計算機控制系統(tǒng)第四章課件

1、第四章 極點配置設(shè)計：狀態(tài)空間方法 4.1 引言 4.2 控制系統(tǒng)設(shè)計 4.3 采用狀態(tài)反饋調(diào)節(jié) 4.4 觀測器 4.5 輸出反饋 4.6 伺服問題 4.7 設(shè)計舉例 4.8 結(jié)論第四章 極點配置設(shè)計：狀態(tài)空間方法4.1 引言 基于內(nèi)部模型的設(shè)計方法 調(diào)節(jié)問題 伺服問題4.2 控制系統(tǒng)設(shè)計考慮因素： 負(fù)載擾動的衰減 量測噪聲影響的減少 指令信號的跟蹤 過程特征的變化和不確定性調(diào)節(jié)問題：減少負(fù)載擾動和減少由反饋注入到系統(tǒng)的量測噪聲而產(chǎn)生的漲落之間進行折衷。伺服問題：指令信號的跟蹤。設(shè)計問題的主要組成內(nèi)容 系統(tǒng)的用途 過程模型 擾動模型 模型的偏差和不確定性 允許的控制策略 設(shè)計參數(shù)典型的控制系統(tǒng)

2、：圖 4.1過程模型：連續(xù) 離散(4.2)性能準(zhǔn)則：極點形式的確定允許控制：反饋： 線性，負(fù)反饋。形式：（4.3）設(shè)計參數(shù)：采樣周期和希望閉環(huán)的極點。閉環(huán)系統(tǒng)：特征方程：4.3 采用狀態(tài)反饋的調(diào)節(jié) 4.3.1 一般情況 4.3.2 實際應(yīng)用問題 4.3.3 有限拍控制 4.3.4 更一般的擾動 4.3.5 計算問題4.3 采用狀態(tài)反饋的調(diào)節(jié)假設(shè)：系統(tǒng)為式 4.1 或式 4.2 所描述的系統(tǒng)。擾動：系統(tǒng)初始狀態(tài)的攝動。目的：使閉環(huán)系統(tǒng)具有規(guī)定的特征方程，使擾動以規(guī)定的方式衰減。例 4.1 雙重積分器對象的極點配置采樣周期一定，系統(tǒng)為：一般的線形反饋采用：則閉環(huán)系統(tǒng)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)希望

3、的特征方程為：則：解為：結(jié)論：該例可以任意配置閉環(huán)特征方程，對于所有的 和 值，這個線性方程組都能給出 和 的一個解。(4.4)4.3.1 一般情況單輸入系統(tǒng)的極點配置問題。設(shè)系統(tǒng)為（4.2）式描述，其特征多項式為：假設(shè)系統(tǒng)為能達的，引入變換 ，將式（4.2）變?yōu)槟苓_規(guī)范型：（4.5）其中：(4.6)閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：反饋律：(4.7)(4.8)轉(zhuǎn)換回原始坐標(biāo)：(4.9)得到變換矩陣T：確定變換矩陣T的一個簡單方法是基于能達性矩陣的特性。系統(tǒng) (4.2) 式的能達矩陣 為：(4.10)系統(tǒng) (4.5) 式的能達矩陣 為：(4.11)直接計算得：(4.12)即：(4.13)定理 4.1 采

4、用狀態(tài)反饋的極點配置 考慮 (4.2) 式的系統(tǒng)，假設(shè)只有一個輸入信號，如果系統(tǒng)是能達的，則存在一個線性反饋，它給出具有特征多項式 的閉環(huán)系統(tǒng)。這個反饋由下式給出：其中：(4.14) 和 分別為(4.2)式和（4.5）式所是系統(tǒng)的能達矩陣。證 根據(jù)凱萊-哈密頓定理得：其中 是被轉(zhuǎn)換系統(tǒng) (4.5) 式的系統(tǒng)矩陣。引入行向量 ：于是由方程(4.7)有：有 ， 根據(jù) 4.12 有：即：注 1 ：稱方程 (4.14) 為阿克曼（Ackermann）公式。注 2：極點配置問題：給定矩陣 和 ，尋找一個矩陣 以便矩陣 有規(guī)定的特征值。注 3：根據(jù) (4.11)式和(4.12)式，可得：(4.15)例 4

5、.2 雙重積分器原系統(tǒng)得：考慮例（4.1）的對象，假設(shè)希望的特征多項式為：和原系統(tǒng)的特征多項式為：因此：由阿克曼公式得：例 4.3 一個不能達的系統(tǒng)系統(tǒng)：由于：所以系統(tǒng)不能達控制律 給出一個閉環(huán)特征方程為：4.3.2 實際應(yīng)用問題例 4.4 選擇設(shè)計參數(shù) 考慮雙重積分器有：結(jié)論：一個較大的 給出一個較快速的系統(tǒng)但需要一個較大的控制信號。若采樣周期短 ： 為了討論控制信號的幅值，假定系統(tǒng)有一個初始位置 和一個初始速度 那么控制信號的初始值是：連續(xù)特征方程 的二階系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)的特征方程 。采樣周期的選擇：(4.17)圖 4.2 例 4.4 的閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)。圖 4.3 改變參數(shù)，例 4.4

6、的閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)。圖 4.4 改變初始條件、參數(shù)，例 4.4 的閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)。4.3.3 有限拍控制如果期望的閉環(huán)極點全部選在坐標(biāo)原點，則比環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：即：于是由凱萊-哈密頓定理，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣 滿足：如果矩陣 可逆，則得：有阿克曼公式當(dāng)：就得到有限拍策略。(4.18)(4.19)分析：有限節(jié)拍控制策略中，只有一個設(shè)計函數(shù)即采樣周期。建立時間最多是 。控制信號的幅值急劇的隨采樣周期的減少而增大。例 4.5 一個雙重積分器的有限節(jié)拍控制考慮一個雙重積分對象。根據(jù)方程 (4.19) 可知，當(dāng)： 就給出了有限拍控制策略。如果該過程的初始狀態(tài)為 ，則：圖 4.5 在例 4.5 中具有有限拍控

7、制器的閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)。4.3.4 更一般的擾動假設(shè)系統(tǒng)描述為：其初始條件已知。其中 由下式描述：常見情況： 是一個常數(shù)，可以通過 來贏得。 正弦擾動：假設(shè) 是可測量的。引入增廣狀態(tài)向量：找到如下系統(tǒng)：采樣該系統(tǒng)得到如下離散時間系統(tǒng)：一般狀態(tài)線性反饋為：則閉環(huán)系統(tǒng)為：(4.20)(4.21)(4.22)例 4.6 常值輸入擾動對于常值擾動的情況，矩陣 成為單位陣。有：系統(tǒng)描述為：選擇 來消除擾動 對 的影響。4.3.5 計算問題 如果系統(tǒng)是能達的，可以引入一個具有未知系數(shù)的一般狀態(tài)反饋來確定特征多項式，并使它與期望的特征多項式相等。 也能用阿克曼公式（4.14）方程來計算狀態(tài)反饋。應(yīng)當(dāng)盡量避免使

8、用矩陣乘冪的任何一種方法。4.4 觀測器 4.4.1 狀態(tài)變量的直接計算 4.4.2 采用動態(tài)系統(tǒng)的重構(gòu) 4.4.3 觀測器增益的計算 4.4.4 有限拍觀測器 4.4.5 龍伯格里觀測器4.4 觀測器假設(shè)系統(tǒng)采樣模型描述為：問題：由輸入和輸出序列 來 計算。 重構(gòu)狀態(tài)4.4.1 狀態(tài)變量的直接計算(4.23) 假設(shè)只有一個輸出。在采樣時刻 得到的輸出 給出一個可用來確定狀態(tài)變量的線性方程。使用來自 個不同采樣時刻 的信息給出如下各線性方程：(4.24)引入向量 和 ：可以把方程 （4.24）寫作：其中矩陣 和 由下式給出：若系統(tǒng)可觀，那么能解出 并得到：因此，狀態(tài)可以用未來的輸出和量測得出。

9、反復(fù)利用方程(4.23)得：進而求得：其中：(4.25)(4.26)于是狀態(tài)向量 是 和 的一個線性組合。例 4.7 雙重積分器對雙重積分器有：從而：解此方程：4.4.2 采用動態(tài)系統(tǒng)的重構(gòu)考慮系統(tǒng) （4.23）式(4.27)的狀態(tài) 近似的。如果模型是完備的，初始條件相同， 和 相等，如果初始條件不同，只有當(dāng)系統(tǒng)(4.27)式漸近穩(wěn)定， 才會收斂于 。重構(gòu)：應(yīng)用先前輸入的函數(shù)，或使用實測輸出，引入實測輸出和估計輸入之差 作為反饋。從而有觀測器方程（ 一步估計方程 ）(4.28)其中 是增益矩陣。引入重構(gòu)誤差：(4.29)假定狀態(tài) 是由模型：由 （4.23）式減去 （4.28）式得：(4.30)

10、 因此如果選擇 是系統(tǒng) (4.30) 式漸近穩(wěn)定，那么重構(gòu)誤差必定收斂于零。問題： 尋找 ，使 有規(guī)定的特征值。 或找一個 ，使 有規(guī)定的特征值。解決：只要矩陣：滿秩就可以了。定理 4.2 觀測器動力學(xué)特性 考慮由方程 （4.23）式給定的離散系統(tǒng)。令 是一個 次多項式，其中 是系統(tǒng)的階數(shù)。假定系統(tǒng)是完全能觀測的，那么就存在一個矩陣 使得觀測器 （4.28）式的矩陣 具有特征多項式 。4.4.3 觀測器增益的計算問題一致性：觀測器的矩陣 與極點配置中的反饋陣 是對偶問題。這個問題可用定理 4.1 的阿克曼公式解決。利用下述關(guān)系：由方程 （4.13） 可以得出：或：于是 的特征多項式是 。(4.

11、31)4.4.4 有限拍觀測器(Deadbeat Observer)觀測器增益 的選擇使得矩陣 全部特征值為零。特征：在有限時間內(nèi)，實際上至多 步，（ 為系統(tǒng)階數(shù)）觀察器誤差就會達到零。例 4.8 雙重積分器的全階觀測器考慮一個雙重積分器對象，矩陣 為：于是特征方程為：令希望的特征方程是：那么就得到下面的方程組：這些線性方程給出：通過設(shè)定 得到有限拍觀測器，這給出：且觀測器為：直接計算給出：4.4.5 龍伯格觀測器(Luenberger Observers) 由方程 （4.28）給出觀測器有許多變形。因為 只依賴直到 時刻的測量，所以觀測器有時延。為了避免這個時延可以用下述觀測器。（4.32）

12、采用這種觀測器時的重構(gòu)誤差為；進而有：4.5 輸出反饋 4.5.1 閉環(huán)系統(tǒng)分析 4.5.2 推廣 4.5.3 更實際的擾動模型 4.5.4 積分作用4.5 輸出反饋(Output Feedback)觀測：系統(tǒng)輸入狀態(tài)系統(tǒng)描述為：(4.33)狀態(tài)反饋：將給出希望的極點，當(dāng)狀態(tài)不能測量時，使用反饋率：(4.34)其中 是由如下觀測器得到的：(4.35)圖 4.6 表示了該系統(tǒng)的框圖過程觀測器圖 4.6 把狀態(tài)反饋與一個觀測器組合起來所得到的控制器框圖4.5.1 閉環(huán)系統(tǒng)分析引入：由方程（4.33）和（4.34）可知，描述這個閉環(huán)系統(tǒng)可用方程組：閉環(huán)系統(tǒng)的特征值：控制器的脈沖傳遞函數(shù)：(4.36)

13、調(diào)節(jié)器觀測器(4.37)例 4.10 雙重積分器的輸出反饋 圖 4.7（a）表示當(dāng)把估計狀態(tài)用于控制規(guī)律中時的真實狀態(tài)和估計狀態(tài)。 圖 4.7（b）用實線表示當(dāng)用例(4.9)中的降價觀測器時的狀態(tài)用點線表示 第二個狀態(tài)的估計。圖 4.74.5.2 推廣采用控制率：(4.38)4.5.3 更實際的擾動模型(More Realistic Disturbance Models)系統(tǒng)描述為：其中 是作用在過程上的一個擾動。對在低頻有很大能量這種擾動可模擬為：增廣系統(tǒng)可描述為：引入增廣狀態(tài)向量：(4.39)和：其中 和 是得出自觀測器：擾動狀態(tài) 從控制信號是不能達的，但只要系統(tǒng)(4.33)式是能觀測的，

14、則全部狀態(tài)從輸出都是能觀測的。控制律師所有狀態(tài)變量的線性反饋，即對照(4.20)。對這個系統(tǒng)采樣得到下列離散時間系統(tǒng)：(4.40)(4.41)(4.42)分析：矩陣 保證狀態(tài) 在擾動作用之后以希望的速度達到零。適當(dāng)?shù)倪x擇增益 就能減少擾動對系統(tǒng)的影響。如使矩陣 等于零。前饋控制作用就更有效。觀測器增益 和 影響估計誤差趨近于零的速率。則閉環(huán)系統(tǒng)描述為：注意：觀測器的狀態(tài)由過程和擾動的狀態(tài)估計組成，而控制信號包含來自擾動狀態(tài)估計 的反饋。(4.43)系統(tǒng)的框圖示于圖 4.8 中：過程觀測器圖 4.8 采用擾動估計狀態(tài)作為狀態(tài)反饋的控制器的框圖4.5.4 積分作用(Integral Action)

15、考慮一個單輸入并在過程輸入處有一個恒值擾動的系統(tǒng)。即：于是從方程 (4.43)中得到 時能完全抵消負(fù)載擾動。設(shè)沒有測量誤差，由方程（4.40）到(4.42)描述的控制器變成：(4.44)注意： 由 可知擾動估計可以通過狀態(tài)估計的誤差的積分直接獲得。擾動觀測器狀態(tài)觀測器過程圖 4.9 一個具有狀態(tài)反饋的控制器和一個具有積分作用的觀測器的框圖。把具有積分作用控制器方程 (4.44)改寫為：對照方程 (4.28) 現(xiàn)引入：(4.45)則 是系統(tǒng) 的控制器傳遞函數(shù)。由(4.44)式有：(4.46)例 4.11 雙重積分器的具有積分作用的輸出反饋圖 4.10表示系統(tǒng)的特性，可明顯的看出，現(xiàn)在控制器有幾分

16、作用并能消除輸入的恒值負(fù)載擾動。4.6 伺服問題 4.6.1 一個自然方法 4.6.2 積分作用 4.6.3 二自由度控制器 4.6.4 控制器結(jié)構(gòu) 4.6.5 前饋信號的生成 4.6.6 組合4.6 伺服問題(The Servo Problem)4.6.1 一個自然方法得到對指令信號的希望響應(yīng)的一種簡單方式是用：(4.47)代替常規(guī)的狀態(tài)反饋：考慮閉環(huán)系統(tǒng)：（4.48）過程觀測器圖 4.11 本框圖表示在一個具有狀態(tài)反饋和一個觀測器的控制器中引入指令信號的簡單方法。消去 并引入估計誤差 ，則：(4.49)注意： 該觀測器誤差由 是不能達的。從指令信號到過程輸出的脈沖傳遞函數(shù)為：(4.50)相比較過程的脈沖傳遞函數(shù)：(4.51)二者具備一樣的零點。其極點為矩陣 的特征值4.6.2 積分作用作過程輸入處引入一個擾動 ，也是控制器成為：還可以把這些方