《大學(xué)物理教學(xué)課件--》第9章

1、大學(xué)物理學(xué) 第9章 機(jī)械振動和機(jī)械波物體在某一位置附近所作的來回往復(fù)的運動。機(jī)械振動：振動在空間或媒質(zhì)中的傳播過程。簡稱為波。波動：機(jī)械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播稱為彈性波。變化電場和變化磁場在空間的傳播稱為電磁波。描述物體狀態(tài)的物理量在某一數(shù)值附近隨時間作周期性變化。振動:9.1 簡諧振動物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的規(guī)律隨時間變化，這種運動就稱為簡諧振動。 一、 簡諧振動的特征和運動方程以水平彈簧振子為例。坐標(biāo)原點O為平衡位置；取坐標(biāo)軸x向右，所受彈性力為：負(fù)號表示彈性力F的方向與位移的方向相反，始終指向運動物體的平衡位置，故稱之為線性回復(fù)力。 1、受

2、力特征 在線性回復(fù)力作用下物體沿x軸圍繞平衡位置O點作周期性往復(fù)運動。 （2）平衡位置是物體受力為零的位置。（1）位移是相對平衡位置的。說明2、動力學(xué)方程特征由牛頓第二定律，有：則有：加速度與離開平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：簡諧振動的動力學(xué)微分方程 注意： 僅由系統(tǒng)本身決定，與振動情況無關(guān)。 若某系統(tǒng)的運動規(guī)律滿足上述微分方程，且 由系統(tǒng)性質(zhì)決定，則該系統(tǒng)做簡諧振動。 （該判斷方法具有一般性，不僅適用于機(jī)械振動）。3、運動學(xué)方程（振動方程）由：可解得：或：簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動。A 振幅（ 離開平衡位置的最大距離） 角頻率（2秒內(nèi)振動次數(shù)或單位時間相位改變） 相位（ 描述

3、運動狀態(tài)的量 ） 初相位 1)、確定研究對象，分析受力。 2)、找出平衡位置（受合外力為零的點），寫出回復(fù)力（或回 復(fù)力矩）的表達(dá)式。 3)、寫出動力學(xué)方程 （利用牛頓第二定律或剛體定軸轉(zhuǎn)動定律）。4、簡諧振動的判椐1)、如果質(zhì)點所受的力可以表示為：2)、質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系可以表示為或則質(zhì)點做簡諧振動。步驟：5、簡諧振動的速度和加速度由： 1) v、a 與 x 的 相同。2)4) 三者相位依次差/ 2 。3) a 與 x 方向相反，且成正比。說明二、描述簡諧振動的特征量(1) 振幅A物體離開平衡位置的最大位移。(2) 角頻率 頻率 f周期 T角頻率 (3)相位( ) 和 初相 (4)相位差

4、 兩個同頻率的簡諧振動：同相 兩振動步調(diào)相反。 同相和反相兩振動步調(diào)相同。反相 txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2 超前和滯后 x2 比 x1 較早達(dá)到正最大。 x1 比 x2 較早達(dá)到正最大。(5) 振幅和初相位的確定由：初始條件：寫為：聯(lián)立1)和2)式，得：b）僅由 中之一不能決定 ，需由 其中兩個方程可求出。 a） 尚需滿足1）和 2）所決定的狀態(tài)。注意例題9-1 單擺：質(zhì)量m，擺長l，試分析單擺的運動規(guī)律。解：單擺受力如圖所示。取逆時針方向為角位移的正方向，則重力沿擺球運動軌跡的切向分量為： 若 很小，則有：即：擺球的切向運動方程為：其中：單擺的周期： 例題 一長為

5、l 的均勻細(xì)棒懸于其一端的光滑水平軸上，做成一復(fù)擺。此擺作微小擺動的周期為多少？ 解：均勻細(xì)棒可看作剛體，分析所受力矩：取逆時針為正方向。很小，則：即：由轉(zhuǎn)動定律：所以是簡諧振動，其周期為： 例題9-4 一質(zhì)點作簡諧振動，其振動曲線如圖所示。求此簡諧振動的表達(dá)式。x/m解：質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程及速度表達(dá)式分別為 由振動曲線可知 時，由圖可知，即可以確定則該簡諧振動的表達(dá)式為 三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 振幅A 作坐標(biāo)軸 O x , 自O(shè) 點作一矢量 OM ，用 表示 。 t 時刻 與x 軸的夾角 相位 t + 以恒定角速度 繞O 點作逆時針轉(zhuǎn)動 角頻率 在t = 0 時與x 軸的夾角

6、初相 矢量 的端點M 在x 軸上的投影點P 的坐標(biāo)為：所P點的運動為簡諧振動。P點的速度和加速度分別代表著簡諧振動的速度和加速度。 例題9-4、一作簡諧振動的物體，其振動曲線如圖所示。試寫出該振動的表達(dá)式。 解：振動方程為 由振動曲線可知，振幅為t = 0 時，且其初始速度,作旋轉(zhuǎn)矢量圖。 可得其振動初相位為又 t =1s 時，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：則振動方程為： 例題9-5 一質(zhì)點沿x 軸作簡諧振動，振幅 A = 0.12 m，周期T = 2 s，當(dāng) t = 0 時，質(zhì)點對平衡位置的位移 x0 = 0.06m ，此時向x 軸正向運動。求：(1)此振動的表達(dá)式。 (2)從初始時刻開始第一次通過平衡

7、位置的時間。 利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件就可畫出振幅矢量的初始位置，從而得到： 解 (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點。設(shè)振動方程為： (2) 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，從起始時刻到第一次質(zhì)點通過原點，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為： v0 0 時， 在3，4象限。 v0 0 時， 在1，4象限。 x0 0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法得其初相位為 因此O點的振動方程為 所以其波函數(shù)為 (2)將x=2m代入波函數(shù)，得到2m處質(zhì)點的振動方程為 解：(3)如果坐標(biāo)原點設(shè)在2m處，則原點振動方程為： 所以新坐標(biāo)下的波函數(shù)為 例題9-8、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標(biāo)原點O處質(zhì)元的振幅為0.01m，振動周期

8、為0.01s，并且在t=0時刻，其正好經(jīng)過平衡位置沿正方向運動。求：(1) 波函數(shù)；(2) 距原點2m處的質(zhì)點的振動方程；(3) 若以2m處為坐標(biāo)原點，寫出波函數(shù)。 例題、有一平面簡諧波沿x方向傳播，已知P點的振動規(guī)律為 ，在下列四種坐標(biāo)選擇下，寫出波函數(shù)及距 P 點為 b 的 A 點的振動方程。 解：四種情況下A點的振動都比P點落后，根據(jù)相位差可寫出它們對應(yīng)的波函數(shù)：（此時A點為任意點，坐標(biāo)為x）P、A間距為b時，四種情況下A點的振動方程均為： A點相位比P點落后 例題9-10、一平面簡諧波在t=0時的波形如圖(a)所示，在波線 上x=1m 處質(zhì)元P的振動曲線如圖(b)所示。求該平面簡諧波的

9、波函數(shù)。y/mx/m圖(a)y/mt/s圖(b)解: 由圖(a)可得由圖(b)可得由圖(b)可知P點處質(zhì)元在 t = 0 時向下運動，因此波是沿x軸負(fù)方向傳播的。則對于O點處，t = 0 時：由旋轉(zhuǎn)矢量法可得O處質(zhì)元的初相為: 所以波函數(shù)為 例題9-11、一平面簡諧波在 t=1s 時的波形如圖所示。若已知波的振幅A、波速u 和波長，求：(1)該簡諧波的波函數(shù)；(2)P點處質(zhì)點的振動方程。 yx對于x=0處的質(zhì)點，在 t=1s 時：解：(1)由于波沿x軸負(fù)方向傳播，設(shè)波函數(shù)為由旋轉(zhuǎn)矢量法：所以波函數(shù)為:(2) 將 代入波函數(shù)，得 P點處質(zhì)點的振動方程為：五、 波動方程 將平面簡諧波的波函數(shù)對時間

10、 t 和對x分別求二階偏導(dǎo)數(shù)，有:平面波波動方程推廣:任何物理量 滿足上式，則以波動形式傳播。六、波的能量波的傳播過程:(1)振動狀態(tài)的傳播(相位)(2)能量的傳播取AB段為研究對象為弦的質(zhì)量線密度(1) AB段的動能:1、行波的能量以弦上橫波為例,其波函數(shù)為:x很小代入上式,得:利用了(2)AB段的勢能:彈性勢能應(yīng)為張力T在線元伸長的過程中所作的功,即:(3)總機(jī)械能:(4)能量密度:(單位體積中的能量為質(zhì)量密度)(5)平均能量密度(對t求平均)(6)特點:相位,大小均相同(注意與振動能量相區(qū)別)若x一定,總機(jī)械能并非常量與彈簧振子能量不同若t一定,上圖中 極大 能量極小 極小波形為截面所在

11、位置的能量密度所以，能流為顯然能流是隨時間周期性變化的。但它總為正值.2、波的能流密度與波的強(qiáng)度(1) 能流單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截面的能流，或叫能流通量。設(shè)波速為 u，在 時間內(nèi)通過垂直于波速截面 的能量:(2)平均能流:在一個周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流。 平均能流(3)能流密度:通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度。換句話說，能流密度是單位時間內(nèi)通過垂直于波速方向的單位截面的平均能量。聲學(xué)中聲強(qiáng)就是上述定義之一例能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。寫成矢量式：(4) 波的吸收 實際上，波在媒質(zhì)中傳播時，媒質(zhì)總要吸

12、收一部分能量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱之為吸收。為吸收系數(shù),取決于媒質(zhì)和波的頻率(舉例說明)9.6 波的疊加原理 波的干涉 一、 波的疊加原理 當(dāng)幾列波在媒質(zhì)中傳播時： 不論是否相遇，各列波仍將保持其原有的頻率、波長、振動方向等特征繼續(xù)沿原來的傳播方向前進(jìn)，不受其它波的影響。 在幾列波相遇處，質(zhì)元的振動是各列波單獨存在時對該 質(zhì)元所引起振動的合成。 波的疊加原理波傳播的獨立性原理注意：波的疊加原理僅在弱波條件時成立，強(qiáng)沖擊波 則不成立。遵守疊加原理的波稱為線性波，否則稱為非線性波。 二、 波的干涉 1、干涉現(xiàn)象: 在一定條件下，兩波相遇，

13、在媒質(zhì)中某些位置 的點振幅始終最大，另些位置振幅始終最小， 而其它位置，振動的強(qiáng)弱介乎二者之間，保 持不變，這種現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象。2、產(chǎn)生干涉的條件： 兩波源具有恒定的相位差。 兩波源的振動方向相同。 兩波源具有相同的頻率。滿足上述條件的稱為相干波。3、干涉加強(qiáng)、減弱條件：設(shè)有兩個頻率相同的波源S 1 和S 2 傳播到 P 點引起的振動為： 在 P 點的振動為同方向同頻率振動的合成。由疊加原理，P 點合振動為：其中：干涉加強(qiáng)的條件干涉減弱的條件當(dāng)兩波源的初相位相同時，相干條件可寫為：干涉加強(qiáng)干涉減弱 例題9-12、如圖所示，S1和S2是兩相干波源，相距1/4波長，S1比S2的相位超前 。設(shè)

14、兩列波在S1、S2連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化，問S1、S2連線上在S1外側(cè)各點處的合成波的強(qiáng)度如何？又在S2外側(cè)各點處的強(qiáng)度如何？ 解：(1) S1外側(cè)各點以任意點M表示，兩波在此相遇時的相位差為： 所以在S1外側(cè)各點的合振幅A=0，波的強(qiáng)度也為零。(2) S2外側(cè)各點以任意點N表示，兩波在此相遇時的相位差為： 所以在S2外側(cè)各點的合振幅A=2A0，合振動強(qiáng)度:為兩波源單獨存在時強(qiáng)度的4倍。 例題9-13、在同一媒質(zhì)中相距為20m 的兩平面簡諧波源S1 和S2 作同方向，同頻率( =100Hz )的諧振動，振幅均為A= 0.05m，點S1 為波峰時，點S2 恰為波谷，波速u = 200

15、m/s 。 求：兩波源連線上因干涉而靜止的各點位置。 解 選S1 處為坐標(biāo)原點O，向右為x 軸正方向,設(shè)點S1 的振動初相位為零,由已知條件可得波源S1 和S2 作簡諧振動的運動方程分別為:S1 發(fā)出的向右傳播的波的波函數(shù)為:S2 發(fā)出的向左傳播的波的波函數(shù)為:因干涉而靜止的點的條件為:化簡上式,得:所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點的位置分別為:將 代入,可得:三、 駐波 （駐波是干涉的特例）1、駐波: 兩列振幅相同，而傳播方向相反的相干波，其合成 波是駐波。 設(shè)有兩列相干波，振幅相同，初相皆為零，分別沿 x 軸正、負(fù)方向傳播：2、駐波的形成 :其合成波稱為駐波，其表達(dá)式 ：整理可得：駐波

16、方程 各點作頻率相同、振幅不同的簡諧振動 。 振幅為隨x變化3、駐波的特征：（1） 波節(jié)和波腹：波節(jié)：振幅為零的點稱為波節(jié)。波腹：振幅最大的點稱為波腹。兩相鄰波節(jié)間的距離 / 2。兩相鄰波腹間的距離 / 2。兩相鄰波節(jié)與波腹間的距離/4。的各點。即:波節(jié)的位置為：的各點。即:波腹的位置為：（應(yīng)用）：可用測量波腹間的距離，來確定波長。（2）相位 ：（3） 波形：相位為相位為* 在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達(dá)到反向 最大或同時達(dá)到反向最小。速度方向相反。 結(jié)論：* 兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。同時達(dá)到 最大或同時達(dá)到最小。速度方向相同。波形不傳播。能量不傳播 “ 駐”駐波表達(dá)式中不含 項，

17、所以駐波不是行波。分段振動 當(dāng)一列波從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)的界面時，反射波在反射點有 的相位突變，等效于波多走或少走半個波長的波程，這種現(xiàn)象稱為半波損失。彈性波：u 較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)； 較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì)。波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)形成的駐波在界面處是波腹。無半波損失無半波損失 密疏波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)形成的駐波在界面處是波節(jié)。半波損失半波損失密疏四、 半波損失 例題9-14 設(shè)入射波的波函數(shù)為 ，在x=0處發(fā)生反射，反射點為一自由端，求：（1）反射波的波函數(shù)；（2）合成波（駐波）的波函數(shù)，并由合成波的波函數(shù)說明哪些點是波腹，哪些點是波節(jié)？ 解：（1）依題意，在x=0處反射，因此入射波在反射點的

18、振動方程為 反射方向上任意一點P比反射點落后相位 ，又由于無半波損失，因此反射波的波函數(shù)為 （2） 合成波的波函數(shù)為 顯然， 那些點，振幅最大(2A)，即波腹； 的那些點，振幅最小(0)，是波節(jié)。 例題9-15 一列沿x軸正方向傳播的入射波的波函數(shù)為 。該波在距坐標(biāo)原點O為 x0=5處被一垂直面反射，如圖，反射點為一波節(jié)。求：(1)反射波的波函數(shù)；(2)駐波的表達(dá)式；(3)原點O到x0間各個波節(jié)和波腹的坐標(biāo)。 解 （1）從入射波的波函數(shù)可以確定在原點的振動方程為 反射波在O點的振動相位比入射波在O點的振動相位要落后 所以反射波在O點的振動方程為 據(jù)此可寫出反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)為：（2）

19、駐波表達(dá)式為 （3）因為原點O和 x0=5處均為波節(jié)，鑒于相鄰波節(jié)的間距為/2，可知各波節(jié)點的坐標(biāo)為 又兩波節(jié)之間為一波腹，故波腹點的坐標(biāo)為 9.7 惠更斯原理 波的衍射 一、 惠更斯原理 媒質(zhì)中波動傳播到達(dá)的各點都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任意時刻，這些子波波面的包絡(luò)（與所有子波的波前相切的曲面或曲線）就是新的波前，這就是惠更斯原理。 球 面 波平 面 波惠更斯原理適用于任何形式的波動。 波在傳播過程中遇到障礙物時，能夠繞過障礙物的邊緣前進(jìn)，這種現(xiàn)象稱為波的衍射。 二、 波的衍射 衍射現(xiàn)象是波動的重要特征之一。 衍射現(xiàn)象顯著與否，與障礙物的大小有關(guān)。 波的衍射波長相同的水波通過寬度不

20、同的窄縫靠近狹縫的邊緣處，波面彎曲，波線改變了原來的方向，即繞過了障礙物繼續(xù)前進(jìn)。AB可用惠更斯原理定性解釋波的衍射現(xiàn)象9.8 多普勒效應(yīng) 一、多普勒效應(yīng) 如果波源或觀察者或兩者都相對于媒質(zhì)運動，并且在二者連線方向上有相向或相反的運動分量時，則觀察者接收到的頻率將不同于波源發(fā)出的頻率，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。 波源頻率：單位時間內(nèi)波源振動的次數(shù)或單位時間內(nèi) 發(fā)出的 “完整波” 的數(shù)目。觀察者接收到的頻率：觀察者在單位時間內(nèi)接收到的 “完整波”的個數(shù)。波的頻率：單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)中某點的“完整波” 的 數(shù)目。首先區(qū)別下面三種頻率:二、三種不同情況下頻率的變化1、波源相對于媒質(zhì)靜止，觀察者以速度V

21、R 相對于媒質(zhì)運動 觀察者接收到的頻率（單位時間內(nèi)接收到完整波的個數(shù)）: 觀察者以速度VR 接近波源S ：波在媒質(zhì)中傳播時的波長為 。單位時間內(nèi)波相對于觀察者傳播的距離:波源不動：波的頻率 等于波源的頻率 。表示波源相對于媒質(zhì)的運動速度。表示觀察者相對于媒質(zhì)的運動速度。表示媒質(zhì)中的波速三種速度觀察者以速度 VR 離開波源S ：表明: 觀察者接收到的頻率提高。同理可得觀察者接收到的頻率：特例：即觀察者與波面同速運動，接收不到聲波。表明: 觀察者接收到的頻率降低。當(dāng) 時， 若波源S 以速度Vs 接近觀察者：2、觀察者靜止，波源相對于媒質(zhì)以速度 vs 運動波在媒質(zhì)中的波長：波的頻率為：波長: 波傳播

22、時, 在同一波線上 兩個相鄰的相位差為2 的質(zhì)元之間的距離。觀察者靜止：觀察者接收到的頻率 等于波的頻率 。波被擠壓若波源S 以速度vs 離開觀察者， 表明: 觀察者接收到的頻率升高。表明: 觀察者接收到的頻率降低。同理可得觀察者接收到的頻率：由于觀察者不動，則觀察者接收到的頻率等于波的頻率 ：3、波源和觀察者同時相對媒質(zhì)運動：當(dāng)波源和觀察者相向運動時：觀察者接受到的頻率為：當(dāng)波源和觀察者彼此離開時，觀察者接受到的頻率為： 利用聲波的多普勒效應(yīng)可以測定流體的流速、振動體的 振動和潛艇的速度 用來報警和監(jiān)測車速 在醫(yī)學(xué)上，如做超聲心動、多普勒血流儀。馬赫波：當(dāng)波源的速度超過波的速度時，波源前方不

23、可能有任何波動產(chǎn)生。如 沖擊波。多普勒效應(yīng)的應(yīng)用 例題9-16 汽車迎著一固定波源駛來時，波源向汽車發(fā)射頻率為 100kHz的超聲波。相對波源靜止的觀察者測得從汽車反射回來的超聲波的頻率為110KHz。已知空氣中聲速u=340 m /s。 求：汽車行駛的速度v。 解:波 源：固定波源；靜止觀察者：汽車；向著波源運動。速度為v 。第一步所以汽車接收到的頻率：根據(jù)第二步觀察者：人（接收器），靜止。根據(jù)解得 波 源：汽車；向著觀察者運動。汽車發(fā)出的波的頻率 即是它接收到的頻率9.9 聲波 超聲波 次聲波 聲波是機(jī)械縱波頻率高于20000赫茲的叫做超聲波。20到20000赫茲之間能引起聽覺的稱為可聞聲波，簡稱聲波。頻率低于20赫茲的叫做次聲波；聲波20000Hz20Hz* 聲的產(chǎn)生、傳播和接收。為聽覺服務(wù)，如聲音的音質(zhì)、音響效果；聲學(xué)在建筑學(xué)方面的應(yīng)用，噪聲的避免等。聲波測井。 * 利用聲的傳播特性研究媒質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)；利用聲波的作用來促進(jìn)化學(xué)反應(yīng)，為科技服務(wù)。 研究的分類：聲的概念不再局限于聽覺范圍，幾乎是振動和機(jī)械波的同義詞。1. 聲速 聲波在彈性媒質(zhì)中的傳播速度稱為聲速，它既與媒質(zhì)特性有關(guān)，也與媒質(zhì)的溫度有關(guān)。可以證明，聲波在理想氣體中的傳播速度為 式中 為摩爾熱容比，R 為普適氣體常量，T 為氣體的熱力學(xué)溫度，M為氣體的摩爾質(zhì)量。 室溫下空