-不等式的解法-典型例題2

1、不等式的解法典型例題【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30(或f(x)0扌EA程x(2x+5)(x-3)=0的三個根X二0,X)=-|,冷二3順次標上順軸.然后從右上開始畫曲線順次經過三個根，其解集如圖(51)的陰影部分.二原不等式解集為任卜;x00（乂+4）（12）0k2原不等式解集為x|x-5或-5x2【說明】用“區(qū)間法”解不等式時應注意：各一次項中x的系數必為正；對于偶次或奇次重根可參照(2)的解法轉化為不含重根的不等式，也可直接用“區(qū)間法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如圖(52).團5-15-2【例2】解下列不等式:x2-4x+l3xa

2、-7x+21【分析】當分式穂如需g時,要注意它的等價變形*g(x)0g(x)f(x)*g(x)0(x+2)(x-2)h0用“區(qū)間法”原不等式解集為（-%,-2）U-1,2）U6,解法一；原不等式等價于CE2“-3x+l02宀2x2-3x+l0n3Ka-J囂+1）（“廠在+2）03x7x+20用“區(qū)間法”二原不等式解集為0耳】)U(負1)U(2,+8)【例3】解下列不等式：(1Xx-2)./2x+303(2/H0或尸段。bx+30蠱2或比=壬.:原不等式解集為x|x2s!(x=-|.原不等式等價于fx-10彳30Or?0盤5x-15.原不等式等價于2x+50 x+l0r+10或2x+5(s+l)

3、aoKx0)解得OWtv3即極宵3再解得-7x0,設兩圖舉交點為M.令+5=x+1,解得細=2x2=2*M點橫坐標為2.由圖可知：J2z5x+1解集為卜扌，2).【說明】有些題目若用數形結合的方法將更簡便.【例4】解下列不等式：1(l)4x-5*2X+i+80s(2Xog1(x+l)+log1(6-x)log112,【分析】中護可看作巴產扌可看作-2可整理成logf(K)Rogg(g)型.22解：(1)原不等式等價于(2叩豳21+80令2x=t(t0)，則原不等式可化為F-5j5t+80oK運或t4血1515即有2X0彳6-X0O-1xC2或3C6(x+1,)(6-x)12L原不等式解集為(-

4、1,2U3,6).【說明】解對數不等式需注意各真數必為正數在利用對數性質log.M+1略N=呃臨或bgM呃N=1孤善叭需注意變換的等價性，否則會出現增解或漏解.【例5】解不等式|x2-4|vx+2.【分析】解此題關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號主要利用性質:|x|a-a|x|a-a.-2x3蠱1或hi-2解：原不等式等價于-(x+2)vx2-4vx+2.-4_(x+2)故原不等式解集為(1,3).【說明】|f(Q|g(X)O-g(X)f(X)g(X)O險)仗)或璟)2(2)|7+3-3|-2*01)(4-log3(2I-l)-2令log2(2x-1)=t，則上述不等式變?yōu)閠(-1-t)-2即

5、t2+t-2v0.解之，得-2vtv1,從而-2vlog2(2x-1)v1.于是2225t-12,即kga|x0+3-x0oI7k+33-x7x+30“3-x+3(3-x)2z0或“303-xZZ2Z.【例7】解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)v1.【分析】題目中未知數出現在底數部分，就必須對底數大于零還是位于零與1之間進行討論.解：原不等式等價于f3x2+2x-l0p/+2x-l0J2x3-11或Jo2x311+2x-l2k3-1(x+l)(3x-l)0 x2+2k0#/lx2+2x05o2蠶或斗蠶0且a1.【分析】題目通過變形可看作是關于ax的二次不等式.對于底數a分a1或0va

6、v1兩種情況討論.解：原不等式等價于(ax)2-(a2+a-2)ax+1v0O-a3)1時，a2a-2，于是(*)式得a-2vaxva2，即-2vxv2.當Ovav1時，a-2a2，于是(*)式得a2vaxva-2，即-2vxv2.綜上所述，原不等式解集為(-2，2).【說明】本題在化成關于ax的二次不等式后，解題關鍵是利用a2-a-2=1進行因式分解.【例9】設a0；a1解關于x的不等式xlogaxva3x2.【分析】這是指數與對數的混合型不等式，可采用“取對數法”.在兩邊取對數的時候用到對數函數的單調性，因此必須對a進行討論后再取對數.解：當a1時，原不等式兩邊取對數，得log.x*log1xlogja3x3)oQogQ33+21og4xO(log吾)-21oglx-30O-lClogtx3O1.3.當Ovav1時，原不等式等價于flofiiX)2-21og0logaz3Ox-50 x1吋，原不等式解集是(J)；gOatX解：原不等