電動(dòng)力學(xué)矢量分析1課件

1、電動(dòng)力學(xué)課程簡介老師、教材1、關(guān)于光的波動(dòng)理論的基礎(chǔ)課程2、從“做事的人好找,能說明白的難找”看基礎(chǔ)理論的意義3、電動(dòng)力學(xué)與高中物理、大學(xué)物理中的電磁場理論的區(qū)別4、課程有難度但不可怕,要及時(shí)解決問題“光電信息科學(xué)與工程”教學(xué)計(jì)劃 通識(shí)教育基礎(chǔ)課程：思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ)(40),中國近現(xiàn)代史綱要(32),思政課社會(huì)實(shí)踐(24),馬克思主義原理(40),毛澤東思想和中國特色社會(huì)主義理論體系概論(56),形勢(shì)與政策(32),中國語文(32),綜合英語(一、二)(562),大學(xué)體育(一四)(324)微積分(一、二)(882),線性代數(shù)(40),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(40),復(fù)變函數(shù)與積分變換(40),

2、數(shù)理方程與特殊函數(shù)(40)大學(xué)物理(一、二)(882),物理實(shí)驗(yàn)(一、二)32+24軍事理論16,人文社科類選修課程160信息學(xué)科大類基礎(chǔ)課程工程制圖40、信息技術(shù)導(dǎo)論32、C語言程序設(shè)計(jì)56、電路理論88、信號(hào)與線性系統(tǒng)56、電路測試實(shí)驗(yàn)32、數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)56、模擬電子技術(shù)56、電子線路設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)(一、二)322、單片機(jī)原理及應(yīng)用56、微機(jī)實(shí)驗(yàn)16學(xué)科專業(yè)基礎(chǔ)課程應(yīng)用光學(xué)48、應(yīng)用光學(xué)實(shí)驗(yàn)16、電動(dòng)力學(xué)48、物理光學(xué)72、物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)24、量子力學(xué)48、光電探測與信號(hào)處理48、光電技術(shù)實(shí)驗(yàn)16、激光原理與技術(shù)64、激光實(shí)驗(yàn)24、光纖光學(xué)40、光纖技術(shù)實(shí)驗(yàn)24專業(yè)核心課程課程組1(光電子器

3、件，專業(yè)方向A或B)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理32、固體物理48課程組2(光電系統(tǒng)，專業(yè)方向C或D)通信原理48、光纖通信技術(shù)48專業(yè)方向課程專業(yè)方向A(激光科學(xué)與工程)限選激光器件與系統(tǒng)40專業(yè)方向B(光電子器件與集成)限選半導(dǎo)體光電子學(xué)40專業(yè)方向C(光通信與光網(wǎng)絡(luò)技術(shù))限選光網(wǎng)絡(luò)技術(shù)40專業(yè)方向D(光電系統(tǒng)與信息處理)限選光電儀器學(xué)40專業(yè)任選課128矢量分析 電動(dòng)力學(xué)附錄一 (數(shù)學(xué)準(zhǔn)備)矢量代數(shù)和矢量場論簡要復(fù)習(xí)矢量代數(shù)突出矢量場論物理應(yīng)用意義總結(jié)一些公式和定理希望懂、用、記(三結(jié)合)目錄1矢量代數(shù)復(fù)習(xí)2標(biāo)量場的方向?qū)?shù) 梯度(讀Nabla del)算符3矢量場的散度 高斯定理 4、矢量場的旋度

4、 斯托克斯定理5關(guān)于散度、旋度和梯度的一些定理 6 算符運(yùn)算公式7. 曲線正交坐標(biāo)系8. 格林定理1.矢量代數(shù)復(fù)習(xí)矢量 的大小以a表之， 稱為單位矢量、分別為與x、y、z軸的夾角兩個(gè)乘法定義 , , 構(gòu)成右手系 注意加減法？三矢量的混合積 ac b注意，三個(gè)矢量按循環(huán)次序輪換，其積不變。順時(shí)針（+），逆時(shí)針（-）。幾何意義-體積三矢量的矢積 物理意義：b、c的線性組合 規(guī)則：把括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)較遠(yuǎn)的矢量所得項(xiàng)為正號(hào)，另一項(xiàng)為負(fù)號(hào)。變矢 并矢矢量A和B并列, 稱為并矢AB,有9個(gè)分量 一般來說 ABBA張量具有9個(gè)分量的物理量, 當(dāng)這9個(gè)分量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下按一定方式變換時(shí)見第六章(4.19)

5、式,由它們組成的物理量就稱為張量并矢是張量的一種特殊情形 應(yīng)力張量考察固體中某點(diǎn)P附近d面元前方的介質(zhì)通過面元對(duì)后方介質(zhì)作用力df由于d與df的方向不同,可以先分別考察法線方向沿x、y、z方向的小面元直角坐標(biāo)系張量的表述直角坐標(biāo)系的單位基矢量為e1,e2,e3 并矢eiej可以作為張量的9個(gè)基,一般張量在這9個(gè)基上的分量就是Tij 單位張量 三個(gè)對(duì)角分量為1,其它分量為0 張量與矢量的點(diǎn)乘張量與矢量的點(diǎn)乘 單位張量和任一矢量的點(diǎn)乘等于該矢量以矩陣乘法表示點(diǎn)乘以矩陣乘法表示并矢并矢AB與矢量C的點(diǎn)乘 并矢與矢量的點(diǎn)乘是一個(gè)矢量 張量與矢量的叉乘2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù) 梯度 標(biāo)量場中值相同的點(diǎn)構(gòu)成的

6、面稱為等值面場中任一點(diǎn)沿不同方向的變化是不同的,需要考察標(biāo)量在場中沿每一方向的變化情況引進(jìn)方向?qū)?shù)概念 稱為標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)P0處沿 方向的方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處沿某個(gè)方向?qū)嚯x的變化率。它的數(shù)值與所取方向有關(guān),但它并不是矢量。當(dāng) 時(shí),說明在這個(gè)特定方向是增加的；當(dāng) 時(shí),沿著這個(gè)方向是減少的。方向?qū)?shù)越大,則等值面沿這個(gè)方向會(huì)表現(xiàn)怎樣的特性？稱為標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)P0處沿 方向的方向?qū)?shù) 梯度定義grad(grad是gradient縮寫) 不同的方向上,方向?qū)?shù)是不同的,但總存在著一個(gè)方向,標(biāo)量場沿著這方向增長得最快定義一個(gè)矢量-梯度:它的方向是增長的最快的方向, 大小是沿著這個(gè)

7、方向的方向?qū)?shù) 表示等值面0在P0點(diǎn)的法線方向當(dāng) 時(shí),（P0、Pn、P組成直角三角形） 梯度 是P0點(diǎn)標(biāo)量增長得最快的方向。按梯度定義, 方向就是梯度的方向,所以梯度的方向和該點(diǎn)的等值面垂直 梯度的大小就是沿法線方向的方向?qū)?shù)S 方向的方向?qū)?shù)梯度的直角坐標(biāo)表示上面三式恰好grad矢量在直角坐標(biāo)中的三個(gè)分量 梯度算子(讀“Nabla”)算符（劈形算子、倒三角算子） 作用在矢量場上有兩種方式作用在標(biāo)量場既具有矢量性質(zhì),又是微分算子,不可隨意交換例1求矢徑大小的梯度 物理意義？例2證明： 例3 求矢徑 的梯度3 矢量場的散度 高斯定理 矢量場的矢線 矢量場可以用它的矢線來形象地描繪矢線是這樣的曲線

8、,它上面每一點(diǎn)的切線方向和對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量的方向相重合。流體力學(xué)中矢線就是流線, 電場中矢線稱為電力線, 磁場中矢線稱為磁力線。 曲面上的矢量場關(guān)系 1、矢量的通量稱為矢量 通過面元 的通量 通過曲面S的通量,曲面S的一側(cè)稱為內(nèi)面,另一側(cè)面稱為外面(內(nèi)、外是任意選定的),面元法線由內(nèi)指向外 通過閉合曲面S N0，說明從閉合曲面S內(nèi)流出的(液體)量比由面S外流進(jìn)的液體多,象曲面S內(nèi)有一個(gè)源泉一樣N0，說明從面S流進(jìn)面內(nèi)的(液體)量比流出的多 2、散度定義直角坐標(biāo)系微分形式考慮一個(gè)無限小平行六面體的閉合表面ABCD面元上的通量 通過整個(gè)平行六面體的總通量dN 稱為矢量的散度,為一標(biāo)量 定義則散度的

9、定義(與坐標(biāo)系無關(guān))求矢量在某點(diǎn)的散度,取一包圍該點(diǎn)的閉合曲面S,體積為V。求該矢量對(duì)該閉合面的通量,然后求這一通量與該閉合面所包圍的體積之比,當(dāng)曲面收縮為一點(diǎn)時(shí),這一比值的極限就是該矢量在該點(diǎn)的散度。 負(fù)源無源正源當(dāng)矢量場是流體中的速度場時(shí)，在液體中每一點(diǎn) 等于單位時(shí)間內(nèi)從環(huán)繞所研究的這一點(diǎn)的單位體元內(nèi)流出的液體量 矢量場A(x,y,z)的散度意義divergence“發(fā)散的程度”例1 求 有什么意義？你能用合適的方法解釋嗎？散度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與通量源的關(guān)系通量源所產(chǎn)生的場具有發(fā)散(正源)或匯聚(負(fù)源)特征例2 求 這又有什么意義？習(xí)題1.3求矢徑 的梯度例3 求證 3.高斯定理

10、 對(duì)任意形狀、大小的閉合曲面S求矢量的通量,可以將曲面S包圍的有限體積分成許多小平行六面體,對(duì)其中每一個(gè)小平行六面體都可應(yīng)用散度式。對(duì)所有的小六面體表面的通量取和時(shí),相鄰的界面沒有貢獻(xiàn),因?yàn)橛梢粋€(gè)平行六面體的側(cè)面流出的通量恰為相鄰的平行六面體流入的通量,一為正一為負(fù)二者之和恰好相消。所以只剩下對(duì)所取整個(gè)體積的外表面的通量,故矢量對(duì)有限閉合曲面的通量為能簡單想象嗎？從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域V 中的場和包圍區(qū)域V 的閉合面S 上的場之間的關(guān)系。如果已知區(qū)域V 中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界S 上的場，反之亦然。高斯公式的意義4矢量場的旋度 斯托克斯定理1、矢量的環(huán)流矢量 沿閉合曲線

11、L的積分,稱為矢量 沿L的環(huán)流 如 為作用在某一粒子上的力 ,而C就是粒子沿閉合曲線L繞行一周時(shí)力所作的功。斯托克斯定理可以證明:矢量沿一條閉合曲線的環(huán)流,可以寫成以該回路為邊線的曲面積分。2、斯托克斯定理 考慮在yz平面上的一個(gè)小的矩形回路,并設(shè)積分方向與x軸成右手螺旋,計(jì)算回路的環(huán)流對(duì)AB邊對(duì)CD邊二者之和為 同理,對(duì)BC邊對(duì)DA邊二者之和為將上面結(jié)果之和以dCx表之(x表示在x平面內(nèi)的回路),得同理,如無窮小矩形回路在xy、zx平面內(nèi),也循回方向與z、y軸成右手螺旋關(guān)系 定義則推廣到在空間任意取向的無窮小矩形回路L 選擇一個(gè)新的坐標(biāo)系x、y、z,使L在新坐標(biāo)系中,正好處于yz面上,而且積

12、分的循回方向與x軸成右螺旋關(guān)系 取不同的坐標(biāo)系并不改變矢量的性質(zhì) 3、矢量的旋度(與坐標(biāo)系無關(guān))也用 或 表示,前者是拉丁語縮寫,后者為英文直角坐標(biāo)系下旋度的物理意義矢量A的旋度是一個(gè)矢量, 它描述A在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。 若某區(qū)域中各點(diǎn)rot A=0, 稱A為無旋場或保守場。研究剛體以勻角速旋轉(zhuǎn),此時(shí)剛體上某點(diǎn)的速度 求圖1-5旋度描述的是矢量場中各點(diǎn)的渦旋源渦旋源產(chǎn)生的矢量場的矢量線是閉合曲線勻角速旋轉(zhuǎn)例1 求 例2 求 斯托克斯定理 在一條有限回路上計(jì)算環(huán)流,可以將曲線分成許多無限小的格子, 對(duì)每一小格可用上面方法求環(huán)流。再對(duì)全部小格的環(huán)流取積分,其中相鄰格子的邊線上的環(huán)流彼此對(duì)消,因?yàn)?/p>

13、其中每一條邊線都被沿正、反方向各走過一次,剩下的只是最外邊曲線上的環(huán)流。L是指最外邊的曲線,S為以L為邊線的任意曲面 旋度與散度的區(qū)別矢量場的旋度是矢量函數(shù)， 矢量場的散度是標(biāo)量函數(shù)；旋度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與渦旋源的關(guān)系， 散度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與通量源的關(guān)系；如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零,則這種場稱之為無旋場（或保守場） 如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場稱之為無源場；5.關(guān)于散度、旋度和梯度的一些定理 ，標(biāo)量場的梯度必為無旋場。若 ，則 ，無旋場必可表為標(biāo)量場的梯度。（電勢(shì)） ，矢量場的旋度必為無源場。若 ，則 ，無源場必可表為另一矢量的

14、旋度。（磁矢勢(shì)）同理可證其它分量也為零 標(biāo)量場的梯度必為無旋場求定義拉普拉斯算符 2 作業(yè)1自行推導(dǎo)公式和例題電動(dòng)力學(xué)是建立在場論基礎(chǔ)上的，場是獨(dú)立存在的物質(zhì)，有其自身的規(guī)律，試著從現(xiàn)在開始建立這種觀點(diǎn)。作業(yè)1、已知 ，試求矢量 ，并求2、已知 ，試確定a、b、c，使F是一無源場3、求場 通過由平面所圍單位立方體表面的流量 5.關(guān)于散度、旋度和梯度的一些定理 ，標(biāo)量場的梯度必為無旋場。若 ，則 ，無旋場必可表為標(biāo)量場的梯度。（電勢(shì)） ，矢量場的旋度必為無源場。若 ，則 ，無源場必可表為另一矢量的旋度。（磁矢勢(shì)） 例題 設(shè)為原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，證明 .【證】由 可見，點(diǎn)電荷的靜電場的標(biāo)量勢(shì)的梯度就

15、是它的電場強(qiáng)度的負(fù)值。（指向電勢(shì)減少的方向。）*6.算符運(yùn)算公式 p.277微分和矢量雙重性 把帶c的場量移到算符的前面 先進(jìn)行微商運(yùn)算最后將c省略對(duì)標(biāo)量的運(yùn)算比較簡單第一步進(jìn)行微商運(yùn)算對(duì)于矢量場進(jìn)行微商運(yùn)算時(shí),先不要變更矢量的位置。第二步按矢量性質(zhì)作調(diào)整,利用混合積公式負(fù)號(hào)是由于B必須放在算符的后面 初學(xué)者往往錯(cuò)誤地寫為注意并矢計(jì)算微商關(guān)系錯(cuò)了矢量關(guān)系錯(cuò)了也不對(duì)對(duì)了 掌握基本要領(lǐng)，初學(xué)者不要指望一學(xué)就完全熟練注意要把不變矢量提到前直接用三矢量積公式直接驗(yàn)證7 曲線正交坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)變量 (r)、z0 +,0 2,-z+,其中x=cos,y=sin,z=z坐標(biāo)基矢是：e,e,ez， 柱坐標(biāo)系柱

16、坐標(biāo)系基矢er,e,ez關(guān)系構(gòu)成右手系不是常矢量變化的基矢隨的變化點(diǎn)的位置矢量在直角坐標(biāo)系中表示為在柱坐標(biāo)系中是點(diǎn)位置矢量在、z增加方向上的微分元為d、 d、dz,位置矢量的微分元為位置矢量微分元求根據(jù)定義求出：在e,e,ez下的具體形式與該點(diǎn)的的等值面垂直,并指向增長方向, 數(shù)值是沿著這個(gè)方向的方向?qū)?shù) 同理垂直于等值面且指向增大方向的單位矢量是 根據(jù)散度定義求在柱坐標(biāo)系中的表示式 柱坐標(biāo)系表達(dá)式柱坐標(biāo)面中小體元,棱分別為d,d,dz,當(dāng)體元取得無窮小時(shí),d是直線元,側(cè)面也是平面元,體積 垂直于的兩面MM3N2M1面積 ,法線方向 M2N1NN3面積 ,法線方向 因略去最后一項(xiàng)垂直于的兩面的

17、通量同理平行于的兩側(cè)面的通量同理平行于的兩頂面的通量總通量直接通過線元獲得結(jié)果圓柱坐標(biāo)系中,沿三個(gè)方向的線元為d、 d、dz柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式：e,e,ez球坐標(biāo)系 0r +, 0 2, 0. x=rsincos, y=rsinsin,z=rcos.坐標(biāo)基矢是：(er,e,e)， 基矢關(guān)系er,e,e位置矢量位置矢量微分及線元球坐標(biāo)系中,沿三個(gè)方向的線元為dr、 rd、rsind球坐標(biāo)系中的表達(dá)式：er,e,e 一般曲線正交坐標(biāo)系在一般曲線正交坐標(biāo)系中,空間點(diǎn)位置用單位矢量e1,e2,e3方向的三個(gè)坐標(biāo)u1,u2,u3表示位置矢量的微分元(h稱為拉梅系數(shù))圓柱坐標(biāo)球坐標(biāo)8.格林定理已知、皆為連

18、續(xù)、可微的標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)和對(duì)調(diào) 格林定理1格林定理2一個(gè)矢量場被唯一確定的條件要解決的問題是：已知哪些條件,就可以完全決定一個(gè)矢量場設(shè)有一區(qū)域V,其邊界面為閉合面S, 若已知矢量在V中每一點(diǎn)的散度、旋度及矢量 在S面上的法線分量 、 、f為已知函數(shù) 則可以證明,由條件可以完全決定矢量,反證法證明 假設(shè)有兩個(gè)矢量和同時(shí)滿足條件 因?yàn)?, 可用標(biāo)量的梯度表示,令 ;由 ,知在V內(nèi)在S面上利用格林定理(1)，令因?yàn)?必有 電動(dòng)力學(xué)的基本問題要想確定區(qū)域V中的E或B，必須知道V中每一點(diǎn)E或B的散度、旋度及其在邊界面S上的法線分量En或Bn 作業(yè)：1-1，1-2，1-3， 擴(kuò)展作業(yè)1. 在球坐標(biāo)系中,已知矢量A=aer+be+ce,其中a、b和c均為常數(shù)。(1)問矢量A是否為常矢量；(2)求A和A。2. 現(xiàn)有三個(gè)矢量A、B、C分別為 A=sincoser+coscose-s