納維-斯托克斯方程

1、納維-斯托克斯方程納維-斯托克斯方程納維斯托克斯方程（Navier-Stokes equations ）,以克勞斯-路易納維 （Claude-Louis Navier） 和喬治加布里埃爾斯托克斯 命名,是一組描述像 遭 如和空衛(wèi)這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子 劭星的改變率（加 速度）和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力 （類似于摩擦力）以及引力 之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這 樣，納維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡。他們是最有用的一組方程之一，因為它們描述了大量對學(xué)術(shù)和經(jīng)濟有用的現(xiàn)象 的物理過程。它們可以用于模擬

2、 幺,在逾，管道中的水流，星系中恒星的運 動，汕周圍的氣流。它們也可以用于飛行器和車輛的設(shè)計，血液循環(huán)的研究， 電站的設(shè)計，污染效應(yīng)的分析，等等。納維-斯托克斯方程依賴 微分方程來描述流體的運動。這些方程，和 代數(shù)方程不 同，不尋求建立所研究的變量（譬如 速度和壓力）的關(guān)系，而是建立這些量的 變化率或通量之間的關(guān)系。用數(shù)學(xué)術(shù)語來講，這些變化率對應(yīng)于變量的導(dǎo)數(shù)。這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明加速度（速 度的導(dǎo)數(shù)，或者說變化率）是和內(nèi)部壓力的導(dǎo)數(shù)成正比的。這表示對于給定的物理問題的納維-斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才 能取得。實用上，只有最簡單的情況才能用這種方

3、法解答，而它們的確切答案 是已知的。這些情況通常涉及穩(wěn)定態(tài)（流場不隨時間變化）的非 溫逾，其中流 體的粘滯系數(shù)很大或者其速度很?。ㄐ〉?雷諾數(shù)）。對于更復(fù)雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統(tǒng)或機翼的升力,納維- 斯托克斯方程的解必須借助計算機。這本身是一個科學(xué)領(lǐng)域，稱為計算流體力生。雖然湍流是日常經(jīng)驗中就可以遇到的、!這類問題極難求解。一個 $1,000,000 的大獎由克雷數(shù)學(xué)學(xué)院于2000年5月設(shè)立，獎給對于能夠幫助理解這一現(xiàn)象的 數(shù)學(xué)理論作出實質(zhì)性進(jìn)展的任何人。 2. L 1方程組的形式-2. L2閉合問題 3特殊形式3.1牛頓流體3. 2 賓漢（Bingham）流體3.3一律流體

4、3. 4不可壓縮流體4參看5參考文獻(xiàn)6外部鏈接基本假設(shè)在解釋納維-斯托克斯方程的細(xì)節(jié)之前，我們必須首先對流體的性質(zhì)作幾個假 設(shè)。第一個假設(shè)是流體是連續(xù)的。這強調(diào)它不包含形成內(nèi)部的空隙，例如，溶 解的氣體的氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個必要的假設(shè)是所有涉 及到的場，全部是可微的,例如壓強,速度,密度,溫度,等等。該方程從質(zhì)量,動量,和能量的守恒的基本原理導(dǎo)出。對此，有時必須考慮一 個有限的任意體積，稱為控制體積,在其上這些原理很容易應(yīng)用。該有限體積 記為而其表面記為a。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨著流體運 動。這會導(dǎo)致一些特殊的結(jié)果，我們將在下節(jié)看到。隨體導(dǎo)數(shù)運動流體的屬性的變

5、化，譬如大氣中的風(fēng)速的變化,可以有兩種不同的方法來 測量。可以用氣象站或者氣象氣球上的風(fēng)速儀來測量。顯然，第一種情況下風(fēng) 速儀測量的速度是所有運動的粒子經(jīng)過一個固定點的速度，而第二種情況下， 儀器在測量它隨著流體運動時速度的變化。同樣的論證對于密度、溫度、等等 的測量也是成立的。因此，當(dāng)作微分時必須區(qū)分兩種情況。第一種情況稱為空 間導(dǎo)數(shù)或者歐拉導(dǎo)數(shù)。第二種情況稱為實歷或投移朗6導(dǎo)數(shù)。例子請參看隨體 導(dǎo)數(shù)條目。隨體導(dǎo)數(shù)定義為算子（operator）：）= ）（）其中V是流體的速度。方程右邊的第一項是普通的歐拉導(dǎo)數(shù)（也就是在靜止參照系中的導(dǎo)數(shù)）而第二項表示由于流體的運動帶來的變化。這個效應(yīng)稱為移流

6、（advection ）。L的守恒定律在一個 控制體積上的積分形式是:2/產(chǎn)=。因為。是共動的，它隨著時間而改變，所以我們不能將時間導(dǎo)數(shù)和積分簡單的 交換。產(chǎn)=蔚皿士=L,l門L + V (Lv) dQ = 0 dt因為這個表達(dá)式對于所有R成立，它可以簡化為:號L+ ( -v)L =缸+ - (vL) = 0D對于不是密度的量（因而它不必在空間中積分），川給出了正確的共動時間導(dǎo)數(shù)。守恒定律主條目：守恒定律NS方程可以從守恒定律通過上述變換導(dǎo)出，并且需要用 狀態(tài)定律來閉合。在控制體積上，使用上述變換，下列的量視為守恒：? 質(zhì)量?能量? 動量? 自動量連續(xù)性方程 質(zhì)量的守恒寫作:察 + .(pv)

7、 = 0其中P是流體的密度。在不可壓縮流體的情況 不是時間或空間的函數(shù)。方程簡化為:V - v = 0動量守恒動量守恒寫作：a瓦(pv)+V(pvv) = pf注意VV是一個張量,在代表張量積。我們可以進(jìn)一步簡化，利用連續(xù)性方程，這成為:p痂=我們可以認(rèn)出這就是通常的 F=ma方程組般形式方程組的形式納維-斯托克斯方程的一般形式是：Dv)0除非 我們有P 而= VE + pf關(guān)于動量守恒。張量沖代表施加在一個流體粒子上的表面力(應(yīng)力張量 流體是由象旋渦這樣的旋轉(zhuǎn)自由度組成， P是一個對稱張量。一般來講, 如下形式：/%工丁叫了工磊)/ P 0 O fSX + P 丁可 仁弋P = % / 丁臚

8、=_ 0 P U ) + | % +PT邪 I戈通 匕h)。0 P/ 笠注sz + P)其中b是法向約束，而丁是切向約束。迫仃”+ % +仃在流體處于平衡態(tài)時為00這等價于流體粒子上的法向力的積分為00我們再加上連續(xù)性方程：格+成”0對于處于平衡的液體，產(chǎn)的跡是3p。其中p是壓強最后，我們得到： Vp + V - T + pfXr &!其中IT是F的非對角線部分。閉合問題這些方程是不完整的。要對它們進(jìn)行完備化，必須對 P的形式作一些假設(shè)。例如 在理想流體的情況1分量為00用于完備方程組的方程是 狀態(tài)方程。再如，壓強可以主要是密度和溫度的函數(shù)。要求解的變量是速度的各個分量，流體密度，靜壓力，和

9、溫麼。流場假定為亙微并連續(xù),使得這些平衡得以用偏微分方程表達(dá)。這些方程可以轉(zhuǎn)化為渦度和流函數(shù)這些次變量的威爾金森方程組。解依賴于流體的性質(zhì)(例如 粘滯數(shù)、比 起、和熱導(dǎo)率),并且依賴于所研究的區(qū)域的邊界條件。P的分量是流體的一個無窮小亓卜面的約束。它們代表垂直和剪切約束。P是對 理的，除非存在非零的自旋密度。所謂非牛頓流體是就是其中該張量沒有特殊性質(zhì)使得方程的特殊解出現(xiàn)的流體特殊形式這些是問題的特定的常見簡化，有時解是已知的牛頓流體主條目：牛頓流體在牛頓流體中，如下假設(shè)成立其中戶是液體的粘滯度?！肮?+ VvV） = Pf - / + 以（小 +；（ ，）. 譏dp / d2Vi I。出 +班

10、J其中為簡化書寫，對腳標(biāo)使用了 愛因斯坦求和約定不采用簡化書寫的完整形式非常繁瑣，分別為：動量守恒：Sdv dv dv dp 5F+“防+”而+電涼J=%一枷+而卬 dw 加 dw 6 r戶I稅+ 1f防+ &再+ 3擊）=七一石+石卜質(zhì)量守恒9p十 % 筋)+ 汛 p + as M = 0dx 聞 a名因為密度是一個未知數(shù)，我們需要另一個方程。ede de+乜礪+“而+ddy其中:2-仇丫 , fdw2 a J(a Jdvdx加Y + 9y) +ldw9ydvdzdu服假設(shè)一個理想氣體：T -P,e以及P）。上面是一個6個方程6個未知數(shù)的系統(tǒng)。（u, v , w, T 賓漢（Bingham）

11、流體主條目：賓漢流體在賓漢流體中，我們有稍微不同的假設(shè):dvi 制局=力+川甌西那些流體在開始流動之前能夠承受一定的剪切。牙膏是一個例子幕律流體主條目：幕律流體這是一種理想化的 流他，具剪切應(yīng)力、T,由下式給出不可壓縮流體主條目：不可壓縮流體其納維斯托克斯方程(Navier-Stoke equation) 為Inertia/ 加Unsteadyacce lerataon+ y -VyVCkrnvectivt!ihraelerAtion尊+心+Pressure Vis-cosily gradiEtfcwees動量守恒和質(zhì)量守恒0其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項 (convective t

12、erms)為非線性形式。對流加速度(convective acceleration)來自于流體流動隨空間之變化所產(chǎn)生的速度改變，例如：當(dāng)流體通過一個漸縮噴嘴(convergent nozzle) 時，流體產(chǎn)生加速之情況。由于此項的存在，對于暫態(tài)運動中的流體來說，其流場速度 變化不再單是時間的函數(shù)，亦與空間有關(guān)。另外一個重要的觀察重點，在于黏滯力(viscosity) 在流場中的以流體速度作拉 普拉斯運算來表現(xiàn)。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴散(diffusion ofmomentum)與熱擴散方程非常類似。6j是克羅內(nèi)克記號。若從在整個流體上均勻，動量方程簡化為D% _ r 9p（于嶼

13、1 SA F = p/l密+“扃廣3司（若“ = 這個方程稱為歐拉方程；那里的重點是 可壓縮流和沖擊波）如果現(xiàn)在再有P為常數(shù)，我們得到如下系統(tǒng):dp3P加+叫連續(xù)性方程（假設(shè)不可壓縮性）：dvx dvv 詠赤+詬+a=0Ronald Panton 所著第二版N-S方程的簡化版本。采用不可壓縮流，注意納維-斯托克斯方程僅可近似描述液體流，而且在非常小的尺度或極端條 件下，由離散的分子和其他物質(zhì)（例如懸浮粒子和溶解的氣體）的混合體組成 的真實流體，會產(chǎn)生和納維-斯托克斯方程所描述的連續(xù)并且齊性的液體不同 的結(jié)果。依賴于問題的納森數(shù)，統(tǒng)計力學(xué)可能是一個更合適的方法。但是，納 維一斯托克斯方程對于很大

14、范圍的實際問題是有效的，只要記住他們的缺陷是 天生的就可以了。參看? 馬赫數(shù)? 雷諾平均納維-斯桿克斯方程Inge L. Rhyming Dynamique des fluides ,1991 PPUR.Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., Hydrodynamics,Massand Heat Transfer in Chemical Engineering , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8外部鏈接?克雷數(shù)學(xué)研究院納維-斯托克斯方程大獎o 該問題的正式命題?納維-斯托克斯方程的一個推導(dǎo)?納維-斯