銳角三角函數(shù)的技巧及練習題含答案

1、【答案】A【解析】連接OC,D.銳角三角函數(shù)的技巧及練習題含答案一、選擇題1 .如圖，已知 AB是。的直徑，點C在。0上，過點C的切線與AB的延長線交于點 巳連接AC,若/ A=30, PC=3則。的半徑為（）3C.-2. OA=OC, /A=30,.-.Z OCA=Z A=30 ,./ COB=Z A+/ACO=60,. PC是。切線，/ PCO=90 , / P=30,PC=3,.-.OC=PC?tan30 =y/3 ,故選A2 .如圖，AB是e O的弦，直徑CD交AB于點E ,若AE EB 3 , C 15o ,則4633【解析】【分析】連接OA.證明 OAB是等邊三角形即可解決問題.【

2、詳解】Ad Bd ,BOD AOD 2 ACD 300, AOB 60,OA OB,AOB是等邊三角形， AE 3, OE AE tan 60 373,故選D.【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.3.如圖，在 ABC中，AB AC , MN是邊BC上一條運動的線段（點 M不與點B重一合，點N不與點C重合），且 MN BC, MD BC交AB于點D , NE BC交AC于點E ,在MN從左至右的運動過程中，設 BM x , BMD的面積減去 CNE的面積為y,則下列圖象中，能表示 y與x的函數(shù)關系的圖象大致是（）【答

3、案】A【解析】【分析】設 a= 1 BC, Z B=Z C=2% 求出CN、DM、EN的長度，利用 y=S2md-Sacnee,即可求解.【詳解】解：設 a= tanx2tanBC, Z B= Z C= a,則 MN = a,2.CN= BC-MN-BM = 2a-a-x = a-x , DM = BM tanB= x tan,aEN= CN?tanC= ( a-x ) - tan,ay = SZBMD- SACNE=(BM- DM-CN EN =a tan2為常數(shù),上述函數(shù)圖象為一次函數(shù)圖象的一部分, 故選：A.【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積等

4、知識 點.解題關鍵是深刻理解動點的函數(shù)圖象，了解圖象中關鍵點所代表的實際意義，理解動 點的完整運動過程.34.菱形ABCD的周長為20cm,DE AB,垂足為E,sinA=,則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（5DE=3cm;BE=1cm;菱形的面積為 15cm;BD=2/10 cm.C. 8D. 8.3A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知對各個選項進行分析，從而得到答案【詳解】菱形ABCD的周長為20cmAD=5cm八3 - sinA= 5DE=3cm （正確）AE=4cmAB=5cm，BE=5- 4=1cm （ 正確），菱形的面積=ABX DE=5/3

5、 （米）,BM = AB?sin30 = 5 （米）.在 RtAACD 中，AE= 10 （米）,D DAE= 60, .DE=AE?tan60 = 10 73 （米）.在 RtBCN 中，BN = AE+ AM = 10+573 （米）,C CBN= 45,.CN=BN?tan45 =10+573 （米）,.CD=CN+ EN-DE=10+5m+ 5-10 73=15-5 73 （米）.故選：A.【點睛】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題及解直角三角形 -坡度坡腳問題，通過解直角三角 形求出BM, AM, CN, DE的長是解題的關鍵.13.如圖，ABC是一張頂角是120的三角形紙片，AB

6、 AC, BC 6現(xiàn)將ABC折 疊，使點B與點A重合，折痕DE,則DE的長為（）A. 1B. 2【答案】A【解析】【分析】作AHBC于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 的定義解答即可.【詳解】C.12D.3BH,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出BD,根據(jù)正切1BH=- BC=3,2. / BAC=120 , AB=AC,/ B=30,.AB=BHcos30=2 /3 ，由翻折變換的性質(zhì)可知,DB=DA= ,3 ,DE=BD?tan30 =1, 故選：A.【點睛】 此題考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應用，解題關鍵在于掌握翻折變換是一種對稱變 換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.奔跑

7、吧，兄弟！ ”節(jié)目組，預設計一個新的游戲：奔跑”路線需經(jīng)A、B、C、D四地.如圖，其中 A、B、C三地在同一直線上， D地在A地北偏東30方向、在C地北偏西45 方向.C地在A地北偏東75 方向.且BD=BC=30m.從A地到D地的距離是（）m【解析】C. 30 . 2 mD. 15 . 6 m分析：過點D作DH垂直于AC,垂足為H,求出/ DAC的度數(shù)，判斷出 4BCD是等邊三角 形，再利用三角函數(shù)求出 AB的長，從而得到 AB+BC+CD的長.詳解：過點 D作DH垂直于AC,垂足為H,由題意可知/ DAC=75 - 30 =45. BCD是等邊三角形，/ DBC=60, BD=BC=CD=

8、30m, . DH=Y3 x 30=15/3 ,AD= J2DH=15j6 m.故從 A地到D地的距離是 15 J6 m.故選D.D北點睛：本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直 角三角形的相關知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應用于實際生活的思想.在一次數(shù)學活動中，嘉淇利用一根拴有小錘的細線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學校內(nèi)一座假山的高度 CD .如圖，嘉淇與假山的水平距離 BD為6m ,他的 眼睛距地面的高度為1.6m ,嘉淇的視線經(jīng)過量角器零刻度線 OA和假山的最高點 C,此 時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60刻度線，則假山的高度 CD為（）A. 2M 1

9、.6 mb, 2亞 1.6 mc.4/3 1.6 m d. 273m【答案】A【解析】【分析】 根據(jù)已知得出AK=BD=6m,再利用tan30 0= CK ，進而得出cd的長.AK 6【詳解】解：如圖，過點 A作AK CD于點KBD=6米，李明的眼睛高 AB=1.6米，/ AOE=60,，DB=AK, AB=KD=1.6米，/ CAK=30 ,.tan30=CK 6AK解得：CK=2. 3即 CD=CK+DK=2/3 + l.6= (273+1.6) m.故選：A.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，根據(jù)題意構造直角三角形，解答關鍵是應用銳角三角 函數(shù)定義.如圖，拋物線y=ax2+bx+c

10、 (a0)過原點O,與x軸另一交點為 A,頂點為B,若祥OB為等邊三角形，則 b的值為(【答案】B【解析】【分析】- 3 3- 4 3根據(jù)已知求出b b22a，4a TOC o 1-5 h z b2b),由、OB為等邊三角形，得到 =tan60 x(), HYPERLINK l bookmark119 o Current Document 4a2a即可求解;【詳解】解：拋物線y = ax2+bx+c (a0)過原點O,c= 0,工)4a AOB為等邊三角形,b24a= tan60 x( 2),2a： b= - 2 屈； 故選B.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)；能夠?qū)佄锞€上

11、點的關系轉(zhuǎn)化為等邊三 角形的邊關系是解題的關鍵.如圖，兩根竹竿 AB和AD斜靠在墻CE上，量得 BAC 60 , DAC 70 竿AB與AD的長度之比為（）.2A. 2sin70B. 2cos70C. 2tan70D.tan 70【答案】B【解析】【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關系分別表示出AB, AD的長，即可得出答案.解：/ BAC=60 , /DAC=70,。AC 1cos60 = 一AB 2則 AB=2AC,cos70 =-,AD .AC=AD?cos70,AD=ACcos70AB 2ACAD AC =2cos70 :cos70故選：B.【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確表示

12、出各邊長是解題關鍵.18.如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=4x ；x2 2(x 4)2 8,刻畫，斜坡可以用一次函數(shù) y= x刻畫，下列結(jié)論錯誤的是 （）A.斜坡的坡度為1： 2B.小球距。點水平距離超過4米呈下降趨勢C.小球落地點距 O點水平距離為7米D.當小球拋出高度達到 7.5m時，小球距O點水平距離為3m【答案】D【解析】【分析】求出拋物線與直線的交點，判斷A、C ;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B;求出當y 7.5時，x的值，判定D .【詳解】12y x 4x解：,1 y -x 2解得,7 ： 7=1 ： 2, A 正確;2小球

13、落地點距 O點水平距離為7米，C正確;2y 4x - x 2則拋物線的對稱軸為 x 4當X 4時，y隨x的增大而減小，即小球距 。點水平距離超過 4米呈下降趨勢，B正 確，,r 一，12當 y 7.5時，7.5 4x -X22，整理得x2 8x 15 0,解得，x1 3, x2 5,當小球拋出高度達到 7.5m時，小球水平距 O點水平距離為3m或5m, D錯誤，符合題 息；故選：D【點睛】本題考查的是解直角三角形的坡度問題、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握坡度的概念、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.19.如圖1,在 BC中，/ B= 90, /C= 30,動點P從點B開始沿邊BA、AC向點C以 恒定的速度移動

14、，動點 Q從點B開始沿邊BC向點C以恒定的速度移動，兩點同時到達點C,設4BPQ的面積為y (cm2) .運動時間為x ( s) , y與x之間關系如圖2所示，當點P 恰好為AC的中點時，PQ的長為()廢11圖2A. 2B. 4C. 2而D. 443【答案】C【解析】【分析】點P、Q的速度比為3：屈,根據(jù)x= 2, y=6j3,確定P、Q運動的速度，即可求解. 【詳解】解：設 AB= a, / C= 30,貝U AC= 2a, BC= 73a,設P、Q同時到達的時間為 T,則點P的速度為3a，點Q的速度為 叵，故點P、Q的速度比為3: J3, TT故設點P、Q的速度分別為：3v、J3v,由圖2

15、知，當x=2時，y=6，3,此時點P到達點A的位置，即 AB= 2X=6v,BQ=2X/3v= 28v,y= AB XBQ=226vx2s/3v= 673 ,解得：v=1故點P、Q的速度分別為：3, J3 , AB= 6v= 6= a,則A量12, BC= 6志,如圖當點P在AC的中點時，PC= 6,此時點P運動的距離為 AB+AP= 12,需要的時間為12+3= 4, 則 BQ=3=46，CQ= BC- BQ=6V3 -473 =273 , 過點P作PHLBC于點H,PC= 6,則 PH= PCSinC= 61 = 3,同理 CH= 373 ,則 HQ= CH CQ= 3y/3 - 273

16、=PQ= ,PH2 HQ2 = 5 = 2 班,故選：C.【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關 系，進而求解.20.如圖，已知圓 O的內(nèi)接六邊形 ABCDEF的邊心距OM 2,則該圓的內(nèi)接正三角形ACE的面積為（）DA. 2B. 4C. 673D. 473【答案】D【解析】【分析】連接OC,OB,過O作ON CE于N ,證出 COB是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù) 的定義求解即可.【詳解】解：如圖所示，連接 OC,OB,過。作on CE于N,多邊形 ABCDEF是正六邊形， COB 60,OC OB ,COB是等邊三角形， OCM 60, OM OC?sin OCM,.“ OM4 .3,、 TOC o 1-5 h z OC (cm).sin 603 OCN 30, HYP