高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)與微分續(xù)課件

1、第 三 章導(dǎo) 數(shù) 與 微 分求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 導(dǎo)數(shù)的四則運算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)例1求由方程在 處的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)解 方程兩邊對 求導(dǎo),得 解得因為當(dāng) 時，由原方程得 ，所以解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo)得因 x = 0 時 y = 0 , 故在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)確定的隱函數(shù)例2 求由方程 例3 求曲線處的切線方程.在點解 方程兩邊分別對x求導(dǎo)，得解得于是所求切線方程為即例4求由下列方程確定的隱函數(shù) y = f (x) 的導(dǎo)數(shù)：求對數(shù)求導(dǎo)法 觀察5將冪指函數(shù)表示為 直接求導(dǎo)得 另

2、解 1) 對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:說明:一般地將冪指函數(shù)表示為 直接求導(dǎo)得 另解對數(shù)求導(dǎo)法同時適用于積與商的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例5 求的導(dǎo)數(shù)。解 兩邊取對數(shù)，得兩邊對 求導(dǎo)，得 于是4.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。即或確定的函數(shù)，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為例6 已知橢圓的參數(shù)方程為求橢圓在相應(yīng)的點處的切線方程.解 當(dāng)時,橢圓上的相應(yīng)點的坐標(biāo)是：曲線在的切線斜率為：或即得橢圓在點的切線方程則例8 設(shè)求解5 函數(shù)的微分引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, 問此薄片面積

3、改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則 面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取 得增量時,變到 邊長由 其 5.1 微分的概念 1.定義 函數(shù) y = f (x) 可微的條件 二、微分四則運算法則 三、復(fù)合函數(shù)的微分法則 及一階微分形式不變性 則復(fù)合函數(shù) 設(shè)的微分為： 由于一階微分形式不變性解 解例2 求函數(shù)例2 求函數(shù)的微分.例3 求函數(shù)的微分.例4 求下列函數(shù)的微分 y = (3x2 4) (4x3 + x 1 ) 解： y= (3x2 4)(4x3 + x 1 )+ (3x2 4) (4x3 + x 1 ) = 6x (4x3 + x

4、 1 )+ (3x2 4) (12x2 + 1 )= 60 x4 39x2 6x 4 函數(shù)的微分為：d y = (60 x4 39x2 6x 4 ) dx 解例5 求函數(shù)的微分.2. 在下列等式左端的括號內(nèi)填入適當(dāng)函數(shù)，使等式成立：解（1）（2）5.3微分在近似計算中的應(yīng)用常用的近似計算公式： 充分小時 ,有（1）令，得即或（2）或（3）若函數(shù)，當(dāng)處可微,且在解 取例4 求的近似值。得例10 已知半徑為10cm的金屬圓片加熱后半徑伸長了0.05cm,求圓面積約增加了多少?令圓面積約增加解 以A表示圓面積, 表示圓的半徑,則練習(xí)對 x 求導(dǎo) 兩邊取對數(shù) 解: ln(x 1) + ln(x 2) ln(x 3) p76,13(3) 求的導(dǎo)數(shù)。作業(yè)：13（對數(shù)求導(dǎo)法）(1)(3)、 15.（微分）(1)(2)(3)（習(xí)題三） 12（隱函數(shù)）（1）（2）（4）14（參