空間向量及其應(yīng)用、空間角知識(shí)高考例題解析

1、8.5空間向量及其應(yīng)用、空間角五年高考A組 統(tǒng)一命題.課標(biāo)卷題組1. 直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（ ）。A: B: C: D:答案詳解C正確率: 73%, 易錯(cuò)項(xiàng): B解析:本題主要考查空間向量的應(yīng)用。建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，所以，則，所以。故本題正確答案為C。易錯(cuò)項(xiàng)分析：空間中異面直線夾角的解法，用空間向量法解題相對(duì)簡(jiǎn)單，本題易錯(cuò)點(diǎn)是正確建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩條直線的方向向量，最后正確應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求出異面直線夾角的余弦值。2. （12分）如圖，在四棱錐中，且。（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值。答案詳解（1）因?yàn)?，所以，又因，?/p>

2、以，又因，所以平面，又因平面，所以平面平面。（2）因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形。取，分別為，中點(diǎn)，連接，則。由（1）知平面，所以，所以，又因，所以為等腰直角三角形，所以。如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨令，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，所以，顯然二面角為鈍二面角，所以其余弦值為。解析:本題主要考查點(diǎn)、平面、直線的位置關(guān)系。（1）根據(jù)，先證平面，再證平面平面即可。（2）根據(jù)已知可證，然后建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，代入公式計(jì)算即可。注意所求二面角為鈍二面角，所以其余弦值為。3. （12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn)。（

3、1）證明：直線平面；（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值。答案（1）證明：作點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，。如圖所示，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，即，且，因?yàn)?，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面。（2）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，由于為正三角形，所以，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以平面，所以可以作以為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸的空間直角坐標(biāo)系。不妨設(shè)，則。又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以。作，垂足為，所以平面。設(shè)，則，。易知即為直線與底面所成角為，所以，解得。因此有，。所以，則，。設(shè)平面的法向量為，所以，即，可取，同樣可取平面的法向

4、量，所以。因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值為。解析本題主要考查空間幾何體，直線、平面的位置關(guān)系和空間向量的應(yīng)用。（1）作點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，利用題目條件證四邊形為平行四邊形即可得；（2）取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，先以為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題目所給直線與底面所成角為先算出，的長(zhǎng)度，再分別寫出各點(diǎn)的空間坐標(biāo)，算出平面一個(gè)法向量即可求解二面角的余弦值。題目來源：2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)卷）：理數(shù)4. （本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值。答案詳解（1）連接，作，

5、連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)榈酌?，所以，所以，所以平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以平面平面，所以平面；?）取中點(diǎn)，連接。因?yàn)?，所以，可得。以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則。，。設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，不妨設(shè)，則，即，則直線與平面所成角的正弦值為。.12分解析:本題主要考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，空間直角坐標(biāo)系。（1）過點(diǎn)作底面垂線，再由已知條件中四棱錐的高與底面垂直，從而得到一組平行線，再利用過點(diǎn)所作垂線垂足作側(cè)邊平行線來構(gòu)造另外一組平行線，使得存在兩組相交

6、直線相互平行，即可證得相交直線構(gòu)成的平面平行，進(jìn)而得出其中一面上的任一直線與另一平面平行，證畢。（2）以體高在底面的垂足為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知中已經(jīng)給出的各邊數(shù)量關(guān)系，表示出面的法向量和的坐標(biāo)，從而求出直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值，再通過法向量方向的判斷得出直線與平面的夾角正弦值。5. 本小題滿分分）如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在，上，。過點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。（）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值。答案詳解（1）如圖，交線圍成的正方形如圖所示。（2）如圖，以，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系。作，垂足為，所

7、以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，則，所以。則，。所以，。設(shè)平面的法向量為，則，得，。取，得。又，設(shè)直線與平面所成角為，則。解析:本題主要考查空間向量的應(yīng)用。（1）根據(jù)勾股定理在線段上作點(diǎn)使得，則。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出和平面的法向量，即可求出和平面的夾角的正弦值。6. （本小題滿分12分）如圖，四邊形為菱形，、是平面同一側(cè)的兩點(diǎn)，平面，平面，。（）證明：平面平面；（）求直線與直線所成角的余弦值。答案詳解（）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，。在菱形中，不妨設(shè)。由，可得。由平面，可知。又，所以，且。在中，可得，故。在中，可得。在直角梯形中，由，可得。從而，所以。又，可得平面。因?yàn)槠矫?，所以平面平面?6

8、分（）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，垂直平面向上的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系。由（）可得，所以，。.10分故。所以直線與直線所成角的余弦值為。.12分解析:本題主要考查空間幾何體以及空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系。（）先后證得和，利用線面垂直判定定理證得線面垂直，隨后即可證明面面垂直；（）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出各直線所在方向的向量坐標(biāo)，利用求得向量的夾角余弦值，取其絕對(duì)值即為直線所成夾角的余弦值。7. B 組 自主命題.?。▍^(qū)、市）卷題組1. 如圖，已知正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），分別為，上的點(diǎn)，分別記二面角，的平面角為，則（）。A: B: C: D:答案詳解B

9、正確率: 46%, 易錯(cuò)項(xiàng): C解析:本題主要考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系。如圖1過點(diǎn)作平面，垂足為，再過點(diǎn)分別作、的垂線段，垂足分別為、，則，。將底面的平面圖展開如圖2所示，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則：，：，：，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知，所以，又顯然、為銳角，所以。 2. 如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則（）。A: B: C: D:答案詳解B解析:本題主要考查二面角的性質(zhì)。若將線段平移到線段處，連接、，不妨設(shè)， ，所以，已知若，則兩等腰三角形和應(yīng)該相似，而現(xiàn)在，所以，即。綜合知，。故本題正確答案為B。3. 如圖，三棱錐中，點(diǎn)分別是的

10、中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是答案解析連結(jié)ND，取ND 的中點(diǎn)為：E，連結(jié)ME，則MEAN，異面直線AN，CM所成的角就是EMC，AN=，ME=EN，MC=，又ENNC，考點(diǎn)：異面直線所成角4. （本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，。（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求二面角的大??；（3）求直線與平面所成角的正弦值。答案詳解（1）設(shè)和交點(diǎn)為，連接。因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以。因?yàn)樗倪呅问钦叫危?。在中，所以，即為的中點(diǎn)。（2）取中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)。因?yàn)?，所以。又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面。因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，因?yàn)?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分

11、別以，為，軸。建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，易知平面的法向量。設(shè)平面的法向量，則，即，所以可以取，因此。因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角大小為。（3）由（1）及（2）知，所以。設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為。解析:本題主要考查空間向量的應(yīng)用。（1）記和交點(diǎn)為，利用線面平行的性質(zhì)定理得到，從而證明為的中點(diǎn)。（2）證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積求二面角。（3）根據(jù)（2）的直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積求直線與平面所成角的正弦值。5. （本題滿分15分）如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)。（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值。答案詳解

12、（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，。因?yàn)?，所以且。所以四邊形是平行四邊形。所以。又平面，所以平面。?）過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。不妨設(shè)，則在和中，設(shè)，則易知，解得。過作底面的垂線且與底面交于點(diǎn)，易得，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，取，由題易得，則，。設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故是平面的一個(gè)法向量。設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為。解析:本題主要考查線面平行的判定及線面角的三角函數(shù)值的求解。（1）取的中點(diǎn)，由中位線定理得到，由題意得到，所以，且，即可證明是平行四邊形，從而，即可證明平面；（2）過作的垂線且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作底

13、面的垂線且與底面交于點(diǎn)，可證明，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出，點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量和，即可求出與平面所成角的正弦值。6. （本小題滿分10分）如圖，在平行六面體中，平面，且，。（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值。答案詳解（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交與點(diǎn)。因?yàn)槠矫?，所以，。如圖以，為正交基底建空間直角坐標(biāo)系。因?yàn)椋耘c軸的正方向的夾角為，根據(jù)已知的長(zhǎng)度得，所以，設(shè)與的夾角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為。（2）建立坐標(biāo)系同上，因?yàn)槠矫鏋槠矫?，所以該平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，取，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以。因?yàn)?，所?/p>

14、，所以該二面角的正弦值為。解析:本題主要考查空間向量、異面直線所成的角及二面角。（1）根據(jù)題干所給的信息建立坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出與的坐標(biāo)，由夾角公式即可求得兩直線夾角的余弦值；（2）在（1）中建立的坐標(biāo)系中分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，由夾角公式即可求得兩直線夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的正弦值。7. （本小題滿分12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn)。（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大?。唬?）當(dāng)，時(shí)，求二面角的大小。答案詳解（1）因?yàn)?，且，平面，所以平面，又平面，所以，又，因此。?）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在

15、的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系。由題意得，故，。設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由可得取，可得平面的一個(gè)法向量。設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由可得取，可得平面的一個(gè)法向量。所以，因此所求二面角的大小為。解析:本題主要考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系、空間幾何體及空間直角坐標(biāo)系。（1）根據(jù)已知條件，首先證明平面，進(jìn)而，又，因此。（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而得到兩平面夾角的余弦值。8. （本小題滿分15分）如圖，在三棱臺(tái)中，已知平面平面，。（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值。答案詳解（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如下圖：已知平面平

16、面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以；已知，因?yàn)?，所以，分別為，中點(diǎn)，所以，。因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）過作的垂線，垂足為，連接，因?yàn)?，所以平面，即為二面角的平面角，如下圖：因?yàn)?，所以中，；因?yàn)槠矫妫?，即中，所以，又，所以。因?yàn)?，所以，所以二面角的余弦值為。解?本題主要考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。（1）根據(jù)平面平面且，得，根據(jù)且為中點(diǎn)，得，即可求證；（2）過作的垂線，垂足為，連接，得為二面角的平面角，根據(jù)已知條件求得，的長(zhǎng)，即可求解。9. （本小題滿分13分）九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑。在如圖所示的陽馬

17、中，側(cè)棱平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、。（）證明：平面。試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只要寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；（）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值。答案詳解（1）因?yàn)榈酌?，所以，由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面。而平面，所以。又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以。而，所以平面。由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為，。（2）由已知，是陽馬的高，所以；由（1）知，是鱉臑的高，所以。在中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是。解析:本題主要考查空間幾何體。（1）綜合利用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的性質(zhì)、直線與直線垂直的

18、判定定理可得到平面，進(jìn)而證明平面；由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑。（2）由題意可知是陽馬的高，是鱉臑的高，在中，列出、的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可求得。10. （本小題滿分13分）如圖，在三棱錐中，底面，。點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，。（1）求證：平面;（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)。答案詳解如圖，以為原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。依題意可得，。（1），。設(shè)為平面的法向量，則即不妨設(shè)，可得是平面的一個(gè)法向量。又，可得。因?yàn)槠矫?，所以平面。?）易知為平面的一個(gè)法向量。設(shè)為平面的法向量

19、，則，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，可得是平面的一個(gè)法向量。因此有，于是。所以，二面角的正弦值為。（3）依題意，設(shè)（），則，進(jìn)而可得，。由已知，得，整理得，解得或。所以線段的長(zhǎng)為或。解析:本題主要考查線面平行的判定、二面角、異面直線所成的角及空間向量的應(yīng)用。以為原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。（1）求出平面的法向量，由可得平面。（2）根據(jù)題意知為平面的一個(gè)法向量，再求出是平面的一個(gè)法向量，則與夾角的正弦值即為二面角的正弦值。（3）設(shè)（），寫出，的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式及已知條件，列方程即可求得線段的長(zhǎng)。11如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，。（1）求證：平

20、面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為線段上的點(diǎn)，且。求直線和平面所成角的正弦值。答案詳解（1）取的中點(diǎn)點(diǎn)，連接、，如圖所示：根據(jù)題意則有，且，又四邊形為矩形，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，EG不在平面ADF中，所以平面；（2）連接，如圖所示：根據(jù)條件可得，所以平面，所以，又，所以為二面角的平面角，所以，所以；（3）如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)點(diǎn)為，即，所以，設(shè)平面法向量為，所以，且，取，所以，所以，所以與平面所成角的正弦值為。解析:本題主要考查點(diǎn)、直線、面的位置關(guān)系，空間直角坐標(biāo)系。（1）取的中點(diǎn)點(diǎn)，做出平行四邊形，由線線平行關(guān)系推得線面平行關(guān)系。（2）先證明面，即可得出

21、為所求二面角的平面角，再通過直角三角形數(shù)量關(guān)系，即可求出。（3）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面法向量，然后利用向量的點(diǎn)乘即可求出兩向量夾角的余弦值，經(jīng)過判斷平面法向量方向后，即可求出線面夾角的正弦值。突破方法方法1 求異面直線所成的角的方法例1方法2平行與垂直/直線與平面所成的角例2如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且，且平面，分別為，的中點(diǎn)。（1）證明：平面；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求二面角的平面角的余弦值。 答案詳解（1）連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以。又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面。?）在菱形中，得，。又因?yàn)槠矫?，所以，。所以。所以。而分別是

22、的中點(diǎn)，所以，且。取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以為二面角的平面角。由，故在中，得。在直角中，得，。在中，得。在等腰中，得。在中，得。所以二面角的平面角的余弦值為。解析:本題主要考查線面平行的證明和求解二面角。（1）欲證明平面，只需證明與平面上的一條直線平行且直線不在平面上。由題可得，故平面。（2）連接，可得，連接，得，取中點(diǎn)，連接和，故可得，則即為二面角的平面角。分別求得的三邊長(zhǎng)。由余弦定理得。所以二面角的平面角的余弦值為。方法3求二面角的方法例3如圖,直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小. (12分)答案詳解解析:分析試題：（1）要證：需要證，進(jìn)而需要證明.(2) 求二面角

23、的關(guān)鍵是找或做二面角的平面角，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，再證H與D重合，進(jìn)而得到是二面角的平面角,然后解三角形求角即可.（1）在中，得：同理：得：面(2)面取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，面面面得：點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè)，則，即二面角的大小為.考點(diǎn)：線線垂直，線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)，二面角.點(diǎn)評(píng)：掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直的相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)是它們的判定與性質(zhì)定理，求二面角關(guān)鍵是找（或做）出二面角的平面角.方法4求空間中距離的方法例4圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AC=BC=a，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)，二面角M-DE-A為30。（1）證明：A1B1C1D；（2）求MA的長(zhǎng)，并求點(diǎn)C到平面MDE的距離。答案解：（1）證明：連結(jié)CD三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱平面CD為C1D在平面ABC內(nèi)的射影ABC中，AC=BC，D為AB中點(diǎn)。（2）過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MFD、E