2022年《高等數(shù)學(xué)》第四冊(cè)(數(shù)學(xué)物理方法)

1、整理文本整理文本.整理文本.第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)11.計(jì)算3.設(shè)試用三角形式表示及。解：11.設(shè)三點(diǎn)適合條件及試證明是一個(gè)內(nèi)接于單位圓的正三角形的頂點(diǎn)。證明：所組成的三角形為正三角形。為以為圓心，1為半徑的圓上的三點(diǎn)。即是內(nèi)接于單位圓的正三角形。整理文本整理文本.整理文本. 17.證明：三角形內(nèi)角和等于。證明：有復(fù)數(shù)的性質(zhì)得：Z3yoZ1Z2x 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)27.試解方程。解:由題意,所以有;所以;.12以下關(guān)系表示的z點(diǎn)的軌跡的圖形是什么？它是不是區(qū)域？解：此圖形表示一條直線，它不是區(qū)域。解：即此圖形為的區(qū)域。整理文本整理文本.整理文本.解：此圖形為的區(qū)域。解：此圖形表示區(qū)間輻角

2、在的局部。解：表示半徑為1的圓的外上半局部及邊界，它是區(qū)域。解：它表示虛部大于小于等于的一個(gè)帶形區(qū)域。解：此圖形表示兩圓的外部。解：，它表示兩相切圓半徑為的外部區(qū)域。解：此圖形表示半徑為2的圓的內(nèi)部，且的局部，它是區(qū)域。解：此圖象表示半徑為2的圓的內(nèi)部且輻角主值在的局部，它是區(qū)域。第二章 解析函數(shù)14.假設(shè)函數(shù)在區(qū)域D上解析，并滿足以下的條件，證明必為常數(shù).證明：因?yàn)樵趨^(qū)域上解析，所以。整理文本整理文本.整理文本.令，即。由復(fù)數(shù)相等的定義得：，。所以，(常數(shù)) ，(常數(shù))，即為常數(shù)。5 .證明函數(shù)在平面上解析，并求出其導(dǎo)數(shù)。1證明：設(shè)=那么，； 滿足。即函數(shù)在平面上可微且滿足條件，故函數(shù)在平面

3、上解析。8由條件求解析函數(shù)， ，。解：， 。所以即是平面上調(diào)和函數(shù)。由于函數(shù)解析，根據(jù)條件得，于是，,其中是x的待定函數(shù)，再由CR條件的另一個(gè)方程得=，所以，即。于是又因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，得所以。第二章 解析函數(shù)212.設(shè)是的解析函數(shù)，證明， 。證明：是z上的解析函數(shù)，所以，在上處處可微，即，所以，所以，整理文本整理文本.整理文本.同理，所以，即得所證。14.假設(shè)，試證：1。證：=18.解方程。解：，即，設(shè)，得，即。20.試求及。解：，22，求證證: (x,y,均為實(shí)數(shù))，所以當(dāng)那么極限趨近于z軸，有當(dāng)時(shí)，那么極限趨于z軸，有，故。第三章 柯西定理 柯西積分11.計(jì)算積分積分路徑是直線段。整理文

4、本整理文本.整理文本.解：令，那么：。2.計(jì)算積分路徑是1直線段，2右半單位圓，3左半單位圓。解：，那么，5.不用計(jì)算，證明以下分之值為零，其中為單位圓。1，2，3，解：1因?yàn)楹瘮?shù)在單位圓所圍的區(qū)域內(nèi)解析，所以。2因?yàn)楹瘮?shù)在單位圓內(nèi)解析，所以。36.計(jì)算，。解：。7.由積分之值，證明，其中取單位圓。證明：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分圍道外，故，現(xiàn)令，那么在上，整理文本整理文本.整理文本.，比較可得：，。第三章 柯西定理 柯西積分28.計(jì)算：1。解： 。10.設(shè)表圓周，求。解：設(shè)，它在復(fù)平面內(nèi)解析，故當(dāng)時(shí)，那么由哥西積分公式有，所以。11.求積分從而證明：。解：由于，函數(shù)在處不解析，。令，那么，故，

5、所以，即。13.設(shè)，利用本章例5驗(yàn)證哥西積分公式以及哥西求導(dǎo)公式。提示：把寫成。證明：設(shè)，那么式的右邊為可寫為：整理文本整理文本.整理文本. 由哥西積分定理有：，所以右邊，即 左邊=右邊。再由式子可知當(dāng)時(shí)，成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立。那么當(dāng)時(shí)，成立。所以。14.求積分1，2，其中解：1被積函數(shù)有奇點(diǎn)，該奇點(diǎn)在積分圍道內(nèi)，由哥西積分求導(dǎo)公式有：第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示12.將以下函數(shù)展為含的冪級(jí)數(shù)，并指明展式成立的范圍：1，2，3，4, (5)(6)，1解：原式= 2解：原式= |z|3解：原式= |z|整理文本整理文本.整理文本.4解：原式= |z|5解：原式= |z|6解；原式= |z|1

6、4寫出的冪級(jí)數(shù)至少含項(xiàng)為止，其中。解：，兩式相乘得5將以下函數(shù)按的冪展開，并指明收斂范圍：1， 2，3， 4，解：1原式= 2原式= 3 4解：原式 6設(shè)，證明，指出此級(jí)數(shù)展式之前5項(xiàng)，并指出收斂范圍。解：，整理文本整理文本.整理文本.原式= 第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示29將以下函數(shù)在指定環(huán)域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)：1解：原式在內(nèi)，上式在內(nèi)，上式(2)，解：原式3解：原式4，解：當(dāng)時(shí)，原式=當(dāng)時(shí)，原式=5，。解：整理文本整理文本.整理文本.。10將以下各函數(shù)在指定點(diǎn)的無心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，并指出成立的范圍：，其中。解： ，解：，11把展成以下級(jí)數(shù)：1在上展成的泰勒級(jí)數(shù)。解：， 。(2)在上展成的泰

7、勒級(jí)數(shù)。解；， (3)在上展成的泰勒級(jí)數(shù)。解：原式， |不存在(11)解：，為本性奇點(diǎn)，即為可去奇點(diǎn)。(12)解：，一階極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)。整理文本整理文本.整理文本.14.設(shè)分別以為階極點(diǎn)，試問為的什么樣的特點(diǎn)。解；設(shè) 1 (m+n)階極點(diǎn) 2 (3)所以當(dāng)mn時(shí) z=a為f+g的maxm,n階極點(diǎn)當(dāng)m=n時(shí) 15.設(shè)，且以為解析點(diǎn)或極點(diǎn)，而以為本性奇點(diǎn)，證明是，的本性奇點(diǎn)。證明：設(shè)顯然其中主要局部有無限項(xiàng)。所以z=a是f(z)+ (z)的本性奇點(diǎn)。所以z=a是f(z)(z)及的本性奇點(diǎn)。16討論以下函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。(1)整理文本整理文本.整理文本.解： 二階極點(diǎn)。(2)解：可去極點(diǎn)。(3

8、)解：由上得：=1 從而得：z=為本性奇點(diǎn)。(4)解： 可去奇點(diǎn)。第五章 殘數(shù)及其應(yīng)用1求以下函數(shù)在指定點(diǎn)處的殘數(shù).在解:當(dāng)時(shí)，=,當(dāng)時(shí)，.求時(shí)的殘數(shù)，用殘數(shù)和定理，即,在解:由題可知,是此題的極點(diǎn)，將用羅朗展開得:整理文本整理文本.整理文本.=，求， 。(3)在.解:將原式用羅朗展開得：=，,根據(jù)殘數(shù)和定理，.(4)在,解: 的奇點(diǎn)為1，將用羅朗展開式展開得：所以,根據(jù)殘數(shù)和定理得：2.求以下函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn))處的殘數(shù)(是自然數(shù)).解:將式子用羅朗展開，當(dāng).當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，殘數(shù)為0，當(dāng)為偶數(shù)時(shí),根據(jù)殘數(shù)和定理,(2) 解：是函數(shù)的一階極點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，解:此題是以為階極點(diǎn)，以為其一階極

9、點(diǎn).-整理文本整理文本.整理文本.根據(jù)殘數(shù)和定理得:-+=0(4) 解:是以為二階極點(diǎn)，根據(jù)殘數(shù)定理和得:.解:用羅朗展開式展開得：此題以為一階極點(diǎn).=當(dāng)時(shí)有解,那么，所以,根據(jù)殘數(shù)和定理得：-解:此題以為其孤立齊點(diǎn).解：此題以為奇點(diǎn)。用羅朗展開式得：原式得：，所以整理文本整理文本.整理文本.解：此題以為階極點(diǎn)。所以=第五章 殘數(shù)及其應(yīng)用23計(jì)算以下積分。解：用殘數(shù)方法求，用羅朗展式展開，由上式可已看出沒有符合殘數(shù)要求的項(xiàng)，所以，即=0。解：用殘數(shù)方法求解，在有 二階極點(diǎn)，i有一階極點(diǎn).(z+i) (3),n為自然數(shù)。解：分別以為其階極點(diǎn)。=，=當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=04解：在圍線內(nèi)，有

10、兩個(gè)不解析點(diǎn)， 即=整理文本整理文本.整理文本.56解：此題以為其一階極點(diǎn)。=， =。即=-=-=4求以下積分值。(1)(a1)解:=由于分母有兩個(gè)一階極點(diǎn):,很明顯只有所以只有符合題意，所以,即=(2) 解：原式等于=在時(shí),只有的一個(gè)一階極點(diǎn).，所以,=2(3) (0)解:原式=-令，那么為其二階極點(diǎn).所以整理文本整理文本.整理文本.即=(a為是實(shí)數(shù)而且)解：=-=5求以下個(gè)積分的值。1解：函數(shù)在上半平面有兩個(gè)一階極點(diǎn)：。，所以，=2解：函數(shù)在上半平面有一個(gè)二 階極點(diǎn)。=所以，=3解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)。所以=令=在上半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。所以，=整理文本整理文本.整理文本.(4) (m0,a1)解：

11、由于是偶函數(shù)，而且在上半平面只有兩個(gè)一階極點(diǎn)：同理，所以，=5解：=函數(shù)=在上半平面有兩個(gè)一階極點(diǎn)：而，即=第七章 一維波動(dòng)方程的傅氏解今有一弦，其兩端被釘子釘緊，作自由，它的初位移為：，初速度為0，試求其付氏解，其中h為常數(shù)。解：所求問題是一維波動(dòng)方程的混合問題：，根據(jù)前面別離變量解法得其傅氏解為：。其中，于是所求傅氏解為：2.將前題之初始條件改為：，試求其傅氏解。整理文本整理文本.整理文本.解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題：。3今有一弦，其兩端和為釘所固定，作自由搖動(dòng)，它的初位移為0。初速度為，其中為常數(shù)，試求其傅氏解。解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題：今有一弦，其兩端固定在和兩處

12、，在開始一瞬間，它的形狀是一條以過點(diǎn)的鉛垂線為對(duì)稱拋物線，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h,假定沒有初速度，試用付氏方法求弦的振動(dòng)情況：解：設(shè)其拋物線方程為，將點(diǎn)代入得：，故方程為，即，所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題，求解混合問題。解：，整理文本整理文本.整理文本.。6.求解混合問題。解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題： 第八章 熱傳導(dǎo)方程的付氏解1.一根長(zhǎng)為的樞軸，它的初溫為常數(shù)，其兩端的溫度保持為0，試求在樞軸上溫度的分布情況。解：所求問題為熱傳導(dǎo)方程混合問題，其付氏解為： ，其中：故：5有一兩端無界的樞軸，其初始溫度為，試求在樞軸上的溫度分布為。解：所求問題為熱傳導(dǎo)方程初值問題，其付氏解為：=整理

13、文本整理文本.整理文本.=0故：6利用前題的結(jié)果，證下面重要的定積分：。解：由上題結(jié)論：當(dāng)時(shí)，即： 令，那么有：即： 得證。第九章 拉普拉斯方程圓的狄利克雷問題付氏解11、試證明拉普拉斯方程在極坐標(biāo)下的形式為：。證明：，同理：得到極坐標(biāo)下二維拉普拉斯方程具有如下性質(zhì)。2、求解狄利克雷問題，其中A，為常數(shù)。整理文本整理文本.整理文本.解：其付氏解為：，其中：3、求解狄利克雷問題，其中A為常數(shù)。解：其付氏解為：，其中：當(dāng)n=1時(shí)，才有值=。第九章 拉普拉斯方程圓的狄利克雷問題付氏解212、試證明：證明：由有 = =證得： 13、試證明：證明：=整理文本整理文本.整理文本.=故證得：第十章 波動(dòng)方程

14、的達(dá)氏解2.驗(yàn)證滿足波動(dòng)方程。證明：，而代入等式成立。即為所證。4.試求出方程的通解為，其中和為充分光滑的任意函數(shù)。解：把上面各式代入方程有：即，故為方程的通解。5試用行波法求解定解問題：。解：將方程的兩邊對(duì)積分得：再對(duì)積分得，其中和由定解條件確定。那么有整理文本整理文本.整理文本.所以 所以第十一章 格林公式3求解圓的狄利克雷問題，其中A為常數(shù)。解：由圓的狄利克雷積分公式，此題中，于是，將上試中的分子與分母同除以，并記，得。另，那么，一并代入上試中積分，于是得： 令分母為零，得到被積函數(shù)的奇點(diǎn)，故在內(nèi)有奇點(diǎn)和，且均是單極點(diǎn)，故有留數(shù)定理有：，那么有：。M0(x0, y0)M2(-x0, -y

15、0)M1(-x0, y0)M3(x0, -y0)M(x, y)r3r1r2ryxO5.求區(qū)域：的格林函數(shù)，并由此求解狄利克雷問題其中為的連續(xù)函數(shù)。解：整理文本整理文本.整理文本.。第十三章 Fourier變換求函數(shù)的Fourier變換。解：由Fourier變換的定義有：由函數(shù)的奇偶性有：，假設(shè)，于是有：假設(shè)，那么，于是有，得。假設(shè)，那么：如果故有：，于是，同理如果，那么。整理文本整理文本.整理文本.求函數(shù)的Fourier變換。解：在中是偶函數(shù)，于是由Fourier變換公式有求解熱傳導(dǎo)方程的初值問題。解：對(duì)定解問題各項(xiàng)以為變量施行Fourier變換，并記那么定解問題化為，它的解為它的逆變換得：那么第十四章 Laplace變換求以下函數(shù)的Laplace變換1，解：由Laplace變換的定義有2，解：由線性性質(zhì)和上式有求以下函數(shù)的Laplace逆變換。1，2，整理文本整理文本.整理文本.解：1又由，所以2因?yàn)?，取得即，所以求解常微分方程初值問題。解：記對(duì)方程中各項(xiàng)施行Laplace逆變換，注意應(yīng)用微分性質(zhì)并將初始條件代入，得，該方程的解為，將以0為中心展開為級(jí)數(shù)，得因?yàn)楣视校氤跏紬l件得于是得4.設(shè)有一初始溫度為的單位長(zhǎng)度的均勻桿，桿的側(cè)面絕熱，而兩端的溫度均保持零度，試求桿內(nèi)的溫度分布。解：其定解問題為，這雖然是一有界問題，但由于的變換范圍