2022年初中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及中考真題講解

1、名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、勾股定理：直角三角形兩直角邊 a 、 b 的平方和等于斜邊 c 的平方。a 2b 2c 22、如下圖，在 Rt ABC中， C為直角，則 A的銳角三角函數(shù)為 ( A可換成 B)：定 義 表達(dá)式 取值范圍 關(guān) 系正sin A A 的對(duì)邊sin A a 0 sin A 1 sin A cos B弦 斜邊 c ( A為銳角 ) cos A sin B余cos A A 的鄰邊cos A b 0 cos A 1 sin 2A cos 2A 1弦 斜邊 c ( A為銳角 ) 正切 tan AA A 的對(duì)邊的鄰邊 tan A ab ( A為銳角 ) tan A

2、0cot tan AA cottan BBtan A 1 ( 倒數(shù) )余切 cot A AA 的鄰邊的對(duì)邊 cot A ba ( A為銳角 ) cot A 0tan A cotcot AA 13、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinAcosB由AB90sinAcos( 90A)A 斜邊caB 對(duì) 邊cosAsinB得B90AcosAsin(90A)bC 鄰邊4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。 6 7tanAcotB由AB90tanAcot(90A )cotAtanB得B90AcotAtan(90A )5

3、、0 、 30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函數(shù)值( 重要 )三角函數(shù)030456090sin01231 222cos13210222tan0 31 3-3cot-31 303、正弦、余弦的增減性：當(dāng) 0 90 時(shí)， sin隨的增大而增大， cos隨的增大而減小。、正切、余切的增減性：當(dāng) 0 90 時(shí)， tan隨的增大而增大， cot隨的增大而減小。8、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）所有未知的邊和角。依據(jù)： 邊的關(guān)系：a2b2c名師整理精華知識(shí)點(diǎn)2；角的關(guān)系： A+B=90 ；邊角關(guān)系： 三角函數(shù)的定義。(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法) 9、應(yīng)用舉例：(

4、1)仰角 ：視線在水平線上方的角；鉛垂線視線俯角 ：視線在水平線下方的角。仰角水平線hih:lih。坡度一般俯角視線l(2)坡面的鉛直高度h 和水平寬度 l 的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即l寫成 1: m的形式，如i1:5等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做 坡角 )，那么ihtan。l3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，OD 的方向角分別是：45 、 135 、 225 。叫做方位角。 如圖 3，OA 、OB、OC、4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向 線所成的小于 90 的水平角，叫做方向角。如圖 4,OA、OB、OC、OD 的方向角分別是：北偏東 30 （東北方向

5、），南偏東 45 （東南方向） ，南偏西 60 （西南方向） ，北偏西 60 （西北方向） 。要點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的基本概念名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)一、選擇題1.（2009 漳州中考）三角形在方格紙中的位置如圖所示，則tan的值是（）A3 5 B4 3 C3 4D4 5【解析】 選 C. tan角的對(duì)邊3. 角的鄰邊42. （2008 威海中考）在ABC中， C90 ， tan A1，則 sin B（）3A10 B2 C3 D3 1010 3 4 10【解析】 選 D. tan A BC 1, 設(shè) BC=k,則 AC=3k,由勾股定理得AB 3AB AC 2BC 2( 3 k ) 2k 210 k

6、 , sin B AC 3 10AB 103.（2009 齊齊哈爾中考） 如圖，O 是ABC 的外接圓， AD 是O 的直徑， 若O的半徑為3，AC 2，則 sin B 的值是（）2A2 B3 C3 D43 2 4 3【解析】 選 A.連接 CD,由O的半徑為3 2 .得 AD=3. sin B =sinDAC2 3.AD4.（2009 湖州中考）如圖，在 RtABC中，ACBRt，BC1，AB2，則下列結(jié)論正確的是（）名師整理精華知識(shí)點(diǎn)32D tanB3AsinA3BtanA1 C cosB222AB，所以 AC3 ；所以【解析】 選 D 在直角三角形 ABC中，BC1，sinA1，cosA

7、3，tanA3；sinB3，cosB1， tanB3；2，223225.（2008 溫州中考）如圖，在 RtABC中， CD 是斜邊 AB 上的中線，已知CDAC3，則 sin B 的值是（） C3 4 D4 3A2 3 B3 2【解析】 選 C.由 CD 是 RtABC斜邊 AB 上的中線，得 AB=2CD=4.sin BAC3ABC中，ACB90，CDAB 于 D ，若AC2 3，AB46.（2007 泰安中考）如圖，在AB3 2，則 tanBCD 的值為（）名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)A D （A）2（B）2B （C）C （D）36233答案： B 二、填空題7. （2009 梧州中考）在ABC

8、中， C90 ， BC6 cm，sin A3，則 AB5的長(zhǎng)是 cm63,解得 AB=10cm【解析】sinABCABAB5答案： 10 8. （2009 孝感中考）如圖，角的頂點(diǎn)為 O，它的一邊在 x 軸的正半軸上，另一邊OA上有一點(diǎn) P（3，4），則sinsin4；【解析】 因?yàn)?P（3，4），所以 OP5，所以5答案：4 5；ABCD的邊長(zhǎng)為 10cm，DEAB，sinA3，則這個(gè)9. （2009 慶陽(yáng)中考）如圖，菱形5菱形的面積 = cm 2【解析】sinADEDE名師整理精華知識(shí)點(diǎn)ABDE10660cm 2. 3.解得 DE=6cm.S LINGAD105答案： 60 三、解答題 1

9、0.(2009 河北中考 ) 如圖是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為 O，直徑 AB 是 河底線，弦 CD是水位線， CD AB，且 CD = 24 m ，OECD于點(diǎn) E已測(cè)得 sinDOE = 12 13C E DA B O（1）求半徑 OD；（2）根據(jù)需要，水面要以每小時(shí) 則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能將水排干？0.5 m 的速度下降，【解析】（1） OECD于點(diǎn) E，CD=24（m），ED =1 2CD =12（m）=12 13，在 Rt DOE中， sin DOE =ED ODOD =13（m）（2）OE=OD2ED= 132122=（m）將水排干需： 5 0.5=10（小時(shí)）11.（2009

10、綦江中考）如圖，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 邊上的點(diǎn)， AEBC ，DFAE ，垂足為 F ，連接 DE （1）求證：ABEDFA；（2）如果AD10，名師整理精華知識(shí)點(diǎn)AB =6 ，求 sinEDF 的值【解析】（1）在矩形 ABCD 中，BCAD，ADBC，B904 ，AB =15，求 ABC 5DAFAEBDFAE，AEBCAFD90 =BAEADABEDFA（2）由（ 1）知ABEDFAABDF6在直角ADF中，AFAD2DF22 10628EFAEAFADAF2在直角DFE中，DEDF2EF22 62 22 10sinEDFEF210DE2 101012.（2008 寧夏中考

11、）如圖，在 ABC 中， C =90 ，sin A=的周長(zhǎng)和 tan A 的值名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)【解析】 在 RtABC 中, C =90 , AB =15 sinA=BC = AB4 , 5BC12.9AC2 ABBC22 152 12周長(zhǎng)為 36,tanABC124AC9313. （2008 肇慶中考）在 Rt ABC中， C = 90 ， a =3 ，c =5，求 sin A 和 tan A的值 . 【解析】 在 Rt ABC中， c=5，a=3bc2a2522 34BcosDAC ，sinAa3c5ABC中，AD是 BC上的高， tantanAa3b414.（2007 蕪湖中考）如圖

12、，在名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)(1) 求證： AC=BD；(2) 若sinC12，BC=12，求 AD的長(zhǎng)13【解析】 (1) AD是 BC上的高， ADBC ADB=90 ， ADC=90 在 Rt ABD和 Rt ADC中， tanB =AD， cos DAC =ADBD AC又已知 tan B cos DACAD =ADAC=BDBD AC(2) 在 Rt ADC中，sin C 12，故可設(shè) AD=12k，AC=13k132 2DC AC AD 5kAD ADBD 13ktan B cos DACBC 13k 5k 12k 2 ,AD 8.3要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值一、選擇題1. （2009

13、 欽州中考） sin30 的值為（）D3A3B2C1 2223答案： C 2. （2009 長(zhǎng)春中考）菱形 OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AOC45，OC2名師整理精華知識(shí)點(diǎn)11)D (1，21)，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（）A (21) B (1，2) C (2答案： C 3.(2009 定西中考 ) 某人想沿著梯子爬上高4 米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60 ，否則就有危險(xiǎn)，那么梯子的長(zhǎng)至少為（）米A8 米B 8 3 米 C8 3 3米 D4 3 3答案： C 4. （2008 宿遷中考）已知為銳角，且sin(10)3，則等于（）2 50 60 80 70答案：

14、（5.（2008 畢節(jié)中考） A（cos60 ，tan30 ）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)A1的坐標(biāo)是）A1，33 B3，33 C1，3D1，3222232答案： A 6. （2007 襄樊中考）計(jì)算：2 cos 45tan60cos30 等于（）（A）1（B）23（C） 2（D）答案： C 二、填空題名師整理精華知識(shí)點(diǎn)2008) =_7. （2009 荊門中考）4cos30 sin 60( 2)1(2009【解析】4cos30 sin60( 2)1( 20092008)0433(1)12223(1)1232答案：328. （2009 百色中考）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，測(cè)得電線桿底部 B與鋼纜固定點(diǎn)

15、C的距離為 4 米，鋼纜與地面的夾角為 60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點(diǎn) A到地面的距離 AB是答案： 4 3米（結(jié)果保留根號(hào)）9. （2008 江西中考）計(jì)算：（1）sin 60 cos301 21.【解析】sin 60 cos301331312。222424答案：1 4tan45的值是10. （2007 濟(jì)寧中考）計(jì)算sin 60 cos30答案： 0 三、解答題11. （2009 黃石中考）計(jì)算： 31+(2 1) 03 tan30 tan45 3【解析】 31+(2 1) 03 tan30 tan45 31 1 1 13 30012. （2009 崇左中考）計(jì)算：2sin 603t

16、an 301( 1) 20093名師整理精華知識(shí)點(diǎn)382 =2.5 【解析】 原式 =23331 1=02313. （2008 義烏中考）計(jì)算：3sin 602 cos45【解析】3sin 602cos4538332222要點(diǎn)三、解直角三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用一、選擇題1. （2009 白銀中考）某人想沿著梯子爬上高4 米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60 ，否則就有危險(xiǎn)，那么梯子的長(zhǎng)至少為（米）A8 米 B 8 3 米 C8 3 3米 D4 3 3【解析】 選 C. 梯子的長(zhǎng)至少為sin40833（米） . 602.（2009 衢州中考）為測(cè)量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明

17、測(cè)得圖中所示的數(shù)據(jù) ( 單位：米 ) ，則該坡道傾斜角 的正切值是（）A1 4 B名師整理精華知識(shí)點(diǎn)44 C1 17 D17答案： A 3. （2009 益陽(yáng)中考）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為 5 米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A. 5cos B. 5 C. 5 sin D. 5cossin5B A 答案： B 4. （2009 蘭州中考）如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為 4m如果在坡度為 0.75 的山坡上種樹，也要求株距為 4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A5m B6m C7m D8m 【解析】 選 A 由坡度為

18、 0.75 知，相鄰兩樹間的水平距離為 4m，相鄰兩樹間的垂直距離為 h，則h0.75，則 h3m，所以坡面距離為5m；45.(2009 濰坊中考 ) 如圖，小明要測(cè)量河內(nèi)小島B 到河邊公路 l 的距離，在 A點(diǎn)測(cè)得BAD30 ，在 C點(diǎn)測(cè)得BCD60 ，又測(cè)得AC50米，則小島 B到公路 l 的距離為（）米名師整理精華知識(shí)點(diǎn)25 3A25 B 25 3 C100 33 D 25【解析】選 B 過(guò)點(diǎn) B作 BEAD 于點(diǎn) E，在直角三角形 BAE中，tan300BE AE,則AEBE0,在直角三角形 BCE中，tan600BE,則CEBE0。tan30CEtan60所以 AE-CE=AC=50

19、,即BE0BE050,解得 BE 25 3 ；tan 30tan 60二、填空題6. （2009 沈陽(yáng)中考）如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB6m的過(guò)街天橋，已知天橋的坡面 AC與地面 BC的夾角 ACB的正弦值為 3 5，則坡面 AC的長(zhǎng)度為 m【解析】 因?yàn)?sin ACB =AB63, 所以 AC=10 ACAC5答案： 10. 7. （2009 衡陽(yáng)中考）某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了 10 米，此時(shí)他與水平地面的垂直距離為 2 5 米，則這個(gè)坡面的坡度為 _. 答案： 1:2 8. （2009 南寧中考）如圖，一艘海輪位于燈塔P 的東北方向，距離燈塔402 海里的 A 處，它沿正南方向航

20、行一段時(shí)間后， 到達(dá)位于燈塔 P 的南偏東 30方向上的 B 處，則海輪行駛的路程AB 為 _海里（結(jié)果保留根號(hào)） 【解析】 ACPC名師整理精華知識(shí)點(diǎn)40, APsin45040222BCPC040403tan3033AB BC AC 40 3 40答案：40 3 409 (2009 安徽中考 ) 長(zhǎng)為 4m的梯子搭在墻上與地面成 45 角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為 60角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m【解析】 當(dāng)梯子與地面夾角為 45 時(shí)，梯子頂端高為 04sin 45 02 2( m ；當(dāng)梯子與地面夾角為 60 時(shí)，梯子頂端高為 04sin 60 02 3( m ，所以梯子頂端升高了 2

21、( 3 2) m ;答案： 2( 3 2) ；10.(2008 慶陽(yáng)中考 ) 如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離 AC =3米，cosBAC3，則梯子長(zhǎng) AB = 米. 4名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)答案： 4 11. （2007 湖州中考）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以 15 的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走安全。他自覺地將拖把挪動(dòng)位置，使其的傾斜角為 75 ，如果拖把的總長(zhǎng)為1.80m，則小明拓寬了行路通道 _m（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15 26，cos15 0.97 ）答案： 1.28 三、解答題12. （2009 慶陽(yáng)中考）如圖（ 1），一扇窗戶打開后

22、用窗鉤 AB可將其固定如（ 2）是如圖（ 1）中窗子開到一定位置時(shí)的平面圖，若AOB=45 ， OAB=30 ，名師整理3精華知識(shí)點(diǎn)OA=60cm，求點(diǎn) B 到 OA邊的距離（1.7，結(jié)果精確到整數(shù)）【解析】 如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 BCOA于點(diǎn) C AOB=45 ， CBO=45 ， BC=OC設(shè) BC=OC=x， OAB=30 ， AC=BC tan60 = 3xOC+CA=OA，x+ 3x=60，x= 6022（cm）1 3即點(diǎn) B 到 OA 邊的距離是 22 cm13. （2009 郴州中考）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組來(lái)到校園內(nèi)的一盞路燈下測(cè)量路燈的高度，測(cè)角儀 AB的高度為 1.5 米，測(cè)得仰角為 30，點(diǎn) B 到電燈桿底端 N的距離BN為 10 米，求路燈的高度MN是多少米？（取2 =1.414，3 =1.732 ，結(jié)果保留名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)兩位小數(shù)）【解析】 在直角三角形 MPA 中，30 ，AP =10米MP=10tan300 =10 3 5.773 米 3因?yàn)锳B =1.5米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米答：路燈的高度為 7.27 米14.（2009 眉山中考）海船以 5 海里 / 小時(shí)的速度向正東方向行駛，在 A處看見燈塔B在海船的北偏東 60 方向，2 小時(shí)后船行駛到 C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔 B在海