第五課時向量的數(shù)乘（二）

1、- PAGE 6 -第五課時 向量的數(shù)乘(二)教學(xué)目標(biāo)：掌握實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，理解兩個向量共線的條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行并能熟練運(yùn)用.教學(xué)重點：實數(shù)與向量積的運(yùn)用.教學(xué)難點：實數(shù)與向量積的運(yùn)用.教學(xué)過程：.復(fù)習(xí)回顧上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了實數(shù)與向量的積的定義及運(yùn)算律，并了解了兩向量共線的條件.這一節(jié)，我們將在上述知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行具體運(yùn)用.講授新課例1已知ABCD，E、F分別是DC和AB的中點，求證：AECF.證明：因為E、F為DC、AB的中點， eq o(DE,sup6() eq f(1,2) eq o(DC,sup6()， eq o(BF

2、,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6()，由向量加法法則可知： eq o(AE,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DE,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(DC,sup6()， eq o(CF,sup6() eq o(CB,sup6() eq o(BF,sup6() eq o(CB,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6().四邊形ABCD為平行四邊形， eq o(AD,sup6() eq o(CB,sup6()， eq o(DC,sup6() eq o(BA,sup6()， eq o(AE,

3、sup6() eq o(CB,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6()( eq o(CB,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6() eq o(CF,sup6() eq o(AE,sup6() eq o(CF,sup6()， AECF 例2已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，證明AOOC，BOOD.分析：本題考查兩個向量共線的充要條件，實數(shù)與向量積的運(yùn)算以及平面向量基本定理的綜合應(yīng)用.證明：A、O、C三點共線，B、O、D三點共線，存在實數(shù)和，使得 eq o(AO,sup6() eq o(AC,sup6()， eq o(BO,sup6() eq o

4、(BD,sup6().設(shè) eq o(AB,sup6()a， eq o(AD,sup6()b，則 eq o(AC,sup6()ab， eq o(BD,sup6()ba eq o(AO,sup6()(ab)， eq o(BO,sup6()(ba).又 eq o(AB,sup6() eq o(BO,sup6() eq o(AO,sup6()，a(ba) (ab)，即(1)a()b0，又a與b不共線，由平面向量基本定理， eq f(1,2) ， AO eq f(1,2) AC，BO eq f(1,2) BD，即AOOC，BOOD.例3已知G為ABC的重心，P為平面上任一點，求證：PG eq f(1,3

5、) (PAPBPC).證明：如圖，設(shè)ABC三條中線分別為AM、BK和CL，則易知AM3GM，由向量中線公式有： eq o(GM,sup6() eq f(1,2) ( eq o(GB,sup6() eq o(GC,sup6()， eq o(AM,sup6() eq f(1,2) ( eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()， eq o(GB,sup6() eq o(GC,sup6() eq f(1,3) ( eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()同理可得 eq o(GA,sup6() eq o(GB,sup6() eq f(1,3) ( eq o(CA,su

6、p6() eq o(CB,sup6() eq o(GA,sup6() eq o(GC,sup6() eq f(1,3) ( eq o(BA,sup6() eq o(BC,sup6()由式得：2( eq o(GA,sup6() eq o(GB,sup6() eq o(GC,sup6() eq f(1,3) ( eq o(AB,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CA,sup6() eq o(CB,sup6() eq o(BC,sup6()0 eq o(GA,sup6() eq o(GB,sup6() eq o(GC,sup6()03 eq o(PG

7、,sup6() eq o(PG,sup6() eq o(PG,sup6() eq o(PG,sup6()( eq o(PA,sup6() eq o(AG,sup6()( eq o(PB,sup6() eq o(BG,sup6()( eq o(PC,sup6() eq o(CG,sup6()( eq o(PA,sup6() eq o(PB,sup6() eq o(PC,sup6()( eq o(AG,sup6() eq o(BG,sup6() eq o(CG,sup6() eq o(PA,sup6() eq o(PB,sup6() eq o(PC,sup6()PG eq f(1,3) (PAPB

8、PC). 例4AD、BE、CF是ABC的中線，若直線EGAB，F(xiàn)GBE.求證：AD eq o(,sdo7() GC.證明：如圖，因為四邊形BEGF是平行四邊形.所以 eq o(FB,sup6() eq o(GE,sup6()又因為D是BC的中點，所以 eq o(BD,sup6() eq o(DC,sup6()，所以 eq o(AD,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(AD,sup6()，所以 eq o(AD,sup6() eq f(1,2) ( eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(FB,sup6() eq o(E

9、C,sup6() eq o(GE,sup6() eq o(EC,sup6() eq o(GC,sup6()所以AD eq o(,sdo7() GC.例5設(shè)四邊形ABCD的兩對角線AC、BD的中點分別是E、F，求證： eq f(1,2) ABCDEF eq f(1,2) (ABCD).證明：如圖， eq o(EF,sup6() eq o(EA,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BF,sup6()， eq o(EF,sup6() eq o(EC,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(DF,sup6()，2 eq o(EF,sup6()( eq o(EA,sup6

10、() eq o(EC,sup6()( eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6()( eq o(BF,sup6() eq o(DF,sup6()E、F分別是AC、BD的中點， eq o(EA,sup6() eq o(EC,sup6()0， eq o(BF,sup6() eq o(DF,sup6()0， eq o(EF,sup6() eq f(1,2) ( eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6() 又 eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(CD

11、,sup6()， eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(EF,sup6() eq f(1,2) ( eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6()，即 eq f(1,2) ABCDEF eq f(1,2) (ABCD).課堂練習(xí)課本P68練習(xí)1，2，3.課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生在理解平面向量基本定理基礎(chǔ)上，能掌握平面向量基本定理的簡單應(yīng)用.課后作業(yè)課本P69習(xí)題 9，10，12，13向量的數(shù)乘1已知ABCD中，點E是對角線AC上靠近A的一個三等分點，設(shè) eq o(EA,sup6()a， eq o(EB,sup6()b，則向量

12、BC等于 （ ）A. 2ab B.2ab C.b2aD.b2a 2若 eq o(AB,sup6()5e1， eq o(CD,sup6()7e1，且| eq o(AD,sup6()| eq o(BC,sup6()|，則四邊形ABCD是 （ ）A.平行四邊形B.等腰梯形C.菱形 D.梯形但兩腰不相等 3設(shè)D、E、F分別為ABC的邊BC、CA、AB的中點，且 eq o(BC,sup6()a， eq o(CA,sup6()b，給出下列命題： eq o(AB,sup6() eq f(1,2) ab eq o(BE,sup6()a eq f(1,2) b eq o(CF,sup6() eq f(1,2)

13、a eq f(1,2) b eq o(AD,sup6() eq o(BE,sup6() eq o(CF,sup6()0.其中正確的命題個數(shù)為 （ ）A.1B.2C.3D.4 4若O為平行四邊形ABCD的中心， eq o(AB,sup6()4e1， eq o(BC,sup6()6e2，則3e22e1等于 （ ）A. eq o(AO,sup6() B. eq o(BO,sup6() C. eq o(CO,sup6() D. eq o(DO,sup6() 5已知向量a，b不共線，實數(shù)x，y滿足等式3xa(10y)b2xb(4y7) a，則x ，y . 6在ABC中， eq o(AE,sup6() e

14、q f(1,5) eq o(AB,sup6()，EFBC交 eq o(AC,sup6()于點F，設(shè) eq o(AB,sup6()a， eq o(AC,sup6()b，用a、b表示向量 eq o(BF,sup6()為 . 7若ke1e2與e1ke2共線，則實數(shù)k的值為 . 8已知任意四邊形ABCD中，E為AD中點，F(xiàn)為BC的中點，求證： eq o(EF,sup6() eq f(1,2) （ eq o(AB,sup6() eq o(DC,sup6()）. 9在OAB中，C是AB邊上一點，且 eq f(BC,CA) (0)，若 eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b，試用a

15、，b表示 eq o(OC,sup6().10如圖， eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b， eq o(AP,sup6()t eq o(AB,sup6()（tR)，當(dāng)P是（1） eq o(AB,sup6()中點，（2） eq o(AB,sup6()的三等分點（離A近的一個）時，分別求 eq o(OP,sup6().向量的數(shù)乘答案1D 2B 3C 4B 5 eq f(47,11) eq f(16,11) 6a eq f(1,5) b 718已知任意四邊形ABCD中，E為AD中點，F(xiàn)為BC的中點，求證： eq o(EF,sup6() eq f(1,2) （ eq o(AB

16、,sup6() eq o(DC,sup6()）. 證明： eq o(EF,sup6() eq o(FC,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(DE,sup6()0， eq o(EF,sup6() eq o(FB,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AE,sup6()0 eq o(EF,sup6() eq o(ED,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(CF,sup6()， eq o(EF,sup6() eq o(EA,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BF,sup6()兩式相加，2 eq o(EF,sup6() eq o(E

17、D,sup6() eq o(EA,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(CF,sup6() eq o(BF,sup6() eq o(ED,sup6() eq o(EA,sup6()0， eq o(CF,sup6() eq o(BF,sup6()0 eq o(EF,sup6() eq f(1,2) （ eq o(AB,sup6() eq o(DC,sup6()）.9在OAB中，C是AB邊上一點，且 eq f(BC,CA) (0)，若 eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b，試用a，b表示 eq o(OC,sup6().解： eq o(OC,sup6() eq f(1,1) (ba)10如圖， eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b， eq o(AP,sup6()t eq o(