復數(shù)三角形式和指數(shù)形式

1、復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式第一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1、復數(shù)的三角形式一、復數(shù)的幅角與模我們知道復數(shù)a+bi對應著復平面上的點(a, b)，也對應復平面上一個向量（如右圖所示）這個向量的長度叫做復數(shù)a+bi的模，記為|a+bi|，一般情況下，復數(shù)的模用字母r表示。xy同時，這個向量針對x軸的正方向有一個方向角，我們稱為幅角，記為arg(a+bi)，幅角一般情形下用希臘字母表示。顯然把它們代入復數(shù)的代數(shù)形式得：第二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1、復數(shù)的三角形式這樣，我們把 叫做復數(shù)a+bi的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則引入復數(shù)三角形式的一個重要原因在

2、于用三角形式進行乘除法、乘方、開方相對于代數(shù)形式較為簡單。所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方與開方的運算法則。1、復數(shù)的乘法設那么第三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則1、復數(shù)的乘法這說明，兩個復數(shù)相乘等于它們的模相乘而幅角相加即這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：將向量z1的模擴大為原來的r2倍，然后再將它繞原點逆時針旋轉角2，就得到z1z2。第四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則2、復數(shù)的除法第五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角

3、形式的運算法則2、復數(shù)的除法即這說明，兩個復數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：將向量z1的?？s小為原來的r2分之一，然后再將它繞原點順時針旋轉角2，就得到z1z2。3、復數(shù)的乘方。利用復數(shù)的乘法不難得到這說明，復數(shù)的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。第六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4、復數(shù)的開方對于復數(shù) ，根據(jù)代數(shù)基本定理及其推論知，任何一個復數(shù)在復數(shù)范圍內(nèi)都有n個不同的n次方根。 將向量z1的模變?yōu)樵瓉淼膎次方，然后再將它繞原點逆時針旋轉角n，就得到zn。4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則3、復數(shù)的乘方。這個運算在幾何上可以用

4、下面的方法進行：設 的一個n次方根為第七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4、復數(shù)的開方4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則那么所以即顯然，當k從0依次取到n1,所得到的角的終邊互不相同，但k從n開始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。因此，復數(shù)z的n個n次方根為第八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4、復數(shù)的開方4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則從求根公式可以看出，相鄰兩個根之間幅角相差所以復數(shù)z的n個n次方根均勻地分布在以原點為圓心，以它的模的n次算術根為半徑的圓周上。因此，求一個復數(shù)z的全部n次方根，可以用下面的幾何手段進行：先作出圓心在原點，半徑為

5、 的圓，然后作出角 的終邊以這條終邊與圓的交點為分點，將圓周n等分，那么，每個等分點對應的復數(shù)就是復數(shù)z的n次方根。第九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式在對復數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的三角形式將復數(shù)的乘法“部分地”轉變成加法（模相乘，幅角相加）這種改變運算等級的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過體現(xiàn)：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)前者將兩個同底冪的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將兩個真數(shù)積的對數(shù)變成兩個同底對數(shù)的和。從形式上看，復數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關系更為密切些：第十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)這個特點，復數(shù) 應該可以表示成某種指

6、數(shù)形式即復數(shù)應該可以表示成 的形式這里有三個問題需要解決：（1）反映復數(shù)本質特征的三個因素：模r、幅角、虛數(shù)單位i應各自擺放在什么位置？（2）在這些位置上它們應呈現(xiàn)什么形態(tài)？（3）作為指數(shù)形式的底應該用什么常數(shù)？先來研究第一個問題.第十一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式再重新觀察下面的等式首先，顯然模r應該占據(jù) 中系數(shù)y的位置,其次，幅角應該占據(jù) 中指數(shù)x的位置,對于虛數(shù)單位i，如果放到系數(shù)y的位置會怎樣？由于等式右邊是實數(shù)，對于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。因此幅角也應該占據(jù)指數(shù)的位置。這樣第二個問題就產(chǎn)生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上是什么關系？（相加？相乘？

7、）第十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式幅角與虛數(shù)單位i是相加的關系會怎樣？先考察模為1的復數(shù)如果寫成 的形式一方面，由于與 的形式差別不是很大，其次在復數(shù)的乘方法則中，應該僅是幅角的n倍而沒有虛數(shù)單位也要n倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應該是相加關系，而應該是相乘關系現(xiàn)在來審查乘法、除法和乘方法則是否吻合第十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本質特征下面來解決最后一個問題：應該選用哪個常數(shù)作為底數(shù)？我們暫時將 形式化地看做r與的“二元函數(shù)”數(shù)學是“形式化的科學”，

8、因此，一些形式化的性質應該“形式化”地保持不變。下面我們將 等式兩邊對形式化地求“偏微分”第十四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式于是由這樣我們利用不太嚴格的推理得到了復數(shù)的第三種表現(xiàn)形式指數(shù)式從復數(shù)的模與幅角的角度看，復數(shù)的指數(shù)形式其實是三角形式的簡略化對于指數(shù)形式的嚴格證明可以參讀復數(shù)的指數(shù)形式的證明第十五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月的證明：泰勒級數(shù)法 寫成泰勒級數(shù)形式： 將代入可得： e iz = cos z+ i sin z（歐拉公式） z R 將函數(shù)第十六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2、復數(shù)的指數(shù)形式由復數(shù)的三角形式與指數(shù)

9、形式，我們很容易得到下面的兩個公式：這兩個公式被統(tǒng)稱為歐拉公式在復數(shù)的指數(shù)形式中，令r=1,=，就得到下面的等式或第十七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但卻不能理解它。它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的五個數(shù)字就這么神秘地聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)自然對數(shù)的底e，圓周率；三個單位虛數(shù)單位i、自然數(shù)的乘法單位1和加法單位0?；?.2、復數(shù)的指數(shù)形式關于自然對數(shù)的底e和圓周率，這里我想多說那么幾句：它們是迄今為止人類所發(fā)現(xiàn)的兩個彼此獨立的超越數(shù)，盡管從理論上我們知道，超越數(shù)比有理數(shù)、代數(shù)數(shù)（可以表示為有理系數(shù)一元多項式的根的

10、數(shù)）要多得多，但為人類所認識的超越數(shù)卻僅此兩個！令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個簡單關系彼此聯(lián)系著。在復數(shù)的指數(shù)形式中，令r=1,=，就得到下面的等式第十八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3、復數(shù)的應用利用復數(shù)的三角形式，我們可以比較容易地解決一些數(shù)學其他領域里的問題。由于我們這門課的特點，我們僅限于在初等數(shù)學領域里舉兩個例子。例1：三角級數(shù)求和解：令那么對任何自然數(shù)k，有于是第十九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3、復數(shù)的應用例1：三角級數(shù)求和解：另一方面第二十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3、復數(shù)的應用例1：三角級數(shù)求和解：第二十一張，PP

11、T共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3、復數(shù)的應用例1：三角級數(shù)求和即所以第二十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3、復數(shù)的應用例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點移動時，求點N的軌跡。分析：此題若用一般解析幾何的方法尋找點M與N之間的顯性關系是比較困難的。下面用復數(shù)的乘法的幾何意義來尋找這種關系。設M、N、A對應的復數(shù)依次為：那么向量AM可以用向量AN繞A點逆時針旋轉300度得到用復數(shù)運算來實現(xiàn)這個變換就是第二十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3、復數(shù)的應用例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點移動時，求點N的軌跡。即所以但第二十四張，PPT