非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)分析

1、 /11時(shí)間序列分析讀書(shū)報(bào)告與數(shù)據(jù)分析劉愉 200921210001時(shí)間序列分析是利用觀測(cè)數(shù)據(jù)建模，揭示系統(tǒng)規(guī)律，預(yù)測(cè)系統(tǒng)演化的方法。根據(jù)系統(tǒng)是否線性，時(shí)間序列分析的方法可分為線性時(shí)間序列分析和非線性時(shí)間序列分析。一、時(shí)間序列分析涉及的基本概念1、測(cè)量對(duì)于一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，我們可以用方程表示其對(duì)應(yīng)的模型，如有限差分方程、微分方程等。如果用Xt或X （t）表示所關(guān)心系統(tǒng)變量的列向量，則系統(tǒng)的變化規(guī)律可表示成亠dXXt 1 = f （Xt）或F （X ）dt其中X可以是單變量，也可以是向量，F(xiàn)是函數(shù)向量。通過(guò)這類方程，我們可以研究系統(tǒng)的演化，如固定點(diǎn)、周期、混沌等。在實(shí)際研究中，很多時(shí)候并不確定研究對(duì)

2、象數(shù)據(jù)何種模型，我們得到的是某類模型（用Xt或X （t）表示）的若干觀測(cè)值（用 Dt或D（t）表示），構(gòu)成觀測(cè)的某個(gè)時(shí)間序 列，我們要做的是根據(jù)一系列觀測(cè)的數(shù)據(jù)， 探索系統(tǒng)的演化規(guī)律，預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)間的數(shù)據(jù) 或系統(tǒng)狀態(tài)。2、噪聲測(cè)量值和系統(tǒng)真實(shí)值之間不可避免的存在一些誤差，稱為測(cè)量誤差。其來(lái)源主要有三個(gè)方面：系統(tǒng)偏差（測(cè)量過(guò)程中的偏差，如指標(biāo)定義是否準(zhǔn)確反映了關(guān)心的變量）、測(cè)量誤差（測(cè)量過(guò)程中數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)）和動(dòng)態(tài)噪音（外界的干擾等）。高斯白噪聲是一類非常常見(jiàn)且經(jīng)典的噪聲。所謂白噪聲是指任意時(shí)刻的噪聲水平完全獨(dú)立于其他時(shí)刻噪聲。 高斯白噪聲即分布服從高斯分布的白噪聲。這類噪聲實(shí)際體現(xiàn)了觀測(cè)數(shù)據(jù)在理

3、論值（或真實(shí)值）周圍的隨機(jī)游走，它可以被如下概率分布刻畫(huà)：21（x M ）p（x）dxexp2 dx （ 1）2 財(cái) 22ct其中M和二均為常數(shù)，分別代表均值和標(biāo)準(zhǔn)差。3、均值和標(biāo)準(zhǔn)差最簡(jiǎn)單常用的描述時(shí)間序列的方法是用均值和標(biāo)準(zhǔn)差表示序列的整體水平和波動(dòng) 情況。（1）均值如果M是系統(tǒng)真實(shí)的平均水平，我們用觀測(cè)的時(shí)間序列估計(jì)M的真實(shí)水平方法是：認(rèn)為N個(gè)采樣值的水平是系統(tǒng)水平的真實(shí)反映，那么最能代表這些觀測(cè)值（離所有觀測(cè)值最近）的M est即可作為M的估計(jì)。于是定義 Dt與M est的偏離為（Dt -M est）2,所以, 使下面E最小的M的估計(jì)值即為所求：N2E =為（Dt M est）（2）t

4、 d經(jīng)過(guò)求道計(jì)算，得到1 NM estDt（ 3）N T即樣本的均值即為系統(tǒng)真是均值的估計(jì)值。（2）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差代表了系統(tǒng)在均值兩側(cè)的波動(dòng)情況。對(duì)時(shí)間樣本有:V 二 Dt -M est( 4)為了分析所有時(shí)間上平均的波動(dòng)情況，我們也可以嘗試對(duì)波動(dòng)取平均，即:N(DtN t4/ N、(5)1一 M est ) = Z Dt 一 M est = lN 7丿我們發(fā)現(xiàn)，這樣平均的結(jié)果是正負(fù)波動(dòng)抵消了，波動(dòng)的平均恒為零，為了避免這 種情況，改用波動(dòng)的平方的平均水平代替，即1 N 匚2Vt2(M est -Dt)2（6）N tuN y匚即為標(biāo)準(zhǔn)差。（3）均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差我們用M est估計(jì)M，存在一定偏差或

5、不確定性，即:M est = M uncerta int y（ 7）實(shí)際上，這種不確定性來(lái)自每次測(cè)量偏差的平均，通常每次測(cè)量偏差是服從高斯 分布的，所以平均的不確定性計(jì)算得： （8）N我們稱之為均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。線性時(shí)間序列分析方法及模型舉例對(duì)于線性時(shí)間序列，主要的分析方法有：均值和標(biāo)準(zhǔn)差、線性相關(guān)分析和功率譜分析。1、均值和標(biāo)準(zhǔn)差分析前面已經(jīng)講過(guò)；例：模型一（模型本身是確定的（無(wú)外界干擾等隨機(jī)波動(dòng)），觀測(cè)序列是真實(shí)值加上高斯白噪聲；有限差分方程系統(tǒng)：xt 1二A Xt，其平穩(wěn)狀態(tài)為Xt = A/（1 心=M ；觀測(cè)時(shí)間序列Dt =xt Wt，其中，Wt獨(dú)立的服從均值為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為二的高斯分布

6、。從系統(tǒng)的差分方程我們可以看到，系統(tǒng)本身不受外界干擾，是確定性模型。所以觀測(cè)得到時(shí)間序列的波動(dòng)完全來(lái)自于測(cè)量過(guò)程。對(duì)于上述模型，可以通過(guò)均值、方差的估計(jì)即可估計(jì)模型、作出預(yù)測(cè)。2、線性相關(guān)分析(15) /11這種分析方法用于研究時(shí)間上相關(guān)的序列， 即后一時(shí)刻的值完全或部分由前一時(shí)刻 的或前幾個(gè)時(shí)刻的值決定。在模型一中，我們假設(shè) Wt之間是獨(dú)立的；當(dāng)這種假設(shè)不成 立時(shí)，取另一種極端，即后一時(shí)刻完全取決于前一時(shí)刻的值： TOC o 1-5 h z Vt .1 二 f (Vt)(9)我們以簡(jiǎn)單的線性函數(shù)為例：Vt 1 二 M( 10)如果結(jié)合完全獨(dú)立的情形與式(10)，則有以下情況:Vt n = V

7、 W( 11)P在-1到1之間取值，P越接近0,數(shù)據(jù)間越不相關(guān)；P接近1，表示線性正相關(guān);P接近-1，表示線性負(fù)相關(guān)通過(guò)時(shí)間序列的一系列觀測(cè)值Dt減去均值得到Vt ,我們可以通過(guò)以下公式計(jì)算相關(guān)系數(shù),N 4?est(12)，觀測(cè)序列是真實(shí)值加上高斯白噪 tVt MN、tJ VtVt 例：模型二(模型本身有不確定因素(外界干擾) 聲)受外界因素影響的有限差分方程：xt “ = Axt vt ,引入的vt是外界干擾造成的系統(tǒng)本身的波動(dòng)， 測(cè)量過(guò)程仍然像 ModelOne 樣，Dt=xtWt，這是如果做Vt +對(duì)Vt的變化圖(見(jiàn)課本figure 6.7 ),發(fā)現(xiàn)二者之間有強(qiáng)烈的線性關(guān)系。對(duì)于這類 模型，我們即可用線性相關(guān)分析來(lái)建模、預(yù)測(cè)。如果將線性相關(guān)加以推廣，可以得到自相關(guān)函數(shù)，它反映的是Vt與Vt k之間的關(guān)系：N _ t * Vt kVtR(k)(13)、冷 VtVt3、功率譜分析(1)傅里葉變換對(duì)線性系統(tǒng)，一個(gè)信號(hào)可以分解成為不同頻率的正弦波。(a)頻率為3的正弦輸入，它