周期節(jié)律與振幅變化的研究(數(shù)學建模)

1、周期節(jié)律與振幅變化的研究摘要本文就周期節(jié)律變化和振幅變化的關系進行了研究，通過查閱大量文獻了解周期節(jié)律的相關知識并且找到模型所需要的相關參數(shù)。對于問題一，首先確立中心系統(tǒng)與自身反饋系統(tǒng)和外界輸入或外界刺激的作用機制，建立簡單的二房室模型，得到整個過程的動力學方程。并且規(guī)定系統(tǒng)的狀態(tài)變量的變化率具有周期性，即，由此找到節(jié)律變化周期與振幅變化的關系。對于問題二，引入再循環(huán)B淋巴細胞晝夜節(jié)律現(xiàn)象這一實際背景，假設神經(jīng)內(nèi)分泌系統(tǒng)通過血液中皮質(zhì)類激素的濃度來調(diào)節(jié)再循環(huán)B細胞在免疫器官與外周血之間的遷移和分布，建立四房室模型。通過查閱資料，得到血漿中皮質(zhì)激素濃度的周期性按變化，由此得到再循環(huán)B細胞在免疫器

2、官與外周血之間的遷移和分布速率的周期表達式，最終得到再循環(huán)B淋巴細胞晝夜節(jié)律周期與振幅的關系為，并對結果對參數(shù)敏感性進行了討論?？紤]到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進行模型重建，用MATLAB畫出周期性變化的圖形，得到經(jīng)有限的調(diào)節(jié)時間，系統(tǒng)的狀態(tài)，即B淋巴細胞的數(shù)目恢復穩(wěn)定的結論。關鍵詞： 房室模型 參數(shù)敏感性 穩(wěn)定性分析問題重述自然界的生命體或者人工智能系統(tǒng)中，可以發(fā)現(xiàn)有許多周期或者近似周期節(jié)律的現(xiàn)象存在。這些周期節(jié)律的現(xiàn)象會根據(jù)自身內(nèi)部的反饋機制以及外界的刺激或者外界輸入的變化而變化：(A)或者節(jié)律變快了，但是振幅變化不太大；(B)或者振幅變化很大,但是節(jié)律相對穩(wěn)定；(C)亦或者兩者都會有較大的變化。例如

3、，正常人的心跳節(jié)律在有無外界刺激時就會 有(A)類現(xiàn)象的出現(xiàn)；正常人和病人的體溫晝夜變化又會有(B)現(xiàn)象的出現(xiàn)。（1）要求設計若干數(shù)學模型，以便能夠充分反映上述描述的這些節(jié)律現(xiàn)象，并解釋模型產(chǎn)生這些現(xiàn)象的機制。（2）考慮將設計的模型具體運用于某一個具有實際背景的系統(tǒng)中，并評價模型的優(yōu)點和缺點。問題分析周期節(jié)律隨自身內(nèi)部的反饋機制以及外界的刺激或外界輸入的變化而變化，節(jié)律變快，周期縮短，節(jié)律變慢，周期延長，節(jié)律不變，則周期不變。題目中描述的A,B,C三種現(xiàn)象實際上是針對不同的現(xiàn)象周期變化和振幅變化的關系。由此，根據(jù)在外界周期性變化的情況下而引起系統(tǒng)內(nèi)部的周期性變化，建立房室模型，假定系統(tǒng)內(nèi)的變化

4、率是具有周期性的，進而可以分析求解問題。此外，應考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到相應的結論。模型建立 4.1 問題一4.1.1 模型假設1、假設所研究的周期節(jié)律現(xiàn)象為外源性節(jié)律，即所研究的系統(tǒng)所處的周圍環(huán)境有各種周期性變化的因素引起節(jié)律的周期性變化。2、假設系統(tǒng)內(nèi)的狀態(tài)量的變化率是周期性的。3、假設外界輸入到中心系統(tǒng)的信號無損失。4、假設從中心系統(tǒng)輸出的狀態(tài)量只受中心系統(tǒng)內(nèi)部的影響，外界不對其產(chǎn)生影響。4.1.2 符號說明外界輸入變量系統(tǒng)內(nèi)的狀態(tài)變量未受到外界信號刺激時中心系統(tǒng)內(nèi)的狀態(tài)量反饋系統(tǒng)內(nèi)的狀態(tài)量由中心系統(tǒng)傳到反饋系統(tǒng)的過程中狀態(tài)量的變化率由反饋系統(tǒng)作用于中心系統(tǒng)過程中狀態(tài)量的變化率最后由中心系

5、統(tǒng)輸出到外界的過程中狀態(tài)量的變化率4.1.3 模型建立由于周期節(jié)律現(xiàn)象受到自身的反饋調(diào)節(jié)以及外界刺激或外界輸入的影響而發(fā)生變化，根據(jù)房室模型建立周期節(jié)律的變化隨相關變量的變化模型。具體機制如下圖：因此，整個過程的動力學方程為（*）設為隨時間變化的周期函數(shù)，即，其中，代人（*）式，并積分得到周期的表達式。4.2 問題二4.2.1 模型背景實驗證實，人體外周血液中淋巴細胞的數(shù)量,包括T細胞、B細胞均是白天較低,夜間較高,峰值在23:00-03:00時,谷值在11:00-14:00時,存在著較明顯的晝夜節(jié)律。大量的實驗同時發(fā)現(xiàn),人類外周血液中皮質(zhì)醇激素的水平在08:00左右最高,24:00左右最低,

6、與上述淋巴細胞的節(jié)律相反；外周血液中褪黑素水平與上述淋巴細胞的節(jié)律相同。對于晝伏夜出的小鼠,其相應的生物節(jié)律與人相反,且實驗發(fā)現(xiàn)其外周血與脾臟中淋巴細胞周期波動之間存在近的相位差.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)估算出人與小鼠體內(nèi)參與再循環(huán)的B 細胞在免疫器官中的分布比例大致為：骨髓中約占10%,外周血中占3%,淋巴結和淋巴類粘膜中占55%60%,脾臟中占30%左右。骨髓不僅是前體T細胞產(chǎn)生及B細胞產(chǎn)生、發(fā)育的場所,而且是抗體產(chǎn)生的重要部位。當抗原第2次免疫動物后23d，脾臟、淋巴結等外周免疫器官的活化記憶B 細胞經(jīng)淋巴或血液遷移至骨髓,在骨髓分化成熟為漿細胞,并產(chǎn)生抗體。神經(jīng)內(nèi)分泌系統(tǒng)對T細胞和B細胞再循環(huán)過程

7、的調(diào)節(jié)作用基本相同。有實驗進一步表明皮質(zhì)激素可能對T細胞的遷移束縛作用較B細胞強,向小鼠體內(nèi)注射糖皮質(zhì)激素后,明顯延長了再循環(huán)淋巴細胞在骨髓、淋巴結中的居留時間(對骨髓中淋巴細胞的影響更大),改變了淋巴細胞由外周血進入淋巴結的流速,而且增加了由外周血進入骨髓的淋巴細胞的流速1。4.2.2符號說明骨髓中B細胞的數(shù)目外周圍血液中B細胞的數(shù)目淋巴結中B細胞的數(shù)目脾臟中B細胞的數(shù)目每天骨髓中平均產(chǎn)生的B細胞的數(shù)目每天由骨髓釋放到外周血中B細胞數(shù)目,即骨髓中B細胞的釋放速率每天由外周血返回到骨髓中B細胞數(shù)目，即骨髓中B細胞的返回速率每天由骨髓返回到淋巴結中B細胞數(shù)目，即淋巴結中B細胞的返回速率每天由淋巴

8、結釋放到骨髓中B細胞數(shù)目，淋巴結中B細胞的釋放速率每天由骨髓返回到脾臟中B細胞數(shù)目，脾臟中B細胞的返回速率每天由骨髓釋放到脾臟中B細胞數(shù)目，脾臟中B細胞的釋放速率骨髓中B細胞的死亡率外界血液中B細胞的死亡率淋巴結中B細胞的死亡率脾臟中B細胞的死亡率，反映淋巴結和骨髓中再循環(huán)的B細胞、間相互遷移的基本速率，反映骨髓中再循環(huán)的B細胞與外周血間相互遷移的基本速率，反映脾臟與外周血液之間B細胞的再循環(huán)的速率參數(shù)，不受皮質(zhì)激素濃度的影響血漿中皮質(zhì)激素濃度的周期性變化的頻率小鼠血漿皮質(zhì)激素濃度波動的初相位人血漿皮質(zhì)激素濃度波動的初相位反映皮質(zhì)激素對B 細胞在淋巴結與外周血間的作用強度反映皮質(zhì)激素對骨髓與外

9、周血間B細胞遷移的作用強度B外周血中B細胞晝夜節(jié)律變化的周期淋巴結中B細胞晝夜節(jié)律變化的周期脾臟中B細胞晝夜節(jié)律變化的周期骨髓中B細胞晝夜節(jié)律變化的周期4.2.3 模型假設1、假設神經(jīng)內(nèi)分泌系統(tǒng)通過血液中皮質(zhì)類激素的濃度來調(diào)節(jié)再循環(huán)B細胞在免疫器官與外周血之間的遷移和分布,如圖1所示。2、為重點研究神經(jīng)內(nèi)分泌系統(tǒng)對參與再循環(huán)B細胞晝夜節(jié)律的影響,假設在模型中不考慮骨髓中B細胞的增殖、發(fā)育過程,也不考慮抗原的入侵,故本模型不涉及免疫細胞的活化、增殖和免疫應答。3、假設把研究范圍限定在皮質(zhì)類激素對骨髓、外周免疫器官及外周血中B細胞遷移和分布的影響,不考慮皮質(zhì)類激素對活化B細胞的抑制作用。4、本模型

10、中所提到的B細胞,若不作特殊說明,是指參與淋巴細胞再循環(huán)的B細胞,不包括定居于淋巴器官中的B細胞。5、假設皮質(zhì)類激素促使外周血中B細胞返回淋巴結,使得該速率增加,即B細胞從外周血返回淋巴結的速率為；另一方面皮質(zhì)類激素又抑制淋巴結中的B細胞進入外周血,使得B細胞從淋巴結進入外周血的速率變化為。6.假設皮質(zhì)類激素促使外周血中B細胞返回骨髓,使得該速率增加,;另一方面皮質(zhì)類激素又抑制骨髓中的B細胞進入外周血,使得B細胞從骨髓進入外周血的速率變化為4.2.4 模型建立由于在淋巴細胞再循環(huán)過程中B細胞從外周血通過不同途徑進出骨髓、淋巴結和脾臟,故本文建立四房室模型：骨髓、外周血、外周免疫器官中的淋巴結和

11、脾臟各作為一房室。脊椎動物的激素通過血液循環(huán)系統(tǒng)運輸。 根據(jù)假設，得到反映皮質(zhì)醇作用下的B細胞再循環(huán)過程的動力學方程為:, (1),(2), (3). (4)進一步考慮B細胞總數(shù)，重新標度變量,設的初值,令，和后,方程化為（5）(6) （7）（8）根據(jù)資料1,小鼠和人血漿中皮質(zhì)類激素濃度波動的峰值分別在每天的20:00和08:00左右。設血漿中皮質(zhì)激素濃度的周期性按變化。把時間零點放在某一天的00:00時,則 (小鼠)， (人)。在淋巴細胞的再循環(huán)過程中,B細胞隨血液直接進入脾臟,而從血液進入淋巴結則需要通過淋巴組織附近毛細血管后小靜脈(HEV)后的內(nèi)皮細胞,而且血液中腎上腺皮質(zhì)激素濃度的變化

12、將影響淋巴細胞在血液與淋巴組織之間的遷移過程,影響再循環(huán)淋巴細胞與淋巴器官(骨髓、淋巴結、脾臟等)內(nèi)組織的相互結合能力。根據(jù)假設5和6，最終皮質(zhì)激素對B細胞再循環(huán)過程的影響為: (9) (10)4.2.5 模型求解1、參數(shù)的取值有關小鼠與人體外周血液及脾臟中淋巴細胞數(shù)晝夜變化的實驗數(shù)據(jù)引自文獻2-4. 模型中參數(shù)的取值如下:免疫細胞晝夜節(jié)律主要是由血液中皮質(zhì)類激素和褪黑素濃度變化晝夜節(jié)律所驅動的生理節(jié)律,所以取. 對于參數(shù),因為模型沒有考慮B細胞在外周免疫器官中的增殖,取；再循環(huán)的B細胞庫由具有不同壽命及功能的B細胞組成,令再循環(huán)的B細胞的死亡率，。再循環(huán)過程中,循環(huán)一周T淋巴細胞需要1624

13、h,B淋巴細胞需要30h，其中淋巴細胞經(jīng)過脾臟需要46h6。取B細胞從淋巴結到外周血的速率常數(shù),從脾臟到外周血的速率常數(shù)。由于沒有可靠的有關淋巴細胞在骨髓與外周血之間遷移的數(shù)據(jù),設從骨髓到外周血的速率常數(shù)7。 外周血中淋巴細胞的居留時間為1530min，令。 取。實驗5表明小鼠體內(nèi)注射糖皮質(zhì)激素后,明顯延長了再循環(huán)淋巴細胞在骨髓、淋巴結中的居留時間,而且對淋巴細胞在骨髓中居留能力變化的影響是淋巴結中的34倍,所以,對腎上腺皮質(zhì)激素對淋巴細胞再循環(huán)過程的作用參數(shù),取嘗試值。2、數(shù)值結果對于方程(5)(8),在考慮皮質(zhì)激素的影響并取定參數(shù)后,令t=0時刻各變量的初值，,得到小鼠B細胞再循環(huán)的數(shù)值模

14、擬演化結果(圖2)。穩(wěn)定后()波動的形狀與初值的選取無關。從以上數(shù)值結果,用擬合方法可得出小鼠B細胞晝夜節(jié)律現(xiàn)象的近似表達式分別為: ，。圖2 皮質(zhì)激素作用下B細胞再循環(huán)過程的數(shù)值模擬結果各淋巴器官中B 細胞周期波動的中值反映了參與再循環(huán)B 細胞在各淋巴器官中的平均分布比例,理論結果得出：在淋巴結中為64.9%,在骨髓中占8.8%,脾臟中占22.0%,外周血中占3.7%。這與由實驗的估算值(淋巴結和淋巴類粘膜中55%60%,骨髓占10%,脾臟占30%,外周血占3%左右)基本相符。數(shù)值模擬結果中,外周血與脾臟中B細胞數(shù)目波動的相位差為,與實驗數(shù)據(jù)2較好地符合.4.2.6 結果對參數(shù)敏感性的討論頻

15、率、中值、振幅、初相位反映了穩(wěn)定后B 細胞周期波動的性質(zhì)。不同淋巴器官中B細胞數(shù)目的周期波動是由皮質(zhì)激素的周期波動引起的,且由于動力學方程為線性方程,所以B細胞數(shù)目周期波動的頻率等于。各淋巴器官中B細胞數(shù)目周期波動的中值反映了參與再循環(huán)B細胞在各淋巴器官中的分布比例, 主要與參數(shù)和的取值有關.當參數(shù)取值變化,其他參量取值按第6.2.5節(jié)時,穩(wěn)定后(t20d)不同淋巴器官中B細胞中值的變化見圖3。當參數(shù)取值變化,其他參量取值按第6.2.5節(jié)時,穩(wěn)定后(t20d)不同淋巴器官中B細胞中值的變化見圖4。 從數(shù)值結果可以得出,隨參數(shù)的增加,即骨髓中B細胞向外周血的流速增加,變量在1.0附近略有變化,變

16、量(淋巴結)中值逐漸增加,骨髓中平均比例下降(變量中值下降),其余的中值變化較小(圖3)。當增加時(外周血中B 細胞向骨髓的流速增加) ,變量中值逐漸減小,骨髓中平均比例增加(變量中值上升),其余的平均值變化較小(圖4)。4.2.7 結果分析B細胞數(shù)目周期波動的振幅與皮質(zhì)激素的作用因子有關。隨著參數(shù)的增加,骨髓中B細胞數(shù)目平均比例增加,且振動的振幅增大,其余的平均值變化較小,見圖5。即若皮質(zhì)激素對骨髓和外周血之間B細胞遷移的作用增大,骨髓中B細胞所占比例增大,且振動的振幅增加。模型重建對于一個具有周期節(jié)律現(xiàn)象的系統(tǒng)，還要考慮外部影響在某一范圍內(nèi)時，系統(tǒng)能通過調(diào)節(jié)恢復穩(wěn)定，因此再對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進

17、行模型重建。5.1 模型假設假設具有周期節(jié)律現(xiàn)象的系統(tǒng)其不同類型的狀態(tài)量之間是相互獨立的；假設能對系統(tǒng)產(chǎn)生作用的不同外部變量之間是相互獨立的；假設在沒有外部影響時系統(tǒng)本身能獨立穩(wěn)定存在；假設系統(tǒng)自身有一定的自動調(diào)節(jié)能力。5.2 符號說明狀態(tài)變量狀態(tài)的初始值狀態(tài)的內(nèi)稟增長率狀態(tài)的最佳穩(wěn)定值d外部影響條件的消亡速率a外部條件對系統(tǒng)調(diào)節(jié)能力的影響度b系統(tǒng)對外部條件的影響度, 狀態(tài)關于時間的變化率，與系統(tǒng)的自身調(diào)節(jié)作用有關外界對系統(tǒng)的影響量5.3 模型建立與求解一般而言，系統(tǒng)的某個狀態(tài)都是動態(tài)變化的，因此用微分方程來描述。系統(tǒng)的狀態(tài)的變化量都有一定的允許范圍。先考慮偏離允許狀態(tài)，且小于的情況。此時系統(tǒng)

18、的調(diào)節(jié)作用就體現(xiàn)在內(nèi)稟增長率上，故有： （1）因，此時增長，趨于。顯然不會無限增長，因此對內(nèi)稟增長率修正為，此時（1）式相應地修改為 （2）由（2）式可以看出，當偏離允許范圍且大于時，因，所以，遞減。由此可知，雖然（2）式是在小于時建立的方程，能體現(xiàn)系統(tǒng)的自身調(diào)節(jié)作用，但對同樣的，也能體現(xiàn)當大于時系統(tǒng)的自身調(diào)節(jié)作用。對于方程（2），用分離變量法求解得到 （3）由（3）式可知，當時，無論初始值是低于還是高于，都會自發(fā)調(diào)節(jié)到最佳穩(wěn)定值。通過下圖可以直觀地反映這一特性。圖6系統(tǒng)允許的狀態(tài)量是的一個領域，即是上圖中兩條水平實線之間的值。因此當初始量與有較大差別時，經(jīng)過較短的調(diào)節(jié)時間，狀態(tài)已恢復到允許狀

19、態(tài)。若最佳穩(wěn)定值呈周期性變化（比如正弦變化），則相應地調(diào)節(jié)曲線為：圖7由圖中可直觀地看出，經(jīng)有限的調(diào)節(jié)時間，系統(tǒng)的狀態(tài)也能恢復穩(wěn)定。 系統(tǒng)依據(jù)一定的條件存在，所以當外部條件改變時會對系統(tǒng)產(chǎn)生一定的影響，大致分為兩類。第一類是僅對系統(tǒng)的外在狀態(tài)產(chǎn)生影響，第二類則是對系統(tǒng)的內(nèi)在調(diào)節(jié)機制產(chǎn)生影響。對于第一類，可對（3）式作修正而得。因為僅對狀態(tài)產(chǎn)生影響，可認為（3）式中的初始狀態(tài)不在是一個常數(shù)，而是關于變量的函數(shù)，所以（3）式改寫為： （4）因為是一個常數(shù)，故可把（4）式中的看作是外部條件變化對系統(tǒng)狀態(tài)量產(chǎn)生的影響，記為。因此（4）式又可以簡化為： （5）由（5）式可知，當時，系統(tǒng)可恢復穩(wěn)定。因為時

20、是一個無窮小量，所以可得系統(tǒng)能恢復穩(wěn)定時的一個充分條件：函數(shù)有界。 對于第二類影響，用以下微分方程組描述： （6）一般而言，都大于零，體現(xiàn)了外部影響條件對系統(tǒng)調(diào)節(jié)到穩(wěn)定時的抑制作用，可體現(xiàn)外部影響條件的自身存在時間的長短，體現(xiàn)了系統(tǒng)對外部條件的影響。對方程組（6），應用常微分方程定性理論進行分析。令 （7）將微分方程組（6）稱為系統(tǒng)，則對該系統(tǒng)可求得若干平衡點（奇點）。由于該系統(tǒng)是用來描述受到外部條件影響時的調(diào)節(jié)問題，即能否恢復到最佳穩(wěn)定值，所以只需對平衡點進行分析。做變換 （8）則（6）變?yōu)椋?（9）則（9）式的平衡點對應于（6）式的平衡點。應為（8）式只是一個平移變換，所以不會改變平衡點及

21、其鄰域內(nèi)軌線的性態(tài)。由（7）、（8）兩式可得： （10）為了方便，將（9）式中的符號用代替，則得 （11）由此，將對（6）式平衡點的穩(wěn)定性分析，轉化為對（11）式平衡點的穩(wěn)定性分析。對非線性方程組（11），在將作Taylor展開，只取一次項，得到近似線性方程組： （12）將（12）式的系數(shù)矩陣記作： （14）特征方程系數(shù)為：特征方程為：，特征根為 （15）通過值正負性的判斷，可得平衡點是否穩(wěn)定。上述分析雖過程嚴密，但計算量大。運用數(shù)學軟件Matlab,可以方便地計算出特定參數(shù)值時的數(shù)值解并會出圖像，直觀地判斷出平衡點是否穩(wěn)定。例如，考察一種對系統(tǒng)較有利的參數(shù)，也就是說，外部影響條件自身消亡較快

22、，對調(diào)節(jié)機制影響較小，系統(tǒng)又能較好地抑制外部影響，取，此時的調(diào)節(jié)曲線及外部影響條件的圖像如下圖：圖8由圖像可直觀地看出，在初始時穩(wěn)定在的狀態(tài)量，在受到一次短暫的外部影響時，狀態(tài)量先是偏離最佳穩(wěn)定值，經(jīng)有限時間調(diào)節(jié)恢復到。外部影響條件在自身性質(zhì)及系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用下，很快趨于零，即影響作用消失。再考察一種對系統(tǒng)較為不利的參數(shù)，即外部影響條件持續(xù)時間很長，對調(diào)節(jié)機制影響較大，系統(tǒng)對外部影響的抑制作用小，取，此時的調(diào)節(jié)曲線及外部影響條件的圖像如下圖：圖9由圖像可直觀看出，即使初始狀態(tài)處于最佳穩(wěn)定值,受到對系統(tǒng)作用強烈且存在時間長的外部影響條件時，狀態(tài)量將很快遠離而不可恢復，即系統(tǒng)崩潰。5.4 穩(wěn)態(tài)模型的

23、實際應用 對于上述的再循環(huán)B淋巴細胞的晝夜節(jié)律變化，在穩(wěn)定狀態(tài)下，數(shù)目在一定的范圍內(nèi)波動。假設因某短暫的外部影響下對淋巴結的B淋巴細胞的數(shù)目產(chǎn)生了較大的作用，可認為使其初值發(fā)生突變但未影響調(diào)節(jié)機制。此時相當于（3）式描述的模型（已對作過修正，使其呈周期性變化）。由圖7可以看出，經(jīng)有限的調(diào)節(jié)時間，系統(tǒng)的狀態(tài)，即B淋巴細胞的數(shù)目恢復穩(wěn)定。這個結果和圖2中用實際數(shù)據(jù)模擬的曲線調(diào)節(jié)到穩(wěn)定，且穩(wěn)定后的波形和初值的選取無關這一情況較為符合。模型評價與改進6.1 評價本模型研究了再循環(huán)B細胞晝夜節(jié)律的現(xiàn)象,建立了相應的數(shù)學模型,討論了其中皮質(zhì)類激素作用的強度和有關參量的取值范圍及模型對參數(shù)的依賴。用一速率場

24、表示皮質(zhì)激素對淋巴細胞再循環(huán)的影響,優(yōu)點是直觀、簡潔,但可能有些簡單化。6.2 改進實際生物體中皮質(zhì)類激素促使外周血中B細胞返回淋巴結的作用和其抑制淋巴結中的B細胞進入外周血的作用可能不同,皮質(zhì)類激素對骨髓與外周血間B細胞2個方向遷移的作用也可能不同。表達式(9)和(10)可能更復雜。若考慮這些因素,結果可能更接近生物體的實際情況。參考文獻1 李方廷漆安慎. 再循環(huán)B淋巴細胞晝夜節(jié)律現(xiàn)象的數(shù)學模型北京師范大學學報(自然科學版) 第37卷第3期 2001年6月2 Abo T, Kawate T,Iton K, et al. Studies on the bioperiodicity of the

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