三視圖，就需要在頭腦加工的基礎上，把觀察到的經(jīng)過了想象、 抽象后的再現(xiàn)出來的紀錄下來，使空間觀念從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握 的能力。.想象出物體的方位和相互之間的位置關系方位與現(xiàn)實生活是密切聯(lián)系的，也是個體對空間把握能力的一個具體的體 現(xiàn)，對方位

40、的感知和圖形相互之間位置關系的把握，是表現(xiàn)空間觀念的一個重要 的方面?！跋胂笪矬w的方位和相互之間的位置關系”，在不同的問題情境中有不同的 想象的水平要求。在給出包含四個方向并注明中心點的方位結構中判斷某一物體 的相對于中心的方位，是最基本的層次；只給出一個方向(如北)，判斷物體之 間的位置關系，就需要學生更復雜一些的想象力了，同時推理也是必要的。例如，下圖是一張動物園的示意圖，根據(jù)圖中所標的位置回答下列問題：1全美數(shù)學教師理事會著.美國學校數(shù)學課程與評價標準 M.北京：人民教 育出版社,1994英M Atiyah著.數(shù)學的統(tǒng)一性M.南京：江蘇教育出版社，1995. 12(1)熊貓館在猴山的哪個

41、方向上？(2)大象館在海洋館的哪個方向上？進一步可以再改變觀測點，描述與其他物體的相對方位。.描述圖形的運動和變化圖形的運動既有形式上的(平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、放大、縮小等)，也有運動 的方向上的。對圖形的運動和變化的描述，更具有綜合性，它要求對相關知識和 內(nèi)容的理解，同時需要觀察、想象并再現(xiàn)圖形的運動和變化過程， 無論是語言表 述還是圖形刻畫這個過程，也同樣是把空間觀念從感知推向一種可以把握的能 力。例如，描述從學校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。學生需要回憶實際的路線，想象它經(jīng)過的各個環(huán)節(jié)的方向，學生也可以借助 實物模擬路線，進一步畫出路線的簡單示意圖。這其中涉及到的方位實際上

42、比單 純描述物體的方位又復雜了一些，它是一種綜合的運用。.依據(jù)語言的描述畫出圖形這里所要求的想象空間是很開放的， 可以是具體的圖形，或具有某種大小或 位置關系的一組圖形，等等。當有人向你描述你看不到的情境時，你需要根據(jù)他 人的描述構建符合原形的直觀想象，闡述和傾聽都需要在邏輯上對圖形關系進行分析和操作，準確地反映出描述的結果，體現(xiàn)了操作者對其中涉及的圖形的關系 等的把握的能力，其核心也是空間觀念。三、空間觀念的培養(yǎng)空間觀念的培養(yǎng)，是一個長期的經(jīng)驗積累的過程，因此對教學的要求有別于 具體的幾何知識，但它又是在幾何知識的學習中體現(xiàn)的。 NCT M全美數(shù)學教師理 事會，1989)指出，發(fā)展學生的空間

43、觀念，兒童必須具有許多經(jīng)驗。例如，幾何 關系的要點，在空間中物體的方向、方位和透視觀點；相關的形狀和圖形與實物 的大小，以及如何通過改變大小來改變形狀。這些經(jīng)驗要依靠兒童以下幾個方面 的能力，如會運用象“上面”、“下面”和“后面”等一些詞語，畫出一個圖形 旋轉(zhuǎn)900或1800以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和比較放在不同位 置上的圖形，等等，這些活動將有助于發(fā)展他們的空間觀念。事實上，在圖形與幾何課程的學習中，還是可以利用很多的素材和機會發(fā)展 學生的空間觀念的，主要是我們?nèi)绾蝸碚J識和利用這些素材和機會。1,促進空間觀念發(fā)展的課程內(nèi)容標準中不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標， 同時，在

44、三個學段都 重視了發(fā)展學生空間觀念的內(nèi)容的設置，這些在本書的內(nèi)容分析部分都有提及。例如，第一、二學段的“圖形與運動”、“圖形與位置”中的大部分內(nèi)容的 學習，都是發(fā)展學生空間觀念的很好的素材； 第一、二學段中的從不同方向觀察 物體、運用基本圖形拼圖，以及基本幾何體的展開圖等，也都是旨在發(fā)展學生空 間觀念的課程內(nèi)容。在第三學段，”圖形的變化”中的各種圖形的運動，尤其是“圖形的投影” 內(nèi)容的安排，其核心目標也是發(fā)展學生的空間觀念。事實上，空間觀念的培養(yǎng)在圖形的認識以及圖形的證明過程中，都會有所體現(xiàn)，因為對幾何圖形的認識、證明中對圖形特點的觀察等，也需要想象，也有根 據(jù)他人的描述畫出圖形的過程，因此，

45、很好的認識空間觀念的含義與意義， 在圖 形與幾何內(nèi)容學習中抓住典型內(nèi)容，利用一切可以利用的學習材料，就可以將空 間觀念的培養(yǎng)貫穿在這個學習過程中。2,促進空間觀念發(fā)展的教學策略(1)現(xiàn)實情境和學生經(jīng)驗是發(fā)展空間觀念的基礎空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象，而現(xiàn)實世界中的物體及其關系是 學生們觀察的最好材料，學生的已有經(jīng)驗也是觀察、想象、分析的基礎，因此教 學中，結合學生們熟悉的現(xiàn)實問題情境，是發(fā)展學生空間觀念的有效策略。例如，繪制學生自己房間或?qū)W校的平面圖； 描述從家到學校的路線圖；描述 觀察到的情境的畫面；描述游樂園中各種運動的現(xiàn)象等等， 這些問題既是他們生 活中熟悉的，又是在數(shù)學學習中需

46、要重新審視和加工的。 平時看到的東西，要進 行回憶，在頭腦中想象、加工之后的再現(xiàn)，已經(jīng)是數(shù)學的抽象了，這其中即滲透 了空間觀念發(fā)展的元素了。無論是教材的開發(fā)者還是教師的教學設計，開發(fā)和利用現(xiàn)實世界中豐富的資 源，城市的建筑與立交橋，鄉(xiāng)村的院落與山水，我們生活的廣闊空間和其中的大 量實物，為我們提供了一個鮮活的大課堂，供我們觀察、想象與描述。(2)利用多種途徑發(fā)展學生的空間觀念從標準對空間觀念的描述和有關的課程內(nèi)容的分析中， 我們能夠感覺到， 發(fā)展學生的空間觀念應該是有多種途徑的。生活經(jīng)驗的回憶與再現(xiàn)、實物觀察與 描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發(fā)展學生空間觀念的有效 途徑。教學

47、中教師應結合教學內(nèi)容恰當?shù)匕才艑W習的活動，創(chuàng)造條件使學生有機會從事上述的活動來發(fā)展空間觀念。例如，我們可以在小學高年級安排這樣的折紙活動：將一張正方形的紙對折后，再對折一次，然后用剪刀剪出一個小洞。再把紙完全展開。請畫出或從下面 四個圖中選擇它的展開圖。(3)在學生的思考、想象過程中發(fā)展空間觀念空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要不斷的經(jīng)驗的積累、想象力的豐富， 因此教學中要為學生提供足夠的時間和空間去觀察和想象、操作和分析。這其中還有觀察與想象的相互關系問題。 觀察與描述往往是空間觀念發(fā)展的 基礎，而想象與再現(xiàn)則是更高一層次的空間觀念的表現(xiàn)如果在教學中，我們提出這樣的問題：如圖（1）所示，桌

48、子上擺著三件物 品，圖（2）是從上面看到的物品的圖片，其中的 a、b、c、d和e五點表示從四 周觀察三件物品的不同地點。請判斷下邊的一組圖分別是從a、b、c、d和e五點中的哪一點看到的。對于學生來講，可能直接的觀察與想象是有些困難的， 有的教師會模擬地創(chuàng) 設這樣一個情景，讓學生直接去觀察具體物體的擺放場景， 然后進行判斷。這樣 做確實能夠降低純粹靠想象做出判斷的難度，但同時也失去了學生想象的機會。 因此，教師不妨讓學生先想一想，嘗試著做出判斷，然后再實際的看一看，在實 際看到的和想像的之間進行比較， 這樣將由助于學生積累想象的經(jīng)驗，提高對物 體之間關系進行把握的能力，發(fā)展學生空間觀念。第四節(jié)幾

49、何直觀一、對幾何直觀的認識顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直 觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要 的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀 就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開 的想象能力。愛因斯坦（Einstein ）曾說過一句名言：“想象力比知識更重要， 因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且它是進化的 源泉。嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素?！保◥垡蛩固刮募?，第一卷, 許良英、范岱年譯，商務印書館，1976, 284）“數(shù)學是研究

50、數(shù)量關系與空間形式的科學?！笨臻g形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術，只有數(shù)學把圖形作為基本、主要研究對象。在數(shù)學研究、 學習、講授中，不僅需要關注如何研究圖形的方法、研究圖形的結果，還需要感 悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在數(shù)學一幾何一圖形這樣一個關系鏈中讓我們體會到它所帶來的最大好處。這正如 20世紀最偉大的數(shù)學家希爾伯特 (Hilbert )在其名著直觀幾何一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶 得到的結果。幾何直觀在研究、學習數(shù)學中的價值由此可見一般。從另一個角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學的

51、內(nèi)容緊密 相聯(lián)。事實上，很多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高 中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形 的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意 義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學 生接受并運用他們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結 合”。這次課程改革中，強調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設計幾何課程 指導思想上變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。讓圖形“動起來”，在“運動或 變換”中研究、揭示、學習圖形的性質(zhì)，這樣，一方面加深了對圖形性質(zhì)的本質(zhì) 認識，另一方面

52、對幾何直觀能力也是一種提升。 由此也可以看到，在義務教育階 段培養(yǎng)學生的幾何直觀是很重要的。幾何直觀與“邏輯”、“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么？而是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什 么？這是數(shù)學非常重要而有價值的思維方式。 幾何直觀會把看到的與以前學到的 結合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結論和論證思路，這也就是合情 推理，它為嚴格證明結論奠定了基礎。有些數(shù)學研究的對象是可以“看到的”，可以“觸摸的”，而很多數(shù)學研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學的一個基本特點。但是, 數(shù)學中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源

53、” 一定是具體 的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“顏色可以由七個基色組 成：紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”，由不同成分的七個基色組成一種顏色，這 樣，”由七基色組成顏色”就是理解“七維空間”的“可以看到的源”，“紅、 澄、黃、綠、青、藍、紫”七個數(shù)就可以決定一個顏色。當然，在顏色中，不能 取負值，顏色空間不是七維空間，它僅僅是幫助我們聯(lián)想的“實物”和基礎。在 數(shù)學中，需要依托“一、二、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這 就是幾何直觀或幾何直觀能力。幾何直觀在研究、學習數(shù)學中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力,希望數(shù)學教師重視它，在日常教學中幫助學生不斷提升這種能力二

54、、標準中的幾何直觀在高中數(shù)學課程標準（試驗稿）中，也關注了幾何直觀： “三維空間是人類 生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、 推理論證能 力、運用圖形語言進行交流的能力、 以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學必修系 列課程的基本要求?！痹诹x務教育數(shù)學課程標準中，把幾何直觀作為數(shù)學課程標 準10個核心概念之一，這是一個進步。標準明確指出“幾何直觀是指利用 圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、 形象，有 助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學， 在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。”在數(shù)學課程中，幾何內(nèi)容是很重要的一部分

55、。關于幾何課程的教育價值，最主要的應該有兩個方面：一方面，幾何能培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；另一個方 面，它也能培養(yǎng)學生幾何直觀能力。 但目前，在部分教師中對此在認識上存在著 一定的局限性，在幾何教學中他們僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視了對學生幾 何直觀能力的培養(yǎng)。我們應全面地理解幾何教育價值，重視幾何直觀。在教學和指導學生學習時，認識和理解“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解 數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用” 這一點是非常重要的。它表明， 我們不僅在幾何內(nèi)容教學中要重視幾何直觀， 在整個數(shù)學教學中都應該重視幾何 直觀，培養(yǎng)幾何直觀能力應該貫穿義務教育數(shù)學課程的始終。正如前面所指出的，圖形

56、有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問 題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結果。 總之，圖形可以幫助我們把困 難的數(shù)學問題變?nèi)菀?，把抽象的?shù)學問題變簡單，對于數(shù)學研究是這樣，對于學 習數(shù)學也是如此。學會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學，也是學習數(shù)學的基本 能力。這種幾何直觀能力能使我們更好地感知數(shù)學、 領悟數(shù)學：數(shù)學邏輯和數(shù)學 直觀對數(shù)學都是重要的，他們也是相互交織、關聯(lián)的，直觀中有邏輯，邏輯中有 直觀。在義務教育階段，許多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征（如小學的分數(shù)概念、路程問題等），學會從兩個方面認識數(shù)學 的這些對象是非常重要的，即數(shù)形結合是認識數(shù)學的基本

57、角度，與其說是方法， 不如說這是基本要求。從這一點看，不注重數(shù)形結合在數(shù)學上就沒有學明白。三、幾何直觀的培養(yǎng).在教學中使學生逐步養(yǎng)成畫圖習慣在日常教學中，在指導學生學習數(shù)學過程中，幫助學生養(yǎng)成畫圖的習慣是非 常重要的?？梢酝ㄟ^多種途徑和方式使學生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學中應有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將 相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學的過程變得直 觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結論都是 在形象思維的基礎上產(chǎn)生的。.重視變換一一讓圖形動起來幾何變換或圖形的運動是幾何、 也是整個數(shù)學中很重要的內(nèi)

58、容，它既是學習 的對象，也是認識數(shù)學的思想和方法。在數(shù)學中，我們接觸的最基本的圖形都是 “對稱”圖形，例如，球、圓錐、圓臺、正多面體、圓、正多邊形、長方體、長 方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對稱圖形”；另一方面，在認識、 學習、研究”不對稱圖形”時，又往往是運用這些“對稱圖形”為工具的。變換 又可以看作運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來， 例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形， 可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心 （兩條對角線的交點）旋”專180度，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。.學會從“數(shù)”

59、與“形”兩個角度認識數(shù)學在前面的論述中，多次反復強調(diào)了這一點，數(shù)形結合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意 識，這種對數(shù)學的認識和運用的能力，應該是形成正確的數(shù)學態(tài)度所必需要求的。.掌握、運用一些基本圖形解決問題把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數(shù)學教學、學習的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標系 等等。在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去 發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為教學中關注的目標。第五節(jié)數(shù)據(jù)分析觀念一、數(shù)據(jù)分析觀念的意義及含義也許有人可能會提出這樣的問

60、題，統(tǒng)計不就是計算平均數(shù)、畫統(tǒng)計圖嗎？這 些事情計算器、計算機就能做得很好，還有必要花那么多精力學習嗎？確實， 在 信息技術如此發(fā)達的今天，計算平均數(shù)、畫統(tǒng)計圖等內(nèi)容不應再占據(jù)學生過多的 時間，事實上它們也遠非統(tǒng)計的核心。 在義務教育階段，學生學習統(tǒng)計與概率的 核心目標是發(fā)展“數(shù)據(jù)分析觀念”。一提到“觀念”，顯然它就絕非等同于計算、 作圖等簡單技能，而是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的對一組數(shù)據(jù)的“領悟”，由一組數(shù)據(jù)所想到的、所推測到的；以及在此基礎上，對于統(tǒng)計與概 率獨特的思維方法和應用價值的認識。在標準中，將數(shù)據(jù)分析觀念解釋為：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應 當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，