級數復習試題解析原級數條件收斂

1、(1) yntr 5h-2解：因為lim=|n-oo 5n2=lim = I，所以原級數發(fā)散.n-oo 55n-oo 5_二n6n75/ =艦方=1葺且堤1（滬攵斂,由比較判別法的極限形式知，原級數收斂.解：因為lim/、5 2(3) n sin T解:艘霄/*=| lim (1 + -)5 = | oo 4n+l由根值判別法知，原級數收斂.(5) in=+解：因為limtit8 y/n(n+l)/- = limTLnr 8由比較判別法的極限形式知,n原級數發(fā)散.=1球。且我房發(fā)澈|= lim壬=0 VI,由比值判n-oo n+i(y oo (-10)n(6) Ln=l 一；存刀 rzn ia

2、 (-10)+1 / (-10)” 解：因為姬J布廠/k別法，Xn=14r-（絕對）收斂四、判別下列級數是絕對收斂，條件收斂，還是發(fā)散: 支（一n=3=|1,由比值判別法知,kJ=|00 y/n+1+Vn7 2而法的極限形式知，z窟品+而發(fā)散.令 =有於則國單調遞減；*哽存赤= 由萊布尼茨判別法知，原級數收斂.綜上所述，原級數條件收斂.（9） （_i）罕 n=i a/nyioo2j71=1yioo2j71=1解：（n 3）且2曷清發(fā)散,由比較判別法知, 罕發(fā)散.y/n 令f（x） =5（x 1）,則fG）=控孕竺= |9）且Inx 1.2 八limXTCO= lim = 0.X%T8 yX令a

3、n = 則（1） 。九片 =9單調遞減；（2） lim螺=0 由萊布尼茨判別法知，原級數收斂.綜上所述，原級數條件收斂.r_i)n+i(10)弟解：(I)當p0時，lim|I 0,故級數z箔發(fā)n8散.當0 1時，蠢=1號收斂，故蠢口書2絕對收斂.五、求下列幕級數的收斂域及和函數:COZ(2 + l)x”=o解：當X。時，因為limTIT8(2n+3)xn+1|.(2n+l)xn I _ 閏，當x 1時，原級數發(fā)散.當x = 1時，級數Z片 =o(2n+l)發(fā)散；當x = 1時，級數Zn=i (-l)n(2n+l)發(fā)散.故幕級數Sn=i(2n + 1)矽的收斂域為(-偵).當% G (-1,1)

4、時，和函數72 1 I 1nx H=1-%1 2xt 11+x=1=l-xy 1-x(I-%)21-x(I-%)272 1 I 1nx H=1-%1 2xt 11+x=1=l-xy 1-x(I-%)21-x(I-%)2s(x) = En=0(2n + 1)/ = 2%Zn=l 2x (置=o 必)+ 上=2x(土) +00/+1y =0 +1 當|x| 1時，原級數絕對收斂；當|x|l時，原級數發(fā)散. 當x = 1時，級數Z范0；上發(fā)散；當X = 1時，級數 置=。(一1)收斂解：當x 0時，因為lim71T8x2/(n+2)| _ | |xn+1/(n+l)l I n+1y.n+10 ，則

5、u n+1,從而 s(x)-s(0) = 土 dx =故驀級數Z范0云 的收斂域為-1,1).當X e 一 1,1)時，令和函數s(x) = Sn=S，(x) = n=0%n = YZJln(l %),即(s(x) = ln(l x).六、證明題設人o,且級數收斂，證明級數箍J1尸煨當Q1時絕對收斂.na+A血中品(必+焉)又當。1時，囂=1&收斂因 gV&，由比較判別法知，族】占收斂.因為級數片=1赤收斂，故Sn=l|(+)收斂.再由比較 判別法，級數毒=i(-1)”崩絕對收斂.設級數 0,且lim n an = 1。0,證明級數n=ian n8發(fā)散.解：級數Z蕓1 Gzt是正項級數且lim 岑=limn an = I 0.n81/nn8由正項級數比較判別法的極限形式知，級數Z范與有相同的斂散性.因為2片=發(fā)散，故Z片=1%發(fā)散.15.設1=1就兀是收斂的正項級數，證明級數Sn=l (1 +U”)收斂.證明：因為z竿“是收斂的正項級數，故l