在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)量的高低、質(zhì)量的優(yōu)劣,方案實(shí)施效果的好壞等,往

1、 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)量的高低、質(zhì)量的優(yōu)劣，方案實(shí)施效果的好壞等，往往是由許多因素所至。這就要從眾多因素中找出主要因素，分析該因素處在何種狀態(tài)時(shí)，使產(chǎn)量高、質(zhì)量優(yōu)、效果好。 要解決這類問題就需要： 當(dāng)兩個(gè)總體方差相等時(shí)，可用 t 檢驗(yàn)來檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值間的差異性；當(dāng)總體是三個(gè)或三個(gè)以上時(shí)如何檢驗(yàn)?zāi)?？就要用本章的方差分析。它是在二十世紀(jì)20 年代由著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家R. Fisher首先應(yīng)用到農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中的。 由于試驗(yàn)設(shè)計(jì)不同，方差分析的方法也有所不同。本章重點(diǎn)介紹單因素方差分析和雙因素方差分析。 方差分析的作用：從方差的角度分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)、判斷各因素各狀態(tài)對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。第九章 方差分析 一、設(shè)計(jì)

2、一個(gè)好的試驗(yàn)方案（試驗(yàn)設(shè)計(jì)）； 二、有效地分析多因素多狀態(tài)下試驗(yàn)結(jié)果的差異性。 例1 檢驗(yàn)?zāi)撤N激素對羊羔增重的效應(yīng)。選用3個(gè)劑量進(jìn)行試驗(yàn)，加上對照（不用激素）在內(nèi)，每次試驗(yàn)要用4只羊羔，若進(jìn)行4次重復(fù)，則共需要16只羊羔。研究激素用量對羊羔增重的影響是否顯著。羊羔的增重（kg/每頭/每200日） 試驗(yàn)中所研究的指標(biāo)（羊羔的增重?cái)?shù)量）稱為試驗(yàn)指標(biāo)或響應(yīng)值；影響試驗(yàn)指標(biāo)（增重?cái)?shù)量）的量是激素，稱為因素或因子；激素用量（因素的狀態(tài)）稱為因素的水平或簡稱水平。本例中有1個(gè)因素，4個(gè)水平，故稱為單因素試驗(yàn)。幾個(gè)概念 處理 重復(fù)1(對照)2341475057542525453653626769744515

3、75759 在方差分析中，通常取1-3個(gè)因素進(jìn)行研究。因素的每一個(gè)狀態(tài)稱為一個(gè)水平，水平可以是數(shù)量化的，也可以是定性的。 例1為單因素四水平試驗(yàn)。也就是四個(gè)總體的比較問題。 本例中有一因素 (激素, 記為A) 四個(gè)不同水平 (分別記為A1, A2, A3, A4)?？烧J(rèn)為一個(gè)激素水平的增重量就是一個(gè)總體，在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同方差的正態(tài)分布，即第j個(gè)激素水平的增重量是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從分布N(j , 2), j=1, 2, 3, 4. 要檢驗(yàn)假設(shè) 若拒絕H0，我們就認(rèn)為這四個(gè)激素水平的平均增重量之間有顯著差異；反之，就認(rèn)為各激素水平間增重量的不同是由隨機(jī)因素引起的。 方差分析是

4、檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。9.1 單因素方差分析 例2 一批由同種原料織成的同一種布，用5種不同染整工藝處理，然后進(jìn)行縮水率試驗(yàn)，考察染整工藝對縮水率的影響，在其它條件盡可能相同時(shí)，測得縮水率（%）如下表。 水平 重復(fù)A1 A2A3A4A514.3(x11) 6.1(x12)6.5(x13)9.3(x14) 9.5(x15) 27.8(x21) 67.3(x22)8.3(x23)8.7(x24)8.8(x25)33.3(x31) 4.2(x32)8.6(x33)7.2(x34)11.4(x35)46.5(x41) 4.1(x42)8.2(x42)10.1(x44)

5、7.8(x45)由于xijN(j , 2) ，所以假定xij具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：其中ijN(0 , 2)且相互獨(dú)立。要檢驗(yàn)的假設(shè)是： 一般地，設(shè)單因素試驗(yàn)中，因素A有k個(gè)水平 (總體)，記為A1，A2，Ak，相應(yīng)的響應(yīng)值（試驗(yàn)結(jié)果）X1，X2，Xk 是 k個(gè)相互獨(dú)立的總體，且XjN(j, 2)（ j =1, 2, , k）。 今對第j個(gè)總體進(jìn)行nj次重復(fù)觀測，得到nj個(gè)觀測數(shù)據(jù)xij（i=1, 2, , nj ），這可以看成是取自Xj的一個(gè)容量為nj的樣本。 這里，并不要求n1, n2, ,nk完全相同。 觀測數(shù)據(jù)及計(jì)算列表如下。單因素方差分析數(shù)據(jù)及計(jì)算表 由于xijN(j , 2) ，所以假

6、定xij具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：其中ijN(0 , 2)且相互獨(dú)立。要檢驗(yàn)的假設(shè)是：為了方便起見，把參數(shù)的形式改變，并記 稱為一般平均，j 為因素A的第j個(gè)水平Aj 的效應(yīng)，容易看出，k個(gè)效應(yīng)滿足關(guān)系式：單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫成：xij = + j + ij, j=1,2,k; i=1,2,nj ;所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成：H0: 1= 2= k=0 引起諸xij波動的原因有兩個(gè)：一個(gè)是假設(shè)H0為真時(shí)，xij的波動純粹是隨機(jī)性引起的；另一個(gè)可能是假設(shè)不真而引起的。因而我們設(shè)想用一個(gè)量來刻劃諸xij之間總的波動，并把引起波動的上述兩個(gè)原因從中分離出來，用另外兩個(gè)量來表示，通過比較這兩個(gè)

7、量來檢驗(yàn)H0的真實(shí)性。記總離差平方和:它反映了觀測數(shù)據(jù)總的變異程度組間平方和:反映因子A的不同水平效應(yīng)間的差異組內(nèi)(誤差)平方和:反映了隨機(jī)誤差ij 對響應(yīng)值影響的總和可以證明St =SA +Se 平方和分解公式 E(Se)=(n-k)若0成立，則當(dāng)H0為真時(shí)，是2的兩個(gè)無偏估計(jì)，故比值不應(yīng)太大。當(dāng)F值過大時(shí)，可以認(rèn)為假設(shè)H0不真。 可以證明，當(dāng)假設(shè)H0為真時(shí)，有于是 對于 顯著性水平，查出臨界值F( k-1, n-k). 若 FF(k-1, n-k),則在水平下拒絕H0 ，即認(rèn)為有些水平對響應(yīng)值的影響有顯著差異。單因素方差分析表 記St, SA, Se的自由度為ft, fA, fe, 可以證

8、明如下自由度分解公式： ft = fA + fe 設(shè)在某試驗(yàn)中，有二個(gè)因素A、B在變動。 因素A取m個(gè)不同水平 A1，A2，Am， 因素B取r個(gè)不同水平 B1，B2，Br， 在(Ai, Bj)水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果獨(dú)立地服從N(ij,2)分布。 在每個(gè)組合水平(Ai, Bj) 下均做1次試驗(yàn)，得到觀測數(shù)據(jù)xij見下表。9.2 雙因素方差分析 基于這種試驗(yàn)進(jìn)行的方差分析稱為雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析。雙因素方差分析觀測數(shù)據(jù)表 B AB1B2BjBrA1x11x12x1jx1rA2x21x22x2jx2rAixi1xi2xijxirAmxm1xm2xmjxmr 例1 將土質(zhì)基本相同的一塊耕地分成均等

9、的五個(gè)地塊，每塊又分成均等的四個(gè)小區(qū)。有四個(gè)品種的小麥，在每一地塊內(nèi)隨機(jī)分種在四個(gè)區(qū)上，每小區(qū)的播種量相同，測得收獲量如下表（單位：公斤），試以顯著性水平1=0.05, 2=0.01考察品種和地塊對收獲量的影響是否顯著。這是一個(gè)雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析問題。 在雙因素?zé)o重復(fù)方差分析中，假定 ij =+i+j ，我們稱該方差分析模型為無交互作用的方差分析模型。此時(shí)，我們只需對（Ai , Bj）的每個(gè)組合各做一次試驗(yàn)，記其結(jié)果為xij，則 xij=+i+j+ij。因此，無交互作用的方差分析模型為假設(shè)有兩個(gè)：H01: 1=2=m=0H02: 1 =2 =r =0 若檢驗(yàn)結(jié)果拒絕H01 (H02)，

10、則認(rèn)為因子A (B) 的不同水平對結(jié)果有顯著影響，若二者均不拒絕，那就說明因子A與B的不同水平組合對結(jié)果無顯著影響。記那么，不難看出：總偏差平方和反映了數(shù)據(jù) xij 總的波動大小。因素A的偏差平方和反映因素A的水平間的差異引起的波動。因子B的偏差平方和反映了因素B的水平間的差異引起的波動。誤差平方和反映了隨機(jī)誤差引起的波動?？梢宰C明如下平方和分解公式和自由度分解公式：其中 ft , fA , fB , fe 分別為 St , SA , SB , Se 的自由度?？梢宰C明，在H01，H02為真時(shí)，有對給定的顯著性水平，當(dāng) FAF(m-1, (m-1)(r-1)時(shí)拒絕H01, FBF(r-1, (

11、m-1)(r-1)時(shí)拒絕H02 . 例1 將土質(zhì)基本相同的一塊耕地分成均等的五個(gè)地塊，每塊又分成均等的四個(gè)小區(qū)。有四個(gè)品種的小麥，在每一地塊內(nèi)隨機(jī)分種在四個(gè)區(qū)上，每小區(qū)的播種量相同，測得收獲量如下表（單位：公斤），試以顯著性水平1=0.05, 2=0.01考察品種和地塊對收獲量的影響是否顯著。 查表得臨界值F0.01(3，12)=5.95 ， F0.05(4，12)=3.26。由于FBF0.05(4，12)，故認(rèn)為地塊不同對收獲量無顯著影響。由于FAF0.01(3，12)，故認(rèn)為品種不同對收獲量影響極顯著。9.3 多重比較請 大 家自 學(xué)。9.4 雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 若ij + i +

12、 j ，則稱ij = ij - - i - j為因子A的第i個(gè)水平與因子B的第j個(gè)水平的交互效應(yīng)，它們滿足關(guān)系式： 為了研究交互效應(yīng)是否對結(jié)果有顯著影響，那么在（Ai,Bj）水平組合下至少要做t（2）次試驗(yàn)，記其結(jié)果為xijk，則要檢驗(yàn)假設(shè):H01: 1= 2=m=0H02: 1= 2= r=0H03: 對一切i, j 有 ij=0 將總的離差平方和分解： Se反映了誤差的波動；SA，SB，SAB除反映誤差的波動外還分別反映了因子A的效應(yīng)的差異，因子B的效應(yīng)的差異，交互效應(yīng)的差異所引起的波動。我們分別稱它們?yōu)檎`并的偏差平方和，因子A的偏差平方和，因子B的偏差的平方和以及交互作用AB的偏差平方和。對給定的顯著性水平， 例1 在某化工生產(chǎn)中為了提高收率，選了三種不同濃度，