2021_2021版高中數(shù)學第一章計數(shù)原理習題課兩個計數(shù)原理與排列、組合學案新人教A版選修2_3.doc

1、.PAGE 下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。習題課兩個計數(shù)原理與排列、組合學習目標1.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.進一步加深理解排列與組合的概念.3.能綜合運用排列、組合解決計數(shù)問題1兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理(2)分步乘法計數(shù)原理2排列、組合綜合題的一般解法一般堅持先組后排的原那么，即先選元素后排列，同時注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類3解析受限制條件的排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；(2)正難那么反，等價轉(zhuǎn)化的策略；(3)相鄰問題，捆綁處理的策略；(4)不相鄰問題，插空處理的策略；(5)定序問題，除法處理的策略；(6

2、)“小集團排列問題，先整體后局部的策略；(7)平均分組問題，除法處理的策略；(8)構(gòu)造模型的策略類型一兩個計數(shù)原理的應用eq x(命題角度1“類中有步的計數(shù)問題)例1電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，假設(shè)先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有_種不同的結(jié)果考點兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點兩個原理的簡單綜合應用答案28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸運之星，決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：(1)幸運之星在甲箱中抽，先確定幸運之星，再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，

3、有30292017 400(種)結(jié)果；(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(種)結(jié)果因此共有17 40011 40028 800(種)不同結(jié)果反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，類中有步的情形如下圖：具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類方法，在第1類方法中有3步，在第2類方法中有2步，每步的方法數(shù)如下圖所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3m4m5，“類與“步可進一步地理解為：“類用“號連接，“步用“號連接，“類獨立，“步連續(xù)，“類標志一件事的完成，“步缺一不可跟蹤訓練1現(xiàn)有4種不同顏色，要對如下圖的四個局部進展著色，要求有公共邊界的兩局部不能用同一種顏色，

4、那么不同的著色方法共有()A24種 B30種 C36種 D48種考點涂色問題題點涂色問題答案D解析將原圖從上而下的4個區(qū)域標為1,2,3,4.因為1,2,3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類討論1,4同色與不同色這兩種情況故不同的著色方法種數(shù)為432432148.應選D.eq x(命題角度2“步中有類的計數(shù)問題)例2有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重、“立定跳遠、“肺活量、“握力、“臺階五個工程的測試，每位同學上、下午各測試一個工程，且不重復假設(shè)上午不測“握力工程，下午不測“臺階工程，其余工程上、下午都各測一人，那么不同的安排方式共有_種(用數(shù)字作答)考點兩個計數(shù)原理的區(qū)別與

5、聯(lián)系題點兩個原理的簡單綜合應用答案264解析上午總測試方法有432124(種)；我們以A，B，C，D，E依次代表五個測試工程假設(shè)上午測試E的同學下午測試D，那么上午測試A的同學下午只能測試B，C，確定上午測試A的同學后其余兩位同學上、下午的測試方法共有2種；假設(shè)上午測試E的同學下午測試A，B，C之一，那么上午測試A，B，C中任何一個的同學下午都可以測試D，安排完這位同學后其余兩位同學的測試方式就確定了，故共有339(種)測試方法，即下午的測試方法共有11種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的測試方法共有2411264(種)反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，步中有類的情形如下圖：從計數(shù)的角度看，由A到D算

6、作完成一件事，可簡單地記為AD.完成AD這件事，需要經(jīng)歷三步，即AB，BC，CD.其中BC這步又分為三類，這就是步中有類其中mi(i1,2,3,4,5)表示相應步的方法數(shù)完成AD這件事的方法數(shù)為m1(m2m3m4)m5.以上給出了處理步中有類問題的一般方法跟蹤訓練2如下圖，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式共有()A11 B12 C20 D21考點兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系題點兩個原理的簡單綜合應用答案D解析根據(jù)題意，設(shè)5個開關(guān)依次為1,2,3,4,5，假設(shè)電路接通，那么開關(guān)1,2與3,4,5中至少有1個接通，對于開關(guān)1,2，共有224(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，那么其至少有1個接通的有4

7、13(種)情況，對于開關(guān)3,4,5，共有2228(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，那么其至少有1個接通的有817(種)情況，那么電路接通的情況有3721(種)應選D.類型二有限制條件的排列問題例33個女生和5個男生排成一排(1)如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？(5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰)，有多少種不同的排法？考點排列的應用題點有限制條件的排列問題解(1)(捆綁法)因為3個女生必須排在一起，所以可先把她們看成一個整體，這樣同5

8、個男生合在一起共有6個元素，排成一排有Aeq oal(6,6)種不同排法對于其中的每一種排法，3個女生之間又有Aeq oal(3,3)種不同的排法，因此共有Aeq oal(6,6)Aeq oal(3,3)4 320(種)不同的排法(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把5個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空，這樣共有4個空，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有6個位置，再把3個女生插入這6個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于5個男生排成一排有Aeq oal(5,5)種不同的排法，對于其中任意一種排法，從上述6個位置中選出3個來讓3個女生插入有Aeq

9、 oal(3,6)種方法，因此共有Aeq oal(5,5)Aeq oal(3,6)14 400(種)不同的排法(3)方法一(特殊位置優(yōu)先法)因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有Aeq oal(2,5)種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有Aeq oal(6,6)種排法，所以共有Aeq oal(2,5)Aeq oal(6,6)14 400(種)不同的排法方法二(間接法)3個女生和5個男生排成一排共有Aeq oal(8,8)種不同的排法，從中扣除女生排在首位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(

10、7,7)種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時被扣去一次，在扣除女生排在末位時又被扣去一次，所以還需加一次，由于兩端都是女生有Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq oal(8,8)2Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)14 400(種)不同的排法方法三(特殊元素優(yōu)先法)從中間6個位置中挑選出3個讓3個女生排入，有Aeq oal(3,6)種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個位置又都有Aeq oal(5,5)種不同的排法，所以共有Aeq oal(3,6)Aeq oal(5,5

11、)14 400(種)不同的排法(4)方法一因為只要求兩端不能都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)種不同的排法；如果首位排女生，有Aeq oal(1,3)種排法，這時末位就只能排男生，這樣可有Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)種不同的排法因此共有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)36 000(種)不同的排法方法二3個女生和5個男生排成一排有Aeq oal(8,8)種排法，從中扣去兩端都是女生的排

12、法有Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有Aeq oal(8,8)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)36 000(種)不同的排法(5)(順序固定問題)因為8人排隊，其中兩人順序固定，共有eq f(Aoal(8,8),Aoal(2,2)20 160(種)不同的排法反思與感悟(1)排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個位置，某個位置只能放某些元素等要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素當用直接法比擬麻煩時，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜

13、法，但必須注意要不重復，不遺漏(去盡)(2)對于某些特殊問題，可采取相對固定的特殊方法，如相鄰問題，可用“捆綁法，即將相鄰元素看成一個整體與其他元素排列，再進展內(nèi)部排列；不相鄰問題，那么用“插空法，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中跟蹤訓練3為迎接中共十九大，某校舉辦了“祖國，你好詩歌朗讀比賽該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學生中選派4名學生參加，要求甲、乙、丙這3名學生中至少有1人參加，且當這3名學生都參加時，甲和乙的朗讀順序不能相鄰，那么選派的4名學生不同的朗讀順序的種數(shù)為()A720 B768 C810 D816考點排列的應用題點有限制條件的排列問題答案B解析根據(jù)題

14、意，在7名學生中選派4名學生參加詩歌朗讀比賽，有Aeq oal(4,7)840(種)情況，其中甲、乙、丙都沒有參加，即選派其他四人參加的情況有Aeq oal(4,4)24(種)，那么甲、乙、丙這3名學生中至少有1人參加的情況有84024816(種)；其中當甲乙丙都參加且甲和乙相鄰的情況有Ceq oal(1,4)Aeq oal(2,2)Aeq oal(3,3)48(種)，那么滿足題意的朗讀順序有81648768(種)應選B.類型三排列與組合的綜合應用例4有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標的

15、數(shù)字之和等于10，那么不同的排法共有多少種？考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應用解分三類：第一類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,2,3,4時，不同的排法有Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Aeq oal(4,4)種第二類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,1,4,4時，不同的排法有Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,2)Aeq oal(4,4)種第三類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2,2,3,3時，不同的排法有Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,2)Aeq oal(4,4)種故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為C

16、eq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Aeq oal(4,4)2Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,2)Aeq oal(4,4)432.反思與感悟解答排列、組合綜合問題的思路及注意點(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進展排列(2)解排列、組合綜合問題時要注意以下幾點：元素是否有序是區(qū)分排列與組合的根本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法跟蹤訓

17、練4某科室派出4名調(diào)研員到3個學校，調(diào)研該校高三復習備考近況，要求每個學校至少一名，那么不同的分配方案種數(shù)為_考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應用答案36解析先從4名調(diào)研員中選2名去同一所學校有Ceq oal(2,4)種方案，然后與另外兩名調(diào)研員進展全排列對應三所學校，有Aeq oal(3,3)種方案，故共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,3)36(種)分配方案1給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復)，那么不同編號的書共有()A8本 B9本 C12本 D18本考點分步乘法計數(shù)原理題點分步乘法計數(shù)原理的應用答案D解析由分步乘法計數(shù)

18、原理得，不同編號的書共有23318(本)2在100件產(chǎn)品中，有3件是次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法種數(shù)為()ACeq oal(2,3)Ceq oal(3,97) BCeq oal(2,3)Ceq oal(3,97)Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,97)CCeq oal(5,100)Ceq oal(1,3)Ceq oal(4,97) DCeq oal(5,100)Ceq oal(5,97)考點組合的應用題點有限制條件的組合問題答案B解析根據(jù)題意，“至少有2件次品可分為“有2件次品與“有3件次品兩種情況，“有2件次品的抽取方法有Ceq oal(2,3)Ceq oal

19、(3,97)種，“有3件次品的抽取方法有Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,97)種，那么共有Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,97)Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,97)種不同的抽取方法，應選B.3從4男3女志愿者中選1女2男分別到A，B，C三地去執(zhí)行任務，那么不同的選派方法有()A36種 B108種 C210種 D72種考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應用答案B解析從4男3女志愿者中選1女2男有Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,4)18(種)方法，分別到A，B，C地執(zhí)行任務，有Aeq oal(3,3)6(種)方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同

20、的選派方法有186108(種)48次投籃中，投中3次，其中恰有2次連續(xù)命中的情形有_種考點排列的應用題點排列的簡單應用答案30解析將2次連續(xù)命中當作一個整體，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6個空檔里進展排列有Aeq oal(2,6)30(種)5某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，那么不同的傳遞方法共有_種(用數(shù)字作答)考點排列的應用題點元素“在與“不在問題答案96解析甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有Aeq oal(4,4)種方法乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有Aeq oal(4,4)種

21、方法丙傳第一棒，共有Ceq oal(1,2)Aeq oal(4,4)種方法由分類計數(shù)原理得，共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(4,4)Ceq oal(1,2)Aeq oal(4,4)96(種)方法1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最根本、也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復雜的排列、組合問題的根底2解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進展分類、分步，再利用兩個根本計數(shù)原理作最后處理3對于較難直接解決的問題那么可用間接法，但應做到不重不漏4對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，防止計數(shù)的重復

22、或遺漏一、選擇題1按ABO血型系統(tǒng)學說，每個人的血型為A，B，O，AB型四種之一依血型遺傳學，當且僅當父母中至少有一人的血型是AB型時，子女的血型一定不是O型假設(shè)某人的血型為O型，那么其父母血型的所有可能情況有()A12種 B6種 C10種 D9種考點分步乘法計數(shù)原理題點分步乘法計數(shù)原理的應用答案D解析由題意，他的父母的血型都是A，B，O三種之一，由分步乘法計數(shù)原理知，其父母血型的所有可能情況共有339(種)2假設(shè)Ceq oal(3,n)Ceq oal(4,n)，那么eq f(n！,3！n3！)的值為()A1 B20 C35 D7考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式計算答案C解析假設(shè)Ceq oal

23、(3,n)Ceq oal(4,n)，那么eq f(nn1n2,321)eq f(nn1n2n3,4321)，可得n7，所以eq f(n！,3！n3！)eq f(7！,3！4！)eq f(765,321)35.3在100,101,102，999這些數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增(如“145”)或嚴格遞減(如“321”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是()A120 B204 C168 D216考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題答案B解析由題意知此題是一個計數(shù)原理的應用，首先對數(shù)字分類，當數(shù)字不含0時，從9個數(shù)字中選三個，那么這三個數(shù)字遞增或遞減的順序可以確定兩個三位數(shù)，共有2Ceq oal(3,9)168(個)，當三

24、個數(shù)字中含有0時，從9個數(shù)字中選2個數(shù)，它們只有遞減一種結(jié)果，共有Ceq oal(2,9)36(個)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有16836204(個)，應選B.4有三對師徒共6個人，站成一排照相，每對師徒相鄰的站法共有()A72種 B54種 C48種 D8種考點排列的應用題點元素“相鄰與“不相鄰問題答案C解析用分步乘法計數(shù)原理：第一步：先排每對師徒有Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)，第二步：將每對師徒當作一個整體進展排列有Aeq oal(3,3)種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有Aeq oal(3,3)(Aeq oal(2,2)348(種)5用1,2,3,4

25、,5這五個數(shù)字可以組成比20 000大，且百位數(shù)字不是3的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為()A96 B78 C72 D64考點排列的應用題點數(shù)字的排列問題答案B解析比20 000大含兩層含義：一是萬位不是1，二是5個數(shù)字全用上，故問題等價于“由1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成萬位不是1，百位不是3的無重復數(shù)字的個數(shù)，萬位是3時，有Aeq oal(4,4)個，萬位不是3時，有33Aeq oal(3,3)個，所以共有Aeq oal(4,4)33Aeq oal(3,3)78(個)，應選B.6用六種不同的顏色給如下圖的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么不同的涂色方法共有()A4 320種 B2 88

26、0種 C1 440種 D720種考點涂色問題題點涂色問題答案A解析第一個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第二個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第三個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第四個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第五個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第六個區(qū)域有3種不同的涂色方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有6543434 320(種)涂色方法7某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5,4種退燒藥b1，b2，b3，b4，現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時使用進展療效實驗，但又知a1，a2兩種藥必須同時使用，且a3，b4兩種藥不能同時使用，那么不同的實驗方案共有()A56種 B28種 C21種 D14種

27、考點組合的應用題點有限制條件的組合問題答案D解析分3類：當取a1，a2時，再取退燒藥有Ceq oal(1,4)種方案；取a3時，取另一種消炎藥的方法有Ceq oal(1,2)種，再取退燒藥有Ceq oal(1,3)種，共有Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,3)種方案；取a4，a5時，再取退燒藥有Ceq oal(1,4)種方案故共有Ceq oal(1,4)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,3)Ceq oal(1,4)14(種)不同的實驗方案8某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，當甲、乙同時參加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同發(fā)言

28、順序的排法種數(shù)為()A360 B520 C600 D720考點排列的應用題點排列的簡單應用答案C解析根據(jù)題意，可分兩種情況討論：甲、乙兩人中只有一人參加，有Ceq oal(1,2)Ceq oal(3,5)Aeq oal(4,4)480(種)情況；甲、乙兩人都參加，有Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,5)Aeq oal(4,4)240(種)情況，其中甲、乙兩人的發(fā)言相鄰的情況有Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,5)Aeq oal(3,3)Aeq oal(2,2)120(種)故不同發(fā)言順序的排法種數(shù)為480240120600.二、填空題9小明、小紅等4位同學各自申請甲、乙兩所大

29、學的自主招生考試資格，那么每所大學恰有兩位同學申請，且小明、小紅沒有申請同一所大學的可能性有_種考點分類加法計數(shù)原理題點分類加法計數(shù)原理的應用答案4解析設(shè)小明、小紅等4位同學分別為A，B，C，D，小明、小紅沒有申請同一所大學，那么組合為(AC，BD)與(AD，BC)假設(shè)AC選甲學校，那么BD選乙學校，假設(shè)AC選乙學校，那么BD選甲學校；假設(shè)AD選甲學校，那么BC選乙學校，假設(shè)AD選乙學校，那么BC選甲學校故共有4種方法10現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某項效勞活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項

30、工作，那么不同安排方案的種數(shù)是_考點排列組合綜合問題題點分組分配問題答案126解析按從事司機工作的人數(shù)進展分類：有1人從事司機工作：Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,3)108(種)；有2人從事司機工作：Ceq oal(2,3)Aeq oal(3,3)18(種)不同安排方案的種數(shù)是10818126.11連接正三棱柱的6個頂點，可以組成_個四面體考點組合的應用題點與幾何有關(guān)的組合問題答案12解析從正三棱柱的6個頂點中任取4個，有Ceq oal(4,6)種方法，其中4個點共面的有3種情況，故可以組成Ceq oal(4,6)312(個)四面體12用1,2,3,4這四個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)夾在兩個奇數(shù)之間的四位數(shù)的個數(shù)為_考點排列組合綜合問題題點排列與組合的綜合應用答案8解析首先排兩個奇數(shù)1,3，有Aeq oal(2,2)種排法，再在2,4中取一個數(shù)放在1,3之間，有Ceq oal(1,2)種排法，然后把這3個數(shù)作為一個整體與剩下的另一個偶數(shù)全排列，有Aeq oal(2,2)種排法，即滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為Aeq oal(2,2)Ceq oal(1,2)Aeq oal(2,2)8.三、解答題13有甲、乙、丙、丁、戊5名