實驗極限導(dǎo)數(shù)和極值

1、實驗三 最佳訂貨量 極限、導(dǎo)數(shù)和極值一、引例：最佳訂貨量問題 汽車工廠為了保證生產(chǎn)的正常運作，配件供應(yīng)一定要有保障。這些配件要預(yù)先從配件供應(yīng)商那里訂貨。每次訂貨需要收取一定量的生產(chǎn)準(zhǔn)備費。沒用完的配件，要在倉庫里儲存一段時間，為此要付出儲存費。若訂貨量很小，則需頻繁定貨，造成生產(chǎn)準(zhǔn)備費的增加；反之，若訂貨量很大，定貨周期延長而使生產(chǎn)準(zhǔn)備費減少但會造成儲存費的增加。如何確定合適的訂貨量？解 先作一些必要的假設(shè)將問題簡化1）汽車工廠對配件的日需求量是恒定的，每日為r件；2）所訂配件按時一次性交貨，生產(chǎn)準(zhǔn)備費每次k1元；3）儲存費按當(dāng)日實際儲存量計算，儲存費每日每件k2元;4）你的工廠不允許缺貨。設(shè)

2、一次訂貨x件，則訂貨周期為 T= x/r, 第t天的儲存量為 q(t)= x-r t, 0t0, N0 ，使當(dāng)nN時 有xn -a0,函數(shù)在x0點附近是上升的；當(dāng)f(x0)0,函數(shù)在x0點附近是下降的；當(dāng)f(x0)=0, x0為駐點,若x0為駐點且f”(x0)0)，則f(x)在x0點達(dá)到局部極大（或局部極?。┤鬴(x)在x0可導(dǎo)則在x0可微，dy = Adx當(dāng)n=0 得，微分中值定理 f(x) - f(x0) = f() (x- x0) 其中是x0與x之間某個值Taylor公式:當(dāng)f(x)在含有x0某個開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，3、多元函數(shù)微分學(xué)設(shè)f(x,y)在點(x0,y0)附近有定義

3、，當(dāng)(x,y)以任何方式趨向于(x0,y0)時，f(x,y)趨向于一個確定的常數(shù)A，則若 A=f(x0,y0), 稱f(x,y)在(x0,y0) 點連續(xù)f(x,y)在點(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)分別定義為三、數(shù)值微分若f(x)在x=a可導(dǎo), 設(shè)h0且足夠小稱為向前差商向后差商中心差商四、使用MATLAB 1、數(shù)值求導(dǎo)dx= diff(x)返回向量x的差分Fx=gradient(F,x)返回向量F表示的一元 函數(shù)沿x方向的數(shù)值梯度(即導(dǎo)函數(shù)F(x) 其中,x是與F同維數(shù)的向量 Fx,Fy=gradient(F,x,y)返回矩陣F表示 的二元函數(shù)的數(shù)值梯度(Fx,Fy),當(dāng)F為 mn矩陣時,x,y 分

4、別為n維和m維的向量2、 函數(shù)極值x=fmin(fun,a,b) 求一元函數(shù)y=f(x)在 a,b內(nèi)的局部極小值點。這里fun 可用字符串表示，也可以是M函數(shù)名。采 用黃金分割法和拋物線插值法。 x=fmins(fun,x0) 求多元函數(shù)y=f(x)在 x0出發(fā)的局部極小值點，這里 x,x0均為 向量。 采用Nelder-Meade單純形搜索法。在使用fmins等命令時，若把函數(shù)直接寫在算式中，自變量必須用x(1), x(2),。例1 求二元函數(shù)f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在原點附近的極大值。解 問題等價于求 f(x,y)的極小值fun=x(1)4+x(2)4-4*x(1)*x(2)

5、-5; x=fmins(fun,0,0),f=-eval(fun）3、解析運算limit, symsum, diff, taylor 都是符號命令limit(s,x,a) 返回符號表達(dá)式s當(dāng)xa時的極限。symsum(s,n,a,b) 返回符號表達(dá)式s表示的通 項當(dāng)自變量n由a到b的和。diff(s,x,n) 返回符號表達(dá)式s對x的n階導(dǎo)數(shù)。 taylor(s,n,a) 返回符號表達(dá)式s在a點 TAYLOR 展開到n次式例2 求解 syms n x y; limit(1+x/n)n,n,inf) symsum(-1)n*xn/n,n,1,inf) diff(sin(x*y),x,2)五、實驗例

6、題例3 若銀行一年定期年利率為r，那么儲戶存1萬元錢，一年到期后結(jié)算額為1+r萬元; 若三月定期年利率也為r，一年后可得(1+r/4)4萬元,若活期年利率也為r，一年后可得（1+r/365）365萬元。若儲戶連續(xù)不斷存款取款，結(jié)算頻率趨于無窮大，銀行要不斷地向顧客付利息，稱為連續(xù)復(fù)利。連續(xù)復(fù)利會造成總結(jié)算額無限增大嗎？如果活期存款年利率為1.98%, 那么一年，三年，十年定期存款的年利率應(yīng)定為多少才是等價的？解：設(shè)結(jié)算頻率為n, 年利率為x，第k次結(jié)算額為ak，那么 ak=(1+x/n)ak-1, a0=1則一年總結(jié)算額為 an = (1+x/n)n 當(dāng)n 時 lim(1+x/n)n= ex它

7、表明n足夠大時，結(jié)果將穩(wěn)定于ex。n=365時，總結(jié)算額已與 ex相當(dāng)接近設(shè) 一年定期利率為r, 把活期存款利率 作為連續(xù)復(fù)利率a=1.98%。那么應(yīng)有 1+r=ea 從而 r=ea- 1 = 2%. 同理,三年定期利率 r=(e3a 1)/3=2.04%十年定期利率 r=(e10a 1)/10=2.19%。例4 考慮函數(shù)f(x)=x2cos(x2+3x-4)在-2,2 內(nèi)的圖象，并求單調(diào)區(qū)間和極值點 fun=x*x*cos(x*x+3*x-4);fplot(fun,-2 2); fmins(fun,0.5) nfun=-x*x*cos(x*x+3*x-4) ;fmins(nfun,1.5)同理可得其它三個極值點的位置。另一方法是通過計算f (x)的零點得到。例5 對于函數(shù)f(x)=x+cos(x), 在0,/2 上驗證微分中值定理。解：根據(jù)微分中值定理 (0,/2), 使 f(/2)-f(0)=f ()(/2-0)幾何上，必有一點的切線與兩端點的連線平行。 close;