三維圖形幾何變換

1、3.1.2三維圖形幾何變換三維幾何變換包括平移、旋轉(zhuǎn)和變比。三維幾何變換可以表示為公式，或三維齊次坐標(biāo)和4X4變換矩陣的乘積。下面分別以公式，矩陣乘積和簡記符號(hào)來描述三維幾何變換。并記變換前物體的坐標(biāo)為x,y,z；變換后物體的坐標(biāo)為x，y，z。一、平移設(shè)Tx,Ty,Tz是物體在三個(gè)坐標(biāo)方向上的移動(dòng)量，則有公式：x=x+Txy=y+Tyz=z+Tz矩陣運(yùn)算表達(dá)為：100OO1OO0010 xyz1=xyz1匕廠1.簡記為：T(Tx,Ty,Tz)二、旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)分為三種基本旋轉(zhuǎn)：繞z軸旋轉(zhuǎn)，繞x軸旋轉(zhuǎn)，繞y軸旋轉(zhuǎn)。在下述旋轉(zhuǎn)變換公式中，設(shè)旋轉(zhuǎn)的參考點(diǎn)在所繞的軸上，繞軸轉(zhuǎn)0角,方向是從軸所指處往原點(diǎn)看的

2、逆時(shí)針方向(圖3.5(a),(b)。繞e軸旋轉(zhuǎn)圖34(a)繞盜軸旋轉(zhuǎn)圖34(b)1繞z軸旋轉(zhuǎn)的公式為：x=xcos0ysinQy/=xsin6+ycos0Z/=Z矩陣運(yùn)算的表達(dá)為：X，yzl=xyz1cos疔sm出00-sincos點(diǎn)f0000100001簡記為R(0)。z2繞x軸旋轉(zhuǎn)的公式為:y，=ycos0zsin0z，=ysin0+zcos0矩陣運(yùn)算的表達(dá)為:x，y，z1=xyz110000cossin$00-sincos00001簡記為R(0)x2繞y軸旋轉(zhuǎn)的公式為:x，=zsin0+xcos0y，=yz，=zcos0 xsin0矩陣的運(yùn)算表達(dá)式為：Xyzl=xyz1cos總f0-si

3、n方?00100sin0cos$00001簡記為Ry(0)。如果旋轉(zhuǎn)所繞的軸不是坐標(biāo)軸，而是一根任意軸，則變換過程變顯得較復(fù)雜。首先，對(duì)物體作平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換，使得所繞之軸與某一根標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸重合。然后，繞該標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸作所需角度的旋轉(zhuǎn)。最后，通過逆變換使所繞之軸恢復(fù)到原來位置。這個(gè)過程須由7個(gè)基本變換的級(jí)聯(lián)才能完成。設(shè)旋轉(zhuǎn)所繞的任意軸為p,p兩點(diǎn)所定義的矢量。旋轉(zhuǎn)角度為(圖123.6)。這7個(gè)基本變換是：T(-x，-y,-)使P點(diǎn)與原點(diǎn)重合(圖3.6(b);R(a)，使得軸p1p2落入平面xoz內(nèi)(圖3.6(c);xR(卩)，使p1p2與z軸重合(圖3.6(d);yR(0),執(zhí)行繞p1p2軸的

4、9角度旋轉(zhuǎn)(圖3.6(e);zR(-卩)，作3的逆變換；yR(-a)，作2的逆變換；xT(x，y，z)作1的逆變換。圖3.6繞任意軸P1P2旋轉(zhuǎn)的前四個(gè)步驟1求R(a)的參數(shù)：轉(zhuǎn)角a是u在yoz平面的投影u=(o,b,c)x與z軸的夾角(圖37(a)，故有：cos=，其中d=又因u，Xu=u|u，|u|sinazxz其中u是在x軸上的投影。并且用行列式計(jì)算矢量積得:xu*u=ub,故得：zxbbsina=I如皿d，得出R(a)為:xR(a)=x圖3.72求R(p)的參數(shù)(圖3.7(b):經(jīng)過R(a)變換，p已落入xoz平y(tǒng)x2面，但p點(diǎn)與x軸的距離保持不變。因此，pp現(xiàn)在的單位矢量u的z212

5、方向分量之值即為u之長度，等于d,p是u與u之夾角，故有：zcos卩=I業(yè)=d根據(jù)矢量積的定義，有:uIun|uIsin卩=u(-a)zzy因?yàn)镮uIJ&2+護(hù)=+護(hù)+F=1,并|u|=1,所以:zsin卩=一a因此得到R(B)為:yTOC o 1-5 h zd0aOO1OO-a0d0Ry(卩)=0001繞任意軸(xyz)(xyz)轉(zhuǎn)動(dòng)0角的變換R(0)為如下級(jí)聯(lián)111222變換：R(0)=T(-x,-y,-z)R(a)R(卩)R(0)111xyzR(-卩)R(-a)T(x,y,z)yx111三、變比設(shè)sx,sy,sz是物體在三個(gè)方向的比例變化量，則有公式x=xsx,y=ysy,z=zsz,矩

6、陣運(yùn)算的表達(dá)為xfyfzl=xyz簡記為S(sx,sy,sz)。相對(duì)于某個(gè)非原點(diǎn)參數(shù)點(diǎn)(xf,yf,zf)進(jìn)行固定點(diǎn)變比變換，是通過如下級(jí)聯(lián)變換實(shí)現(xiàn)的：T(-xf,-yf,-zf)S(sx,sy,sz)T(xf,yf,zf)四、三維幾何變換的指令和二維類似，三維幾何變換也有三條指令，分別執(zhí)行建立變換矩陣，積累變換和坐標(biāo)變換的功能。1建立變換矩陣的指令：creat-transformation-matrix-3(x,y,z,s,s,s,x,y,z,x,y,zfffxyzr1r1r1r2r2,a,t,t,t,matrix);r2xyz其中：xf,yf,zf是變比固定坐標(biāo)；s,s,s是變比參數(shù)；xyzx,y,z,x,y,z是旋轉(zhuǎn)所繞任意軸的起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)；r1r1r1r2r2r2a是平移參數(shù)；matrix是返回的4x4的變換矩陣。2積累變換的指令accumulate-matrices-3(m,m,m);12其中m,m是輸入矩陣，m是輸出矩陣。三個(gè)都是4X4的矩陣。這條指12令執(zhí)行如下功能：m=mm123坐標(biāo)變