信號與系統(tǒng)連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析精選

1、3.1 信號的正交分解3.2 周期信號的連續(xù)時間的傅立葉級數(shù)3.3 周期信號的頻譜3.4 非周期信號的連續(xù)時間傅立葉變換3.5 傅立葉變換的性質(zhì)(xngzh)3.6 連續(xù)信號的抽樣定理3.7 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第三章 連續(xù)(linx)信號與系統(tǒng)的頻域分析點擊紅色箭頭進入相應(yīng)章節(jié)共六十九頁3.1 信號(xnho)的正交分解該式可為兩矢量(shling)正交的定義式。另外一種理解 V1與V2不正交，現(xiàn)在要求尋求一個與V2 成比例的矢量C12 V2，使得當用C12V2近 似表示V1時，其誤差矢量Ve 的模最小。 就是找一個最佳系數(shù)C12，使Ve的模最 小。如左上圖所示，知V1垂直于V2時，Ve的模才

2、能最小。這個問題的實質(zhì)3.1.1 矢量的正交分析 1.正交矢量 數(shù)學(xué)定義 兩矢量正交，在幾何意義上是指兩矢量相互垂直（如右圖所示）。兩矢量相互垂直時的夾角為90度，即：共六十九頁所以(suy)最佳系數(shù)為此時(c sh)，結(jié)論：給定兩矢量V1和V2,若用與V2成比例的矢量C12 V2近 似V1，要求誤差矢量 的模 最小，（此時的C12稱為最佳），當C120時，Ve的 模最小，此時V1和V2正交。所以最佳系數(shù)為此時，共六十九頁 2.矢量分解(fnji) 在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任 一矢量(shling)V都可表示為V1和V2的線

3、性組合 （如上圖）。即：V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1V20。其中： 同樣，對于一個三維的空間矢量，要精確地表示它，就必須用一個三維的正交矢量集。如左圖，三維矢量空間可精確地表示為：V=c1V1+c2V2+c3V3 2.矢量分解 在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任 一矢量V都可表示為V1和V2的線性組合 （如上圖）。即：V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1V20。其中： 2.矢量分解 在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任 一

4、矢量V都可表示為V1和V2的線性組合 （如上圖）。即：V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1V20。其中： 同樣，對于一個三維的空間矢量，要精確地表示它，就必須用一個三維的正交矢量集。如左圖，三維矢量空間可精確地表示為：V=c1V1+c2V2+c3V3 2.矢量分解 在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任 一矢量V都可表示為V1和V2的線性組合 （如上圖）。即：V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1V20。其中： 共六十九頁推廣(tugung)到n維空間，則有其中，Ci = VVi/Vi Vi3.

5、1.2 信號(xnho)的正交分解 1.正交信號（函數(shù)） *定義:設(shè) f 1(t)和 f 2(t)為定義在（t1 ,t2 )區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與 f 2(t)成比例的一個函數(shù)C12f 2(t)近似地代表 f 1(t)，其誤差信號為平方誤差定義為：改變c12的大小，如果使Ee 為最小時相應(yīng)的c120，稱 f 1(t)和 f 2(t)在區(qū)間（t1 ,t2)上正交。判定兩信號正交的條件：推廣到n維空間，則有其中，Ci = VVi/Vi Vi3.1.2 信號的正交分解 1.正交信號（函數(shù)）共六十九頁 2 信號(xnho)的正交分解*正交函數(shù)集：設(shè)一函數(shù)集 當Ki=1時，稱為(chn wi)歸一

6、化正交函數(shù)集。 *信號的分解：用上述正交函數(shù)集近似地表示信號f (t)，即：這種近似所產(chǎn)生的平方誤差為：同樣可以求出，欲使Ee達到最小，其第r個函數(shù)的加權(quán)系數(shù)Cr為此時的平方誤差為下式所示： 當Ki=1時，稱為歸一化正交函數(shù)集。 *信號的分解：用上述正交函數(shù)集近似地表示信號f (t)，即：這種近似所產(chǎn)生的平方誤差為：共六十九頁 如果對于某一類f(t),所選擇的正交函數(shù)集滿足(mnz)Ee等于零，則稱正交函數(shù)集對于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。 一個完備的正交函數(shù)集通常是一個無窮函數(shù)集。 關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個重要定理。見課本P91。 3 兩個完備(wnbi)的正交函數(shù)集 （1）三

7、角函數(shù)集 基本周期：T=2/,正交區(qū)間（t0 ，t0+T）。是完備的正交函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)集。 如果對于某一類f(t),所選擇的正交函數(shù)集滿足Ee等于零，則稱正交函數(shù)集對于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。 一個完備的正交函數(shù)集通常是一個無窮函數(shù)集。 關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個重要定理。見課本P91。 3 兩個完備的正交函數(shù)集 （1）三角函數(shù)集 基本周期：T=2/,正交區(qū)間（t0 ，t0+T）。是完備的正交函數(shù)集。 如果對于某一類f(t),所選擇的正交函數(shù)集滿足Ee等于零，則稱正交函數(shù)集對于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。 一個完備的正交函數(shù)集通常是一個無窮函數(shù)集。 關(guān)于完備

8、的正交函數(shù)集，有兩個重要定理。見課本P93。 3 兩個完備的正交函數(shù)集 （1）三角函數(shù)集共六十九頁(2)指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)集： 基本周期：T=2/, 正交區(qū)間(q jin)（t0 ，t0+T）。 是完備的正交函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)集(2)指數(shù)函數(shù)集：共六十九頁3.2 周期信號的傅立葉級數(shù)(j sh)分解3.2.1 三角(snjio)形式傅立葉級數(shù)分解 1.三角函數(shù)集 該函數(shù)在（t0，t0+T）上為完備的正交函數(shù)集。 2.正交展開 將任一周期函數(shù)信號展開為：該函數(shù)系數(shù)共六十九頁將a0包含(bohn)在an中則有：共六十九頁 該周期函數(shù)可以(ky)視為由直流、基波和無窮多諧波分量

9、組成。 3。 4.當該周期函數(shù)(zhu q hn sh)為偶函數(shù)時，bn0，展開式只含直 流及說明：1.周期信號可分解表示為三角函數(shù)的線性組合。 2.物理意義：周期信號可分解為眾多頻率成整數(shù)倍和正（余）弦函數(shù)或分量的線性組合。具體有： 當該周期函數(shù)為奇函數(shù)時，a0an0，展開式只 會含共六十九頁3.2.2 指數(shù)(zhsh)形式傅立葉級數(shù)分解 1.復(fù)指數(shù)函數(shù)集該函數(shù)(hnsh)在（t0，t0+T）上為完備的正交函數(shù)集。 2.正交展開： 將任一周期信號展開為 稱為周期信號的指數(shù)型傅立葉級數(shù)展開式或復(fù)系數(shù)傅立葉級數(shù)共六十九頁3.2.3 傅立葉系數(shù)(xsh)關(guān)系 比較兩種展開式，得： 例題：周期性矩形

10、脈沖的傅立葉系數(shù)(xsh)計算。P94結(jié)論：其中：共六十九頁例：周期性矩形脈沖信號(xnho)，求其三角型、指數(shù)型傅立葉級數(shù)。周期：T T2/ 幅度(fd)：E寬度： 解：因為fT(t)為偶函數(shù)，所以bn=0展開式僅含直流與余弦分量共六十九頁其中(qzhng)：如下(rxi)圖 稱為“取樣”函數(shù)其性質(zhì)： 偶函數(shù) 共六十九頁3.3 周期信號(xnho)的頻譜與功率3.3.1 fT(t)的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)(zhsh)信號或正弦信號的線性組合。 為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅及相位隨w變化的曲線稱其為頻譜圖。 以前節(jié)周期信號為例： 各諧波分量的角頻率n 是基波

11、角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均有傅立葉系數(shù)反映出來。3.3.1 fT(t)的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號或正弦信號的線性組合。 以前節(jié)周期信號為例： 各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均有傅立葉系數(shù)反映出來。3.3.1 fT(t)的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號或正弦信號的線性組合。 以前節(jié)周期信號為例： 各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均有傅立葉系數(shù)反映出來。 為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅及相位隨w變化的曲線稱其為頻譜圖。3.3.1 fT(t)的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指

12、數(shù)信號或正弦信號的線性組合。 以前節(jié)周期信號為例： 各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均有傅立葉系數(shù)反映出來。 為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅及相位隨w變化的曲線稱其為頻譜圖。3.3.1 fT(t)的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號或正弦信號的線性組合。 以前節(jié)周期信號為例： 各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均有傅立葉系數(shù)反映出來。共六十九頁 共六十九頁 雙邊(shungbin)振幅譜： 單邊振幅譜：頻譜特點： 1.離散性、諧波性：僅在0、正負、正負2。處出現(xiàn)，與相應(yīng)諧波分量對應(yīng)(duyng)。譜線間隔2

13、/T ，當T增加，減小 雙邊振幅譜： 單邊振幅譜：頻譜特點：共六十九頁當T趨近于無窮大時，周期函數(shù)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)，離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。 2.收斂性：振幅包絡(luò)線按Sa(/ 2)規(guī)律變化，總趨勢為0。 * 能量集中(jzhng)于低頻分量：當n/ 2=k(k=正負1,正負2.),即n=2k/時,包絡(luò)線振幅為零.定義信號頻帶寬度(帶寬): * 帶寬與脈沖(michng)成反比:愈小,Bw愈大. * 脈沖幅度一定時,振幅譜幅值(/T)與成正比,與T成反比.當T趨近于無窮大時,各諧波分量振幅均趨近于無窮小,但它們之間仍有一定比例關(guān)系.在非周期信號頻譜中將用頻譜密度這一概念來描述這種相對比例關(guān)系. 3.3.

14、2 fT(t)的功率 設(shè)fT(t)為實信號在1歐姆電阻上消耗的平均功率為:共六十九頁fT(t)為實函數(shù)(hnsh)所以,周期信號(xnho)時域功率=頻域信號功率之和-帕塞瓦爾恒等式共六十九頁3.4 非周期(zhuq)信號的分解 3.4.1 傅立葉變換 周期信號分解的數(shù)學(xué)工具(gngj)是傅立葉級數(shù); 非周期信號分解的數(shù)學(xué)工具是傅立葉變換.對周期信 號來說:改寫為:故對非周期信號:簡記為:共六十九頁 3.4.2 非周期信號(xnho)的頻譜函數(shù).1.理論上講,f (t)應(yīng)滿足一定條件才可存在傅立葉變換,一般來說. 存在的充分條件為f (t)滿足絕對可積,即要求 2.在這里,F (j)不是振幅(

15、zhnf)的概念,而是密度概念,故稱頻譜密度.3.F (j)為一復(fù)函數(shù).上式中:共六十九頁易推結(jié)論(jiln):f (t)為實函數(shù)時有:4.逆變換的物理(wl)含義:*非周期信號的 (虛指數(shù)函數(shù))分解;*非周期信號的正弦分解:共六十九頁3.5 傅立葉交換性質(zhì)(xngzh)、定理 一.線性： 傅立葉計算是一種(y zhn)線性運算，它包含兩種意義：1。齊次性：時域信號數(shù)乘 a，頻譜函數(shù)也數(shù)乘a。2?？杉有裕簬讉€信號之和的頻譜函數(shù)各信號頻譜函數(shù)之和。 二.時移性：證明：共六十九頁 同理： 所以：f(t)右移t0，F(xiàn)(j)幅度不變，諧頻率(pnl)分量相位滯后t0 例： 即：三.頻移性：證：共六十九

16、頁說明：頻域中頻譜右移(yu y)0，反映在時域中對立f(t)乘以虛指數(shù)函數(shù)(hnsh)例：求高頻調(diào)制信號的頻譜。解：即：f (t)的頻譜是將g(t)頻譜左右各移0，幅度為原來的1/2。低頻信號不便遠距離傳輸，經(jīng)調(diào)制，頻譜挪移，使變頻信號實現(xiàn)遠距離傳輸，載波信號可以是cos 0t或sin 0t 。一般有：共六十九頁故有：四.尺度(chd)變換：且a為常實數(shù)(shsh)（a不等于零）。則：證：綜上有：含義: f (at):表示將 f (t)波形沿大軸壓縮a倍.表示將F(j)波形沿軸擴展a倍，幅度減小|a|倍。共六十九頁例： 可見：信號的持續(xù)時間與帶寬成反比。 電子技術(shù)(jsh)中為加快信息傳輸，

17、在時域壓縮持續(xù)時間， 但是在域不得不展寬頻帶，在實際應(yīng)用中應(yīng)該權(quán)衡考慮。推論(tuln)：共六十九頁證一：先進行時移后進行尺度(chd)變換證二：先進行(jnxng)尺度變換后進行(jnxng)時移注意：在時域，無論時移、尺度都是對t來說的。五.對稱性：證：所以，性質(zhì)成立！推論：若f(t)為t的偶函數(shù)，則例一 ：共六十九頁例二：例三：求F(1/t)。例四：求六.卷積定理：共六十九頁應(yīng)用傅立葉變換(binhun)定義和時移性可證卷積。證明如下：例：求解：共六十九頁 含義：時域卷積運算可轉(zhuǎn)換(zhunhun)為頻域相乘在求傅立葉反變換七.時域微分(wi fn)、積分：式（2）證：例一 ：由對稱性得

18、：由時域相乘得：共六十九頁由線性、倒置(dozh)性可得：八.頻域微分(wi fn)、積分：1.頻域微分：證：因為根據(jù)頻域卷積定理得：由前面結(jié)果得：同理n階微分也成立！2.頻域積分：共六十九頁如果(rgu)f(0)=0，則有證：按卷積微積分性質(zhì)(xngzh)：考慮傅立葉反變換得下式1：由于按對稱性得：將上結(jié)果代入1式得：其中f(0)可由頻域積分得到：例 ：共六十九頁九.帕什瓦爾定理(dngl): 對于周期信號(xnho)的帕什瓦爾定理有： 表明周期信號的功率該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。 周期信號是功率信號，但一般而言，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，其能量為有限值，故為能量

19、信號，只能從能量觀點研究。 非周期信號總能量：時域定義交換積分次序共六十九頁可證：最后(zuhu)得：十.周期(zhuq)信號的傅立葉變換:方法一：說明：fT(t)的傅立葉變換由無窮多個沖激函數(shù)組成，它位于信 號各諧波角頻率n處，其強度為各諧波分量幅度Fn的 2倍 。例：單位沖激序列的傅立葉變換。共六十九頁說明(shumng)：的傅立葉變換是周期(zhuq)為強度為的沖激序列。方法二：綜上：共六十九頁例 ：共六十九頁3.6 連續(xù)信號的抽樣(chu yn)定理一.低通信(tng xn)號與樣值信號： 1.低通信號（也稱帶限信號）：2.樣值信號 信號f (t)加在抽樣器的輸入端，抽樣器相當于一個定

20、時開關(guān)，它每隔Ts秒閉合一次，閉合時間為，輸出端輸出fs(t)共六十九頁抽樣(chu yn)周期抽樣(chu yn)頻率抽樣角頻率2.抽樣數(shù)學(xué)模型：研究兩個問題：共六十九頁二.樣值信號(xnho)的傅立葉變換：設(shè)：f (t)為低通信(tng xn)號，S(t)為均勻沖激序列。信號的抽樣及其頻譜圖示：共六十九頁共六十九頁三.f (t)的恢復(fù)(huf)： 頻域處理：恢復(fù)(huf)公式共六十九頁 可見：連續(xù)信號f(t)可由多個位于抽樣(chu yn)點的Sa函數(shù)組成，各Sa函數(shù)的幅值為該點的抽樣值f (nTs),依據(jù)上述公式，可由各抽樣值恢復(fù)出f（t）。圖示如下：四.時域抽樣(chu yn)定理：共

21、六十九頁五.周期脈沖抽樣： 理想抽樣在理論上是成立(chngl)的，但實際上無法實現(xiàn)。因為沖激序列無法得到。實際工作中，抽樣器用電子開關(guān)實現(xiàn)，開關(guān)函數(shù)用周期矩形脈沖函數(shù)。 對于周期脈沖抽樣：1.樣值信號(xnho)：共六十九頁2.脈沖抽樣過程(guchng)及其波形，頻譜如下頁圖.共六十九頁圖 ：矩形脈沖抽樣(chu yn)(a) f(t)的波形及其頻譜； (b) PTs的波形及其頻譜； (c) fs(t)的波形及其頻譜 共六十九頁六.頻域抽樣(chu yn)：（略）共六十九頁 傅里葉分析(fnx)是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期(zhuq)信號：對非周期信號：其基本

22、信號為 ej t（ ejnt ）一、基本信號ej t激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號的定義域為(，)，而t= 總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。 3.7 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析共六十九頁設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當激勵(jl)是角頻率的基本信號ej t時，其響應(yīng) 稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)，它反映系統(tǒng)自身傳輸、處理信號的特性。y(t) = h(t)* ej t式中：H(j)=Fh(t)共六十九頁二、一般信號(xnho)f(t)激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej tF(j ) ej t d F(j )H(j ) e

23、j t d 齊次性可加性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )共六十九頁步驟：計算(j sun)F(j)=Ff(t)； 確定頻率響應(yīng)函數(shù)H(j)； 求頻域響應(yīng)Y(j)=H(j)F(j)；求時域響應(yīng)y(t)=F-1Y(j)。頻域分析法：傅里葉變換(binhun)法共六十九頁三、H(j)的計算方法1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換(binhun)。由電路頻域模型分析求出。 通常(tngchng)H(j) 為的復(fù)函數(shù)，記為 |H(j)|稱為幅頻響應(yīng)(或幅頻特性)； ()稱為相頻

24、響應(yīng)(或相頻特性)。 共六十九頁若設(shè)則故有即幅頻響應(yīng)(xingyng) 是的偶函數(shù)；相頻響應(yīng) 是的奇函數(shù)。共六十九頁例1：某系統(tǒng)(xtng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t)求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊(lingbin)取傅里葉變換jY(j) + 2Y(j) = F(j) 共六十九頁f(t) = e-t(t)Y(j) = H(j)F(j)y(t) = (e-t e-2t )(t) 例2：如圖電路(dinl)，R=1，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路(dinl)頻域模型h(t)= e-t (t) 共六十九頁四、傅里葉級數(shù)(

25、j sh)分析法周期(zhuq)信號若則可推導(dǎo)出共六十九頁 例(教材P135) 已知系統(tǒng)函數(shù)H(j)和輸入(shr)f(t)如圖所示，求f(t)激勵下系統(tǒng)的輸出y(t)。共六十九頁 解 周期(zhuq)信號： 已知T=4 s， ，結(jié)合 的特性(txng)，可見|n|2時 =0，故有共六十九頁共六十九頁例：某LTI系統(tǒng)(xtng)的H(j)和()如圖，若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法(ji f)一：用傅里葉變換F(j) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4

26、(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j)=H(j)ej()= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j) = 2 + sin(5t)共六十九頁解法(ji f)二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波(j b)角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)共六十九頁五、無失真?zhèn)鬏?chun sh)與濾波系統(tǒng)

27、對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然(brn)伴隨著失真。 1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為 Y(j)=Ke jtdF(j) 共六十九頁系統(tǒng)(xtng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)(xtng)h(t)，H(j)的要求是： (a)對h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)對H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即 H(j)=K ,()= td 上述(shngsh)是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。 (2)無失真?zhèn)鬏敆l件：共六十九頁例：系統(tǒng)(xtng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信