2022年函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性知識點回顧

1、名師整理 精華知識點函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性知識點回顧山東省王光天林敬霞函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性、 奇偶性揭示了函數(shù)的基本特征，是研究函數(shù)的重要方面，幾乎是每年必考的內(nèi)容， 例如判定或證明函數(shù)的單調(diào)性（或奇偶性） ，求解單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性求最值，求參數(shù)的取值范圍，利用單調(diào)性奇偶性解不等式等，高考試題中既有選擇題、填空題，又有解答題?？键c一、單調(diào)性的判定與討論例 1、（ 20XX 年上海）若函數(shù) f x x 1，則該函數(shù)在 , 上是2 1A 單調(diào)遞減無最小值 B 單調(diào)遞增有最小值C 單調(diào)遞增無最大值 D 單調(diào)遞增有最大值解析：利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性作出判斷，再由單調(diào)性研

2、究最值，t 2 x1 在 R 上遞增且大于 1 f x x 1 在 R 上遞減，2 1且 0 x 11 故 f x 在 R 上既無最大值，也無最小值，故選 A 2 1解題回顧： 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，注意結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性。（ 20XX 年海淀區(qū)）函數(shù) f x , x R的圖象如圖，則函數(shù) g x f loga x0 a 1 的單調(diào)減區(qū)間是A 0, 1 B a ,1 C ,0 1, ) D a , a 12 2解析：g x f log a x ， 0 a 1 在 0, 上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象知，當(dāng) 0 log ax 1，即 a ,1 時2所以， g x 為減函

3、數(shù)，其單調(diào)區(qū)間為 a ,1。解題回顧：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，借助復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)形式，從而判定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。、已知fxx22x8,g x2f2x22，求 g x 的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：g xf2x22x22 2x8x42x28g/xf2x24x34x4x x1x1由g/x0，可得：x1或 0 x11,1 。所以， g x 的單調(diào)遞增區(qū)間是, 1 ，解題回顧：當(dāng)函數(shù)f名師整理精華知識點x 可導(dǎo)時，可利用導(dǎo)函數(shù)的符號來確定單調(diào)性，注意先求函數(shù)的定義域， 若列表便可使這一解題過程簡潔明了，數(shù)的一些極值?？键c二、函數(shù)奇偶性的判定與證明 例 1、判定下列函數(shù)的奇偶性

4、，并說明理由同時也可以反映出該函fx3 x2 x fx2111fxx2211fx22x10 x2解析：函數(shù)的定義域為R，它關(guān)于坐標(biāo)原點對稱x11x又fxx32xx32xx32x即 f所以函數(shù)fx3 x2x 是奇函數(shù)。 fx 的定義域為x x0，關(guān)于原點對稱x又fxfx211121112111x2x2xf2x2x1即fxfx故函數(shù) fx 是奇函數(shù)。 fx 的定義域為1,1 ，關(guān)于原點對稱1又f1f10，即f1f1且f1所以， fx 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。解題回顧：判斷函數(shù)的奇偶性時，首先要檢查定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷 fx 與 fx 的關(guān)系，若 fxfx 成立時，則函數(shù)為奇函數(shù)，若 f

5、xfx 時，函數(shù)為偶函數(shù)。、（06 年上海題）函數(shù)fx,xR若對于任意實數(shù)a b都有 fabf afff bx 2求證： fx 是奇函數(shù)x證明：因為函數(shù)fx 的定義域為 R，所以關(guān)于原點對稱設(shè)a0，則f bf0f bf00又設(shè)ax bx ，則f0fxfx fxx 1所以， fx 是奇函數(shù)。函數(shù)fx,xR若對于任意實數(shù)x x ，都有fx 1x 22 fx 1fx 2求證： f名師整理精華知識點x 是偶函數(shù)證明：因為函數(shù) f x 的定義域為 R，所以關(guān)于原點對稱令 x 1 0, x 2 x 得，f x f x 2 f 0 f x令 x 2 0, x 1 x 得，f x f x 2 f 0 f x解

6、方程組得： f x f x所以， f x 是偶函數(shù)設(shè)函數(shù) f x 是定義在 ,l l 上證明： f x f x 是偶函數(shù)， f x f x 是奇函數(shù)。證明：對任意的 x l l ，也必有 x l l ，可見 f x 的定義域也是 ,l l ，若設(shè) F x f x f x , G x f x f x則 F x 與 G x 的定義域也是,l l ，顯然是關(guān)于原點對稱的區(qū)間且FxxffxxffxxffxfxxF xGxfG x所以 F x 為偶函數(shù)， G x 為奇函數(shù)。解題回顧：若兩函數(shù)都定義在同一關(guān)于原點對稱的區(qū)間上，則兩個奇函數(shù)的和為奇函數(shù)； 兩個偶函數(shù)的和為偶函數(shù)； 兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；

7、兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)； 一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)?？键c三、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的簡單應(yīng)用例 3、（ 06 年北京模擬）若 f x x 22 1 a x 2 在 ,4 上是遞減函數(shù)，則實數(shù) a 的值的集合是。解析：有函數(shù)的解析式 f x x 22 1 a x 2 x 1 a 22 1 a 2的遞減2區(qū)間為 ,1 af x x 2 1 a x 2 在 ,4 上是遞減函數(shù),4 ,1 a 4 1 a 即 a 3故 a 的集合是 a a 3。解題回顧： 解答此題， 需要分清函數(shù) f x 的遞減區(qū)間是 ,1 a 與 ,4 是減函數(shù)是兩個不同的概念，否則得到 4 1 a ，即 a 3 的錯誤答案

8、，顯然，上面的解法應(yīng)是函數(shù)在子區(qū)間單調(diào)性的性質(zhì)。（ 06 年山西模擬題）已知奇函數(shù)fx 在定義域 2,2 內(nèi)遞減，求滿足f1mf12 m0 的實數(shù) m 的取值范圍。分析：為了求得名師整理精華知識點f 下人力出來，依據(jù)單調(diào)性m 的取值范圍，需將m 從函數(shù)符號及奇偶性產(chǎn)生關(guān)于 m 的不等式，最后結(jié)合定義域便可得 m 的取值范圍。解析：因為函數(shù) f x 在定義域 2,22 1 m 2有 2 解得：1 m 32 1 m 2又 f x 為奇函數(shù)，在 2,2 上遞減，2 2 2f 1 m f 1 m f m 1 1 m m 1 即 2 m 1綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍是 1 m 1。解題回顧： 根據(jù)函

9、數(shù)的單調(diào)性， 函數(shù)值的大小的比較與自變量大小的比較可以互相轉(zhuǎn)化運用，但必須注意函數(shù)的定義域。（ 06 年山東模擬）函數(shù)fx 對任意的a bR 都有f abfaf b1，2)3。并且當(dāng)x0時，f11求證： fx 是 R 上的遞增函數(shù)；若f45，解不等式f2 (3 mm分析：對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，要利用單調(diào)性的定義。將函數(shù)不等式中抽象函數(shù)符號“f ” 運用單調(diào)性“ 去掉”，為此將右邊的 3 看成是某個變量的函數(shù)值。證明：設(shè)x x 2R，且x 1x ，則xx 2x 10fx 2x 111 (x )f(x 2)f1 x (2x1x )1x (1x )(2x1x( f 1x1f x 2x 1)10fx 2fx 1即fx 是 R 上的遞增