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1、第二節(jié) 分式線性映射一、分式線性映射的概念二、幾種簡單的分式線性映射三、分式線性映射的性質四、小結與思考2一、分式線性映射的概念稱為分式線性映射.說明: 否則, 由于那末整個z平面映射成 w平面上的一點.小知識3分式線性映射的逆映射, 也是分式線性映射.2) 由3) 兩分式線性映射仍復合為分式線性映44) 分式線性映射一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊的簡單映射復合而成:5二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見, 令w平面與z平面重合)6二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見, 令w平面與z平面重合)7旋轉與伸長(或縮短)變換事實上, 設那末因此, 把z先轉一個角度8關

2、于橫軸對稱反演變換此映射可進一步分解為欲由點z作出點w, 可考慮如下作圖次序:關鍵: 9對稱點的定義: 設C為以原點為中心, r為半徑的圓周. 在以滿足關系式那末就稱這兩點為關于這圓周的對稱點.規(guī)定: 無窮遠點的對稱點是圓心O.10.設P在C外, 從P作C的切線PT, 由T作OP的垂作圖:.11故可知:.關于單位圓對稱關于實軸對稱12三、分式線性映射的性質1.一一對應性例如:結論:分式線性映射在擴充復平面上一一對應.132.保角性若規(guī)定: 兩條伸向無窮遠的曲線在無窮遠點處的交角, 等于它們在映射 下所映成的通過圓點的兩條象曲線的交角.14綜上所述知:15綜上所述:定理一 分式線性映射在擴充復平

3、面上是一一對應的，且具有保角性163. 保圓性 所謂保圓性指在擴充復平面上將圓周映射為圓周的性質.特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1) 映射特點: 所以此映射在擴充復平面上具有保圓性.平移而得到172) 映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴充復平面上具有保圓性.183) 分式線性映射定理二 分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周, 即具有保圓性.說明: 如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點, 那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個點映射成無窮遠點, 那末它就映射成直線.如果194. 保對稱性對稱點的特性.20.21結論充要條件是:22即分式線性映射具有保對稱性.定理三23證分式線性映射證畢24小知識分式線性映射首先由德國數學家默比烏斯(17901868)研究, 所以也稱為默比烏斯映射.對每一個固定的w, 此式關于z是線性的;對每一個固定的z, 此式關于w也是線性的, 因此稱上式是雙線性的. 分式線性映射也稱雙線性映射.默比烏斯25四、小結與思考 分式線性映射是一類比較簡單而又很重要的共形映射,應熟悉分式線性映射的分解和復合, 及其保角性、保圓性和保對稱性.26思考題27思考題答案放映結束，按Esc退出.28默比烏斯資料 August MbiusBorn: 17 Nov 1790 in Schulpfor

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