我的建模講義數(shù)模

1、最優(yōu)控制建模現(xiàn)實生活中很多現(xiàn)象可以表達為求泛函的極大與極小值問題，我們稱之為泛函極值問題。其求解方法通常有三種：古典變分法，動態(tài)規(guī)劃方法，最大值原理它們都屬于最優(yōu)控制的范疇。關于最優(yōu)控制的近似計算方法用得較多的有：無約束最優(yōu)控制問題的梯度方法（或者最速下降方法），Newton 方法,以及有約束最優(yōu)控制問題的罰函數(shù)方法.讀者可參考有關文獻.另外，需要來的是最優(yōu)控制的近似計算方法遠較有限維非線性規(guī)劃問題的計算方法復雜。迄今為止，最優(yōu)控制的計算方法的研究，在深度和廣度方面都遠不如非線性規(guī)劃的最優(yōu)化計算方法的研究，一些最優(yōu)控制的計算方法，如最優(yōu)控制的罰函數(shù)方法，其收斂速度等問題都還未解決. 我在這要介

2、紹的是古典變分法方法（備介紹近代變分方法）.變分法簡介作為數(shù)學的一個分支，變分法的誕生，是現(xiàn)實世界許多現(xiàn)象不斷探索的結果，人們可以追尋到這樣一個軌跡：（Johann Bernoulli，16671748）1696 年向全歐洲數(shù)學家，提出一個難題：“設在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？”這就是著名的“最速降線”問題（The Brachistochrone Problem）。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大，塔（ Guillaume

3、 Francois Antonie de lHospital1661-1704）、雅可比（Jacob Bernoulli 1654-1705）、萊布尼茨（ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716 ）和（ IsaacNewton16421727）都得到了解答。的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更一般化。后來（Euler Lonhard，17071783）和日(Lagrange, Joseph Louis，1736- 1813)發(fā)明了這一類問題的普遍解法，從而確立了數(shù)學的新分支-變分學。有趣的是，在 1690 年的哥哥雅可比曾提出著名的懸鏈線問題(Th

4、e Hanging Chain Problem) 向數(shù)學界征求答案，即，固定項鏈的兩端，在重力場中讓它自然垂下，問項鏈的曲線方程是什么。在大自然中，除了懸垂的項鏈外，還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網(wǎng)，以及兩根電線桿之間所架設的電線，這些都是懸鏈線（catenary）。（Galileo, 15641643）比更早注意到懸鏈線，他猜測懸鏈線是拋物線， 從外表看的確象，但實際上不是。（Huygens, 16291695）在1646 年（當時17 歲），經(jīng)由物理的論證，得知的猜測不對，但那時，他也求不出。到 1691 年，也就是雅可比提出懸鏈線問題的第二年，、（以62 歲）與各自得到了

5、正確，所用方法是誕生的微積分，具體說是把問題轉化為求解一個二階常微分方程d 2 ydydx a 1 (y(0) y0)2 dx 2y(0) 0解此方程并適當選取參數(shù)，得12a(e ax e ax )y （1）即為懸鏈線。懸鏈線問題本身和變分法并沒有關系，然而這和最速降線問題一樣都是兄弟間的相互爭強好勝、不斷爭吵的，雖然雅可比在解決懸鏈線問題占下風，但他隨后所證明的“懸掛于兩個固定點之間的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢能”，算是扳回了一局，倆兄弟扯平了！之所以提到懸鏈線問題，有兩方面考慮，其一，這是有關數(shù)學史上著名的內(nèi)的一個趣聞，而這是一個在變分法乃至整個數(shù)學物理

6、領域有著巨大貢獻的，其二，有關懸鏈線的得幾個結論，可以用變分法來證明！1.1 變分法的基本概念1.1.1泛函的概念設 S 為一函數(shù)集合，若對于每一個函數(shù) x(t) S 有一個實數(shù)J 與之對應，則稱J 是定義在S 上的泛函，記作J (x(t) 。S 稱為J 的容許函數(shù)集。例如，在 x0 , x1 上光滑曲線 y(x)的長度可定義為x1 y 2 dxJ 1（2）x0考慮幾個具體曲線，取x0 0, x1 1，若 y(x) x ，則1J ( y( x) J ( x) 1 1dx 20若 y(x)為懸鏈線，則e e1e) 0 1 dx 0dx J (2422對應C1 x , x 中不同的函數(shù)y(x)，有

7、不同曲線長度值 J，即J 依賴01于 y(x)，是定義在函數(shù)集合C1 x , x 上的一個泛函，此時01成J J ( y( x)稱如下形式的泛函為最簡泛函可以寫tJ ( x(t ) F (t, x(t ), x(t )dtf（3）t0被積函數(shù)F 包含自變量t ，未知函數(shù) x (t)及導數(shù) x (t)。上述曲線長度泛函即為一最簡泛函。1.1.2泛函極值問題考慮上述曲線長度泛函，可以提出下面問題：在所有連接定點 A( x0 , y0 )和B( x1 , y1 ) 的平面曲線中，試求長度最小的曲線。即，求 y(x) y(x) y(x) C1 x , x , y( x ) y , y(x ) y ，使

8、010011xJ ( y( x) 1 y 2 dx1x0取最小值。此即為泛函極值問題的一個例子。以極小值為例，一般的泛函極值問題可表述為，稱泛函 J (x(t) 在x0 (t) S 取得極小值，如果對于任意一個與 x0 (t )接近的 x(t) S ，都有 J ( x(t) J ( x0 (t) 。所謂接近，可以用距離d ( x(t ), x0 (t ) 來度量，而距離可以定義為d ( x(t ), x0 (t ) max | x(t) x0 (t ) |, | x(t ) x 0 (t ) |t0 t t f泛函的極大值可以類似地定義。其中x0 (t ) 稱為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。1.1

9、.3泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數(shù)x(t) 在 x0 (t )的增量記為 x(t ) x(t) x0 (t)也稱函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作J J (x0 (t ) x(t) J (x0 (t )如果J 可以表為J L( x0 (t),x(t ) r( x0 (t ),x(t)其中L 為x 的線性項，而 r 是x 的高階項，則稱L 為泛函在x0 (t ) 的變分，記作J ( x0 (t ) 。用變動的x(t) 代替x0 (t ) ，就有J (x(t) 。泛函變分的一個重要形式是它可以表為對參數(shù) 的導數(shù)：J ( x(t

10、) J (x(t) x(t)（4） 0這是因為當變分存在時，增量J J ( x(t) x) J ( x(t) L(x(t),x) r( x(t ),x)根據(jù)L 和 r 的性質有L( x(t ),x) L( x(t ),x)r( x(t),x)r( x(t),x) x 0 limlimx 0 0所以J ( x x) J (x)J ( x x) lim 0 0L( x,x) r( x,x) L(x,x) J ( x) lim 01.2 泛函極值的相關結論1.2.1泛函極值的變分表示利用變分的表達式（4），可以得到有關泛函極值的重要結論。泛函極值的變分表示：若 J (x(t) 在x0 (t ) 達到

11、極值（極大或極?。?，（5）則J ( x0 (t ) 0證明：對任意給定的x ， J (x0 x) 是變量 的函數(shù)，該函數(shù)在 0處達到極值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知J ( x x) 0 00再由（4）式，便到（5）式。變分法的基本引理：若 (x) C x , x ，對于 ( x) C1 x , x ，1212x( x ) ( x ) 0，有 2 ( x)( x)dx 0 ，則 (x, x 。12121證明略。1.2.2泛函極值的必要條件考慮最簡泛函（3），其中 F 具有二階連續(xù)偏導數(shù)，容許函數(shù)類S取為滿足端點條件為固定端點（6）的二階可微函數(shù)。x(t0 ) x0 ， x(t f ) x f（6）

12、泛函極值的必要條件：設泛函（3）在 x(t)S 取得極值，則x(t)滿足方程d（7）F 0Fxxdt方程推導：首先計算（3）式的變分：J J ( x(t) x(t) 0t fF(t, x(t) x(t ), x(t ) x(t)dt 0t0tf F (t,F (t ,dtxxt0對上式右端第二項做分布積分，并利用x(t0 ) x(t f ) 0 ，有ddtt f Ft ftdt dt ，(t,F (t,xxt00所以dtJ f F F xdtxxdtt0利用泛函極值的變分表示，得dt fF F xdt 0 xxdtt0因為x 的任意性，及x(t0 ) x(t f ) 0 ，由基本引理，即得（7

13、）。（7）式也可寫成x Fxx x 0（8）通常這是關于 x(t)的二階微分方程，通解中的任意常數(shù)由端點條件（6）確定。1.2.3幾種特殊形式最簡泛函的方程(i) F 不依賴于x ，即F F (t, x)這時 Fx 0，方程為 Fx (t, x) 0，這個方程以隱函數(shù)形式給出x(t) ，但它一般不滿足邊界條件，因此，變分問題無解。(ii) F 不依賴x ，即F F (t, x)方程為ddtF (t, x) 0 x將上式積分一次，便得首次積分 Fx (t, x) c1 ，由此可求出 x (t ,c1 ) ，積分后得到可能的極值曲線族x t, c1 dt(iii) F 只依賴于x ，即F F (x

14、)這時 0 ，方程為x 0 x由此可設 x 0 或 F 0 ，如果 x 0 ，則得到含有兩個參數(shù)的直線族x c1t c2 。另外若 F 0有一個或幾個實根時，則除了上面的直線族外，又得到含有一個參數(shù)c 的直線族x kt c ，它包含于上面含有兩個參數(shù)的直線族 x c1t c2 中，于是，在F F (x) 情況下，極值曲線必然是直線族。（iv） F 只依賴于 x 和x ，即F F ( x, x )這時有Fxt 0 ，故方程為 xFx x 0F此方程具有首次積分為F xFx c1事實上，注意到F 不依賴于t ，于是有ddtdd(F xFxF dt) 0 。1.3 幾個經(jīng)典的例子1.3.1 最速降線

15、問題最速降線問題設 A 和B 是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連結 A和B 的平面曲線中，求一曲線，使質點僅受重力作用，初速度為零時，沿此曲線從 A滑行至 B 的時間最短。解 將 A 點取為坐標原點，B 點取為 B(x1,y1)，如圖 1。根據(jù)能量守恒定律，質點在曲線 y( x) 上任一點處的速度 ds 滿足（ s 為弧長） dtA(0, 0)xyB(x1,y1)圖 1 最速降線問題1 ds 2 mgym2 dt 1 y2將ds 1 y2 ( x) dx 代入上式得 dt dx 于是質點滑行時間應表2gyx1 y2為 y( x) 的泛函 J ( y( x) 2dx2gy0端點條件為

16、y(0) 0, y(x1 ) y1 最速降線滿足方程，1 y2由于不含自變量 ，所以方程（8）可寫作F( y, y ) xyFy Fyy yFy y y 0等價于ddx( F y F ) 0y 作一次積分得y(1 y2 ) c1y ctg , 則方程化為令2 c sin 2 c1 (1 cos )c1y 11 y222又因c sin cos ddx dy y c1 (1 cos )d 2122ctg 2積分之，得x c ( sin ) c22由邊界條件 y(0) 0 ，可知c2 0，故得x c1 ( sin )2cy (1 cos ). 12這是擺線（園滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù) c1 可利用

17、另一邊界條件y(x1） y1 來確定。1.3.2 最小旋轉面問題最小旋轉面問題對于 xy 平面上過定點 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 的每一條光滑曲線 y( x) ，繞x 軸旋轉得一旋轉體。旋轉體的側面積是曲線y( x) 的泛函 J ( y( x) ，易得xJ ( y( x) 2y( x) 1 y2 ( x) dx2x1容許函數(shù)集可表示為S y(x)|y(x) C1 x ,x ,y(x ) y , y(x ) y 1 21122解因F y1 y 不包含 x ，故有首次積分yF y F y 1 y2 y y cy 11 y2化簡得y c1 y21令 y sht ，代入上

18、式， y c1 sh2t c cht11由于 dx dy c shtdt c dt11ysht積分之，得 x c1t c2x c消去t ，就得到 y c ch。21c1這是懸鏈線方程，適當選擇條件（令該懸鏈線過（0，1/a）點，且該到（1）。本例說明，對于平面上過兩 個點處的切線是水平的）就定點的所有光滑曲線，其中繞x 軸旋轉所得旋轉體的側面積最小的是懸鏈線！1.3.3 懸鏈線勢能最小1691 年，雅可比證明：懸掛于兩個固定點之間的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢能 。下面用變分法證明之?？紤]通過 A、B 兩點的各種等長曲線。令曲線yf(x)的長度為 L，重心坐標

19、為( x, y) ，則1 ( dy) 2 dxbbL ds dxaa由重心公式有x 1 ( dy ) 2 dxdxy 1 ( dy ) 2 dxdxbbaa，x y LL由于只需探討曲線重心的高低，所以只對縱坐標的公式進行分析，注意到問題的表述，說明L 是常數(shù)，不難看出重心的縱坐標是y(x)的最簡泛函，記作bJ ( y( x) y( x) 1 ( y) 2 dxa此時對應的方程（8）可化為yy ( y)2 1 0令 p dy 解得dx k (1 p 2 ), k 0 ，進而得y 21y ch k (x c) 。k此即為懸鏈線，它使重心最低，勢能最??！大自然中的許多結構是符合最小勢能的，人們稱之

20、為最小勢能原理。1.4 泛函極值問題的補充1.4.1 泛函極值的幾個簡單推廣（）含多個函數(shù)的泛函使泛函xJ ( y( x), z( x) F( x, y, y , z, z )dx2x1取極值且滿足固定邊界條件y( x1 ) y1, y( x2 ) y2 , z( x1 ) z1, z( x2 ) z2 .的極值曲線 y y( x), z z( x)必滿足方程組FdF 0yy dxdFF 0zz dx（ii）含高階導數(shù)的泛函使泛函xJ ( y( x) F (x, y, y, y )dx2x1取極值且滿足固定邊界條件y( x1 ) y1 , y（x2） y2，y ( x1 ) y1 , y (

21、x2 ) y2的極值曲線 y y( x) 必滿足微分方程dd 2Fy dx Fy dx 2 0Fy （iii） 含多元函數(shù)的泛函設z( x, y) c2 ,( x, y) D ，使泛函J ( z( x, y) F (x, y, z, z x , zy )dxdyD取極值且在區(qū)域 D 的邊界線l 上取已知值的極值函數(shù)z z( x, y) 必滿足方程xF FF 0zz xz yy上式稱為奧式方程。1.4.2 端點變動的情況（橫截條件）設容許曲線x(t) 在t0 固定，在另一端點t t f 時不固定，是沿著給定的曲線x (t) 上變動。于是端點條件表示為x(t0 ) x0 x(t ) (t ) 這里

22、t 是變動的，不妨用參數(shù)形式表示為t t f dt f尋找端點變動情況的泛函極值必要條件，可仿照前面端點固定情況進行推導，即有t f dt f F (t,0 J x)dt 0t0ddttf (F （9）F )xdt F xFdtxxxft t ft t ft0再對（9）式做如下分析：（i）對每一個固定的t f ， x(t) 都滿足方程，即（9）式右端的第一項積分為零；（ii）為（9）式的第二、第三項，建立dt f 與x之間的關t t f系，因為dtx(t)對 求導并令 0得x(t f )dt f x (t f )dtft t f即（10）xtt f (t把（10）代入（9）并利用dt f的任意

23、性，得（11）F ( x) F 0t t xf（11）式就是確定方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱為橫截條件。橫截條件有兩種常見的特殊情況：（i）當x (t) 是垂直橫軸的直線時， t f 固定， x(t f )，并稱端點。此時（9）式中dt f 0及xx(t f ) 為的任意性，便得t t f端點的橫截條件（12） 0Fxt t f（ii）當x (t) 是平行橫軸的直線時， t f， x(t f ) 固定，并稱 0，（ 11）式的橫截條件變?yōu)閤(t f ) 為平動端點。此時（13）F xFx 0t t f注意，橫截條件與方程聯(lián)立才能泛函極值的必要條件。1.4.3 有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制

24、系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問題，其典型形式是對動態(tài)系統(tǒng)（14）x(t) f (t, x(t ),u(t)尋求最優(yōu)性能指標（目標函數(shù)）tJ (u(t ) (t , x(t ) f F (t , x(t), u(t ) dtt（15）ff0其中u(t) 是控制策略， x(t) 是軌線，t0 固定，t f 及x(t f )u(t ) Rm （不受限，充滿Rm 空間）， f , F 連續(xù)可微。， x(t) Rn ，下面推導取得目標函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略u* (t) 和最優(yōu)軌線x* (t) 的必要條件。采用日乘子法，化條件極值為無條件極值，即考慮t, x(t ) f F(t, x, u)

25、T (t)( f (t, x,u) x )dttJ ( x,u, ) (t（16）ff10的無條件極值，首先定義（14）式和（15）式的（Hamilton）函數(shù)為（17）H (t, x, u,) F (t, x, u) T (t ) f (t, x, u)將其代入（16）式，得到泛函tJ ( x,u, ) (t , x(t ) f H (t, x, u, ) T x dt(18)ff1t0下面先對其求變分J (t dt)1ft dtff H (t, x x, u u, ) ( )T ( x x)dtt 00 x(t )T (dt )T (dt )T H (t, x,u, )fx ( t f )

26、ft (dt )T (T x )tf (x)T H (u)T H ()T H ()T x Txdttxu0 (dt f ) F(t, x, u, t)Tt x(t)T )tf (x)T Htf (x)T dtt (u)T H ()T H ()T x dt T (t)xxuftt ft00注意到x t t x(t f ) ，x t t x(tff，因而J 1 (dt f ) H (t, x, u, ) x(t ) ( )TTttf ( x)T (H ) ()T (H x) (u)T H dtxut0再令J 1 0 ，由dt f ,x(t f ),x,u, 的任意性，便得（i） x* ,* 必滿足正則方程： 狀態(tài)方程x H f (t, x