第七章-空間解析幾何曲面課件

1、第六節(jié)三、旋轉(zhuǎn)曲面四、二次曲面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 第七章 一、空間直角坐標(biāo)系二、曲面及其方程一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o , 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))zox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;例1. 在 z 軸上求與兩點(diǎn)等距解: 設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及離的點(diǎn) . 2、空間兩點(diǎn)間的距離公式:提示:(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2) 設(shè)

2、動(dòng)點(diǎn)為利用得且思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?二、曲面及其方程求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡得即說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例:解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程. 1、曲面方程的概念定義. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個(gè)基本問題 :(1)

3、 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 :2、常見的曲面方程故所求方程為例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為 R 的軌跡表示上(下)球面 .例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:說明:都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.球心為 一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.3、柱面的方程引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線

4、所形成的曲面稱為圓過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn) 定義.平行定直線 l 并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y

5、 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考與練習(xí)1. 指出下列方程的圖形:定義2. 一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .例如 :建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖將 代入思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋

6、轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例4. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為四、二次曲面三元二次方程 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:為正數(shù))2. 拋物面(1) 橢圓拋物面(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）3. 雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí), 截痕為平面 上的截痕情況:雙曲線: (實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）虛軸平行于x 軸）時(shí), 截痕為時(shí), 截痕為(實(shí)軸平行于z 軸;相交直線: 雙曲線: (2) 雙葉雙曲面雙曲線橢圓注