數(shù)理邏輯發(fā)展史

1、數(shù)理邏輯發(fā)展史數(shù)理邏輯史本身又可分為三個(gè)階段。第一階段開始用數(shù)學(xué)方法研究和處理形式邏輯。本階段從萊布尼茨到 19世紀(jì)末延續(xù)了約 200年。第二階段是數(shù)理邏輯的奠基時(shí)期。19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展提出 了探討數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題，數(shù)理邏輯圍繞著這些課題，創(chuàng)建了新方法并提出了新理論。從19世紀(jì)70年代到20世紀(jì)30 年代約70年時(shí)間奠定了本身的基礎(chǔ)。第三階段從20世紀(jì)30年代 起為數(shù)理邏輯的發(fā)展時(shí)期。本階段數(shù)理邏輯的主要內(nèi)容已成長(zhǎng)為 數(shù)學(xué)的分支，并與數(shù)學(xué)的其他分支、計(jì)算機(jī)科學(xué)、語言學(xué)和心理 學(xué)有廣泛的聯(lián)系。有少數(shù)部分內(nèi)容如某些公理系統(tǒng)的研究與哲學(xué) 問題有著相互的作用。編輯本段開始階段數(shù)理邏輯開始于17世

2、紀(jì)后期。當(dāng)時(shí)古典形式邏輯不足之處已為某些邏輯學(xué)者所理解。數(shù)學(xué)方法對(duì) 認(rèn)識(shí)自然和發(fā)展科學(xué)技術(shù)已顯示出重要作用。人們感到演繹推理和數(shù)學(xué)計(jì) 算有相似之處，希望能把數(shù)學(xué)方法推廣到思維的領(lǐng)域。德國(guó)唯理論哲學(xué)家 萊布尼茨首先明確地提出了數(shù)理邏輯的指導(dǎo)思想。他設(shè)想能建立一 “普遍 的符號(hào)語言”，這種語言包含著“思想的字母”，每一基本概念應(yīng)由一表 意符號(hào)來表示。一種完善的符號(hào)語言又應(yīng)該是一個(gè)“思維的演算”，他設(shè) 想，論辯或爭(zhēng)論可以用演算來解決。萊布尼茨提出的這種符號(hào)語言和思維 演算正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯的主要特證。他為實(shí)現(xiàn)其設(shè)想做了不少具體的工作。他曾構(gòu)成一個(gè)關(guān)于兩概念相結(jié)合的演算，給與這種結(jié)合A嘰B以內(nèi)涵和外延的

3、解釋，得到了一些重要定理。他成功地將古典邏輯的四個(gè)簡(jiǎn)單命題表 達(dá)為符號(hào)公式。他又提出了用素?cái)?shù)代表初始概念并將復(fù)合概念表示為素?cái)?shù) 的乘積的配數(shù)法，但未能較好地應(yīng)用。萊布尼茨以后在18世紀(jì)前后，歐洲大陸有許多人繼續(xù)了他的工作，沒 有得到重要結(jié)果。19世紀(jì)中葉兩個(gè)英國(guó)學(xué)者G.布爾和A.德摩根突破了沉悶 的局面。布爾是代數(shù)學(xué)家。19世紀(jì)初期數(shù)的概念逐漸擴(kuò)大，負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、 實(shí)數(shù)等和正整數(shù)一樣都遵守一些相同的規(guī)律，他設(shè)想，給代數(shù)系統(tǒng)以邏輯的 解釋或可構(gòu)成一個(gè)思維的演算。鑒于四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)，他也認(rèn)為，思維的運(yùn) 算和一般代數(shù)的規(guī)律可以有差異，不能機(jī)械地推廣。他給與代數(shù)以四種解 釋，其中一種為類的演算，兩種是命題

4、演算，還有一種是概率理論。類演算所特有的規(guī)律為x2=x。命題演算中的命題變?cè)蝗?或1為值，此系統(tǒng) 可被看作為二值代數(shù)，他就用此二值代數(shù)作為推導(dǎo)的工具。布爾原來的系 統(tǒng)有不少缺點(diǎn)，如有些代數(shù)公式?jīng)]有解釋以及把加法解釋為不相容的邏輯 合等等。布爾代數(shù)后來得到了改造和發(fā)展。19世紀(jì)后期德國(guó)的E.施羅德 (18411902)把它改進(jìn)為一演繹系統(tǒng)。20世紀(jì)以來，布爾代數(shù)已發(fā)展成為 一個(gè)結(jié)構(gòu)極為豐富的代數(shù)理論。布爾的貢獻(xiàn)是在邏輯史上首先提出了一個(gè) 盡管還有缺點(diǎn)的邏輯演算。關(guān)系推理雖然早就為從亞里士多德起的古典邏輯學(xué)家所發(fā)現(xiàn)，關(guān)系邏 輯卻沒有得到重視和研究。德摩根是歷史上第一個(gè)探討這種推理理論的學(xué) 者。他

5、的興趣原在于推廣古典邏輯。他認(rèn)為，古典三段論的系詞“是”字 實(shí)際上是一個(gè)傳遞關(guān)系，每一傳遞關(guān)系都可以使類似古典三段論的推理有 效。因之，他進(jìn)而研究關(guān)系的種類和性質(zhì)，使用一些他本人創(chuàng)造的符號(hào)，發(fā) 現(xiàn)了一些有效的關(guān)系推理形式。他是一位數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為在代數(shù)學(xué)中，關(guān)系 是極為重要的。德摩根所得的具體結(jié)果不算多，他的歷史功績(jī)?cè)谟?，突?了古典形式邏輯“一主項(xiàng)一謂項(xiàng)”的局限，提出了關(guān)系邏輯，為后人的探 討開辟了道路。編輯本段奠基階段19世紀(jì)初以來，人們?cè)诜e累了大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)并進(jìn)行理論總結(jié)后，感到數(shù)學(xué)科學(xué)單純憑借幾何或物理直觀以及 一些有效應(yīng)用是不足的，進(jìn)而要求數(shù)學(xué)論證具有嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性，對(duì)基本 理論、證明方

6、法和數(shù)學(xué)性質(zhì)做深入的探討。70年代開始出現(xiàn)對(duì)邏輯有重要 意義的發(fā)展，主要有：集合論理論、嚴(yán)格的公理方法和初步自足的邏輯演算。數(shù)理邏輯史現(xiàn)代演繹方法、形式化和公理系統(tǒng)的發(fā)展史。以演繹方法為中心內(nèi)容的形式邏輯已有2000多年的歷史。最早從形式結(jié)構(gòu)來 論述演繹推理的著作是古希臘亞里士多德的工具論。自亞里士多德起至17 世紀(jì)后期是形式邏輯的古典階段。古典形式邏輯包括幾種常見的演繹推理和最 簡(jiǎn)單的量詞理論，也使用一些特有符號(hào)。它沒有探討關(guān)系邏輯和公理系統(tǒng)的邏輯 性質(zhì)。自17世紀(jì)后期G.W.萊布尼茨起是數(shù)理邏輯的萌芽和發(fā)展時(shí)期，是形式 邏輯的現(xiàn)代階段。數(shù)理邏輯使用大量的特制表意符號(hào)，在不同部分應(yīng)用不同程度

7、 的數(shù)學(xué)方法。它包含著古典形式邏輯而突破其局限性。數(shù)理邏輯始則聯(lián)系數(shù)學(xué)的 實(shí)際，繼而又適應(yīng)其他學(xué)科的需要，在近百年內(nèi)取得了嶄新而飛躍的發(fā)展。古典形式邏輯是演繹法研究的前數(shù)理邏輯時(shí)期。數(shù)理邏輯史本身又可分為三個(gè)階段。第一階段開始用數(shù)學(xué)方法研究和處理形式邏輯。本階段從萊布尼 茨到19世紀(jì)末延續(xù)了約200年。第二階段是數(shù)理邏輯的奠基時(shí)期。19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展提出了探討數(shù)學(xué)方法和 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題，數(shù)理邏輯圍繞著這些課題，創(chuàng)建了新 方法并提出了新理論。從19世紀(jì)70年代到20世紀(jì)30年代約70年時(shí)間奠定了本身的基礎(chǔ)。 第三階段從20世紀(jì)30年代起為數(shù)理邏輯的發(fā)展時(shí)期。本階段數(shù)理邏輯的主要內(nèi)容已成長(zhǎng)為數(shù)學(xué)的分

8、支，并與數(shù)學(xué)的其他分支、計(jì)算機(jī)科學(xué)、語言學(xué)和心理學(xué)有廣泛的聯(lián)系。有少數(shù)部 分內(nèi)容如某些公理系統(tǒng)的研究與哲學(xué)問題有著相互的作用。開始階段數(shù)理邏輯開始于17世紀(jì)后期。當(dāng)時(shí)古典形式邏輯不足之處已為某些邏輯學(xué)者 所理解。數(shù)學(xué)方法對(duì)認(rèn)識(shí)自然和發(fā)展科學(xué)技術(shù)已顯示出重要作用。人們感到演繹推理和數(shù)學(xué) 計(jì)算有相似之處，希望能把數(shù)學(xué)方法推廣到思維的領(lǐng)域。德國(guó)唯理論哲學(xué)家萊布尼茨首先 明確地提出了數(shù)理邏輯的指導(dǎo)思想。他設(shè)想能建立一“普遍的符號(hào)語言”，這種語言包含著“思 想的字母”，每一基本概念應(yīng)由一表意符號(hào)來表示。一種完善的符號(hào)語言又應(yīng)該是一個(gè)“思維 的演算”，他設(shè)想，論辯或爭(zhēng)論可以用演算來解決。萊布尼茨提出的這種

9、符號(hào)語言和思維演 算正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯的主要特證。他為實(shí)現(xiàn)其設(shè)想做了不少具體的工作。他曾構(gòu)成一個(gè)關(guān)于 兩概念相結(jié)合的演算，給與這種結(jié)合AB以內(nèi)涵和外延的解釋，得到了一些重要定理。他 成功地將古典邏輯的四個(gè)簡(jiǎn)單命題表達(dá)為符號(hào)公式。他又提出了用素?cái)?shù)代表初始概念并將 復(fù)合概念表示為素?cái)?shù)的乘積的配數(shù)法，但未能較好地應(yīng)用。萊布尼茨以后在18世紀(jì)前后，歐洲大陸有許多人繼續(xù)了他的工作，沒有得到重要結(jié)果。 19世紀(jì)中葉兩個(gè)英國(guó)學(xué)者G.W爾和A.德摩根突破了沉悶的局面。布爾是代數(shù)學(xué)家。19世 紀(jì)初期數(shù)的概念逐漸擴(kuò)大，負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)等和正整數(shù)一樣都遵守一些相同的規(guī)律他設(shè) 想，給代數(shù)系統(tǒng)以邏輯的解釋或可構(gòu)成一個(gè)思維

10、的演算。鑒于四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)，他也認(rèn)為，思 維的運(yùn)算和一般代數(shù)的規(guī)律可以有差異，不能機(jī)械地推廣。他給與代數(shù)以四種解釋，其中一 種為類的演算，兩種是命題演算，還有一種是概率理論。類演算所特有的規(guī)律為=x。命題 演算中的命題變?cè)蝗?或1為值，此系統(tǒng)可被看作為二值代數(shù)，他就用此二值代數(shù)作為推 導(dǎo)的工具。布爾原來的系統(tǒng)有不少缺點(diǎn)，如有些代數(shù)公式?jīng)]有解釋以及把加法解釋為不相容 的邏輯合等等。布爾代數(shù)后來得到了改造和發(fā)展。19世紀(jì)后期德國(guó)的E.施羅德(18411902) 把它改進(jìn)為一演繹系統(tǒng)。20世紀(jì)以來，布爾代數(shù)已發(fā)展成為一個(gè)結(jié)構(gòu)極為豐富的代數(shù)理論。 布爾的貢獻(xiàn)是在邏輯史上首先提出了一個(gè)盡管還有缺點(diǎn)的邏輯

11、演算。關(guān)系推理雖然早就為從亞里士多德起的古典邏輯學(xué)家所發(fā)現(xiàn)，關(guān)系邏輯卻沒有得到重視 和研究。德摩根是歷史上第一個(gè)探討這種推理理論的學(xué)者。他的興趣原在于推廣古典邏輯。 他認(rèn)為，古典三段論的系詞“是”字實(shí)際上是一個(gè)傳遞關(guān)系，每一傳遞關(guān)系都可以使類似古 典三段論的推理有效。因之，他進(jìn)而研究關(guān)系的種類和性質(zhì),使用一些他本人創(chuàng)造的符號(hào)，發(fā) 現(xiàn)了一些有效的關(guān)系推理形式。他是一位數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為在代數(shù)學(xué)中，關(guān)系是極為重要的。德 摩根所得的具體結(jié)果不算多，他的歷史功績(jī)?cè)谟?，突破了古典形式邏輯“一主?xiàng)一謂項(xiàng)”的局 限，提出了關(guān)系邏輯，為后人的探討開辟了道路。奠基階段 19世紀(jì)初以來，人們?cè)诜e累了大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)并進(jìn)行

12、理論總結(jié)后，感到數(shù) 學(xué)科學(xué)單純憑借幾何或物理直觀以及一些有效應(yīng)用是不足的，進(jìn)而要求數(shù)學(xué)論證具有嚴(yán)謹(jǐn)性 和系統(tǒng)性，對(duì)基本理論、證明方法和數(shù)學(xué)性質(zhì)做深入的探討。70年代開始出現(xiàn)對(duì)邏輯有重 要意義的發(fā)展，主要有：集合論理論、嚴(yán)格的公理方法和初步自足的邏輯演算。關(guān)起了一系列爭(zhēng)論。1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)上希爾伯特提出著名的23個(gè)問題，其中， 第1個(gè)就是求證康托爾集合論的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和良序定理；第2個(gè)是實(shí)數(shù)公理系統(tǒng)的一致性 問題，并且認(rèn)為公理的一致性可以說明實(shí)數(shù)系具有數(shù)學(xué)的存在。19041906年，J.H.彭加 勒在評(píng)論法國(guó)數(shù)學(xué)家L.古杜拉時(shí)主張沒有實(shí)無窮，數(shù)學(xué)歸納法是較邏輯更為根本的方法，因而數(shù)學(xué)不能歸

13、結(jié)為邏輯。1904年E.策爾梅洛(18711953)根據(jù)選擇公理證明了良序定理， 結(jié)果引起了對(duì)選擇公理的廣泛注意，同時(shí)也引起了幾位著名法國(guó)數(shù)學(xué)家E.鮑瑞爾(1871 1956)、H.勒貝格(18751941)和R.貝爾(18741932)關(guān)于無窮多個(gè)的，特別是不可數(shù)個(gè)任 意選擇的可接受性的討論。1907年荷蘭數(shù)學(xué)家L.E.J.布勞維爾在博士論文數(shù)學(xué)基礎(chǔ)里 表示不承認(rèn)康托爾集合論，也不同意把數(shù)學(xué)歸結(jié)為邏輯。1908年，他在邏輯史上第一次提 出排中律不可靠的論點(diǎn)。在論文直覺主義和形式主義(1912)里，他進(jìn)一步闡述了直覺 主義的思想。這些史實(shí)表明當(dāng)時(shí)爭(zhēng)論的重點(diǎn)在于：有沒有和如何認(rèn)識(shí)實(shí)無窮，什么是數(shù)

14、 學(xué)的存在，數(shù)學(xué)應(yīng)建筑在什么基礎(chǔ)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)論20世紀(jì)初期，集合論、公理方法 和邏輯演算這三方面都繼續(xù)發(fā)展，同時(shí)也引0哥德爾定理和過渡時(shí)期 希爾伯特方案反映了 30年代前數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)議，目的是用有 窮方法研究包括邏輯和古典數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)的元邏輯性質(zhì)，特別是一致性問題。在1928 1936年內(nèi)主要通過哥德爾的工作，正面或反面地得到了幾個(gè)最重要基礎(chǔ)理論的解答。在方 法論方面數(shù)學(xué)地精確地描述了直觀的機(jī)械過程，推動(dòng)了遞歸函數(shù)論的研究，為數(shù)理邏輯發(fā)展 的第三階段準(zhǔn)備了條件。哥德爾的完全性定理1928年希爾伯特和W.阿克曼(18961962)合著的理論邏輯基 礎(chǔ)第一版首先把一階邏輯分離出來并證明其一致性

15、。同年希爾伯特在波勞亞數(shù)學(xué)會(huì)上提出 邏輯演算的完全性問題。哥德爾于1929年秋完成并于1930年發(fā)表了博士論文的修改稿邏 輯謂詞演算公理的完全性，其主要內(nèi)容是證明：一階謂詞演算的有效公式皆可證。同時(shí)也 證明了緊致性定理和勒文海姆-司寇倫定理(見司寇倫定理)。他在證明里使用了丁克尼希 無窮引理和古典排中律。兩個(gè)不完全性定理1930年夏，哥德爾著手考慮數(shù)學(xué)分析的一致性。與希爾伯特不 同，他想分為兩個(gè)步驟進(jìn)行，先用有窮方法證明數(shù)論一致，然后再用數(shù)論來論證分析的一致 性。在數(shù)論方面他很快得到?jīng)Q定性結(jié)果，于1931年發(fā)表數(shù)學(xué)原理及有關(guān)系統(tǒng)中的形式 不可判定命題一文，此文包括兩個(gè)著名定理。按照第一不完全性

16、定理，一個(gè)包括初等數(shù)論 和一階邏輯的形式系統(tǒng)S，如果一致，那么就是不完全的。在證明里，他使用了有窮觀點(diǎn)的 邏輯和原始遞歸算術(shù)，并通過配數(shù)法，在S中表示關(guān)于S的語法命題。哥德爾還利用對(duì)角線 法構(gòu)造了一個(gè)斷定其自身在S中不可證的命題A，并且說明，A和卜A在S中皆不可證。由 于A和卜A二者必有一真，真而不可證，因之S不完全。在證明第二個(gè)不完全性定理時(shí)，哥 德爾的基本論證是，由于“系統(tǒng)S 一致”可在S中表示，記為Con(S)，同時(shí)A即表示“A在S中 不可證”，因之第一不完全性定理可在S中表示為PCon(S)一A從以上公式可見，如Con(S)可證，那么就有卜A；這顯然與第一不完全性定 理相矛盾，不能成立

17、。因此，第二不完全性定理斷定：如果一個(gè)包括古典數(shù)論的形式系統(tǒng)是 一致的，則其一致性不能在此系統(tǒng)中得到證明，同時(shí)當(dāng)然也不能用有窮方法證明。這一重要 的發(fā)現(xiàn)給希爾伯特方案以很大的沖擊。推動(dòng)遞歸論的研究數(shù)理邏輯中的有窮方法是一種能行的理論。能行方法可以說是機(jī)械 的過程，也就是根據(jù)預(yù)先給定的規(guī)則用有窮步驟可以完成的 “預(yù)先給定的規(guī)則”和機(jī)械過程 都是直觀概念，對(duì)于它們必須有精確的數(shù)學(xué)描述。根據(jù)J.艾爾布朗(19081931)1931年的建議，哥德爾于1934年提出一般遞歸作為能行性的定義（見能行性和一般遞歸）。19331936 年A.丘奇（1903 ）和S.C.克利尼（1909 ）構(gòu)造了入可定義演算，

18、證明了入可定義性 和一般遞歸的等價(jià)關(guān)系。1936年丘奇提出能行可計(jì)算函數(shù)即是遞歸函數(shù)或入可定義函數(shù)的 論題。1936年也出現(xiàn)了 E.波斯特（18971954）的組合生成系統(tǒng)。19361937年英國(guó)學(xué)者 A.M .圖林（19121954）在分析了計(jì)算過程的簡(jiǎn)單步驟及其組合以后，設(shè)計(jì)一種抽象機(jī)器以體 現(xiàn)計(jì)算方法，得到了圖林可計(jì)算性概念。他又證明了圖林可計(jì)算性和入可定義性為相互等價(jià)。 他們的這些工作和后來應(yīng)用的成效闡明了上述幾個(gè)等價(jià)函數(shù)即為能行可計(jì)算性或機(jī)械程序 的數(shù)學(xué)描述。哥德爾有獨(dú)立的哲學(xué)思想和學(xué)術(shù)觀點(diǎn)，并不屬于希爾伯特學(xué)派。他 認(rèn)為，他對(duì)于古典數(shù)學(xué)和超窮思想方法都持有“客觀主義”的態(tài)度，他 還認(rèn)為，他所以能得到某些重要結(jié)果和他的學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)。他澄 清了第二階段提出的問題，為數(shù)理邏輯奠定了基礎(chǔ)。他的工作促使邏 輯的某些部分轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的分支，并推動(dòng)數(shù)理邏輯進(jìn)入第三階段。日前的發(fā)展階段30年代后期數(shù)理邏輯進(jìn)入發(fā)展的第三階段。證 明論盡管未能達(dá)到預(yù)期日的，元數(shù)學(xué)卻獲得豐富成果。由于使用愈益 增加的數(shù)學(xué)工具，研究對(duì)象也大多為數(shù)學(xué)思維和