材料力學(xué)第3章 軸向拉壓變形

1、秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu)PPT 講義第3章 軸向拉壓變形(bin xng) Axial Deformation 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形2本章主要(zhyo)內(nèi)容3.1拉壓桿的軸向變形與橫向變形3.2 變形計(jì)算的疊加原理3.3 桁架的節(jié)點(diǎn)位移3.4 拉壓桿靜不定問題*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形33.1拉壓桿的軸向變形(bin xng)與橫向變形(bin xng)EA為拉壓剛度，只與材料和橫截面面積有關(guān)。 軸向應(yīng)變: 胡克定律：所以得到：（拉壓桿胡克定律）共六十四頁秦飛 編著

2、(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形43.1拉壓桿的軸向變形(bin xng)與橫向變形(bin xng)F可見，拉壓桿可類比于彈簧常數(shù)為k的彈簧。 彈簧常數(shù)剛度系數(shù) 共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形53.1拉壓桿的軸向變形(bin xng)與橫向變形(bin xng) 變軸力、變截面直桿的軸向變形軸力FN和橫截面積A沿軸線變化情況可在桿軸線坐標(biāo)為x 處截取微段dx，該微段可看作軸力為FN(x)的等截面(A(x)直桿，其變形量為： 積分：共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形63.1拉壓桿的軸向變形(bin xng)

3、與橫向變形(bin xng) 橫向變形與泊松比在彈性變形范圍內(nèi)，橫向應(yīng)變 與軸向應(yīng)變 之間存在以下關(guān)系： 拉壓桿發(fā)生軸向變形的同時(shí)，橫向上也發(fā)生變形由a變成a1, 橫向變形量為 橫向正應(yīng)變?yōu)?為材料常數(shù)，稱為泊松比(Poissons ratio)，一般 =(00.5) （負(fù)號(hào)什么意思？）共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形73.1拉壓桿的軸向變形與橫向(hn xin)變形 例題3-1 圖示等直桿,試計(jì)算下面三種情況下A截面的位移：（1）不考慮桿的自重， 僅在A 端作用一集中力F；（2）僅考慮桿的自重 （設(shè)材料密度為，重力加速度為g）；（3）考慮桿的自重和

4、A端作用力F。 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形83.1拉壓桿的軸向變形(bin xng)與橫向變形(bin xng) 例題3-1解：(1)不考慮桿的自重，僅在A端作用一集中力F（2）僅考慮桿的自重根據(jù)平衡條件： 即：共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形93.1拉壓桿的軸向變形(bin xng)與橫向變形(bin xng) 例題3-1積分得A截面的位移為： （3）考慮桿的自重和 F 共同作用，x 截面軸力為 ：（桿自重的一半）W/2 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形103.1拉壓桿的軸向變形與橫向(hn

5、 xin)變形 例題3-2高強(qiáng)鋼制成的起重機(jī)圓形截面桿，主要承受軸向壓力，已知直徑 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作時(shí)要求桿的直徑d60.02mm，試問允許的最大軸向壓力是多少？ 解：（1）變形前后桿的直徑改變量為：桿的橫向應(yīng)變?yōu)椋?共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形113.1拉壓桿的軸向變形與橫向(hn xin)變形 例題3-2（3）計(jì)算軸力 由胡克定律，得桿的軸力所以，桿工作時(shí)的最大軸向壓力不能超過627.37kN（2）計(jì)算桿的軸向應(yīng)變 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形123.2 變形計(jì)算(j sun)的疊加

6、原理?xiàng)UAC同時(shí)承受軸向載荷F1與F2的作用，計(jì)算桿的總變形量。 設(shè)AB與BC段的軸力分別為FN1與FN2，均為拉力，則由截面法得:共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形133.2 變形(bin xng)計(jì)算的疊加原理所以，桿AC 的總變形為:AB與BC段的軸向變形分別為: 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形143.2 變形(bin xng)計(jì)算的疊加原理幾個(gè)載荷同時(shí)作用產(chǎn)生的總變形，等于各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形的代數(shù)和,這一規(guī)律稱為疊加原理。(適用小變形并滿足胡克定律的桿件）F1單獨(dú)作用F2單獨(dú)作用共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci li

7、o l xu) 第3章 軸向拉壓變形153.3 桁架(hngji)的節(jié)點(diǎn)位移桁架結(jié)構(gòu)，桿AB和BC拉壓剛度EA相同，如何計(jì)算節(jié)點(diǎn)B 的水平位移和鉛垂位移？解：（1）計(jì)算各桿的軸力 B點(diǎn)的靜力平衡方程為解得共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形163.3 桁架(hngji)的節(jié)點(diǎn)位移（2）計(jì)算各桿變形AB桿變形： BC桿變形： （伸長(zhǎng)）（伸長(zhǎng)）共六十四頁B12秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形173.3 桁架(hngji)的節(jié)點(diǎn)位移（3）求節(jié)點(diǎn)B的位移：確定變形后B的位置B以A 為圓心，變形后1桿長(zhǎng)為半徑作圓弧以C 為圓心，變形后2桿長(zhǎng)為半徑作圓弧兩

8、圓弧交點(diǎn)即為變形后B 的位置。共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形183.3 桁架(hngji)的節(jié)點(diǎn)位移B12（3）求節(jié)點(diǎn)B的位移：確定變形后B的位置的簡(jiǎn)便方法-切線代替圓弧B過變形后1桿端點(diǎn)作其垂線兩垂線交點(diǎn)即為變形后B 的位置。過變形后2桿端點(diǎn)作其垂線共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形193.3 桁架(hngji)的節(jié)點(diǎn)位移B點(diǎn)鉛垂位移： B點(diǎn)水平位移： （3）求節(jié)點(diǎn)B的位移： 切線代圓弧+輔助線切線代圓弧共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形20圖示托架，由橫梁AB與斜撐桿CD所

9、組成(z chn)，并承受集中載荷F1與F2的作用。試求梁端A點(diǎn)的鉛垂位移Ay。斜撐桿CD為鋁管,設(shè)橫梁為剛體。 已知： F1=5 kN F2=10 kN l=1 mCD桿：E=70 GPa A=440mm23.3 桁架的節(jié)點(diǎn)位移 例題3-3共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形21解：（1）計(jì)算(j sun)CD 桿的軸向變形 （壓縮） 3.3 桁架的節(jié)點(diǎn)位移 例題3-3由靜力平衡方程 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形223.3 桁架的節(jié)點(diǎn)位移(wiy) 例題3-3CD 桿的軸向變形為（縮短） A 點(diǎn)的鉛垂位移 （2）計(jì)算C點(diǎn)的豎直位

10、移 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形233.4 拉壓桿靜不定(bdng)問題靜定問題靜不定問題共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形24概念(ginin)（1）靜定問題(statically determinate problem)僅用靜力 平衡方程就能 求出全部未知力。 實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。（2）靜不定問題(statically indeterminate problem)僅用 靜力平 衡方程不能求出全部未知力。（超靜定問題）實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。3.4 拉壓桿靜不定問題共六十四頁

11、秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形25基本(jbn)步驟：3.4 拉壓桿靜不定問題解法 （1）靜力平衡方程(static equilibrium equation )(2)補(bǔ)充方程-變形協(xié)調(diào)方程(compatibility equation)共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形263.4 拉壓桿靜不定問題(wnt)解法（3）物性（物理）關(guān)系 （4）聯(lián)立求解共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形27AD 段為鋼桿，解：（1）桿AB的靜力平衡(pnghng)方程（2）變形協(xié)調(diào)方程 3.4

12、拉壓桿靜不定問題 例題3-4DB 段為銅桿，試求上、下端反力及各段橫截面上的應(yīng)力。F = 1000 kN共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形28（3）由胡克定律(h k dn l)3.4 拉壓桿靜不定問題的解法 例題3-4代入變形協(xié)調(diào)方程 整理得共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形29（4）聯(lián)立求解(qi ji) 上端反力： 下端反力： （5）計(jì)算各段桿中的應(yīng)力 (拉) (壓)(拉)(壓) (壓) 3.4 拉壓桿靜不定問題的解法 例題3-4討論：如果開始時(shí)設(shè)AC、CB段均為拉力，該如何求解？共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci

13、lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形303.4 拉壓桿靜不定問題的解法(ji f) 例題3-5 支架各桿材料相同，F(xiàn)=10kN，試求各桿的軸力。共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形313.4 拉壓桿靜不定問題(wnt)的解法 例題3-5解: (1)靜力平衡方程(2) 變形協(xié)調(diào)方程共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形323.4 拉壓桿靜不定問題(wnt)的解法 例題3-5(3) 利用物性關(guān)系，用力表示變形協(xié)調(diào)方程代入變形協(xié)調(diào)方程 整理得共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形333.4 拉

14、壓桿靜不定(bdng)問題的解法 例題3-5(拉) (拉) (壓)(4) 聯(lián)立求解共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形343.4 拉壓桿靜不定問題的解法(ji f) 例題3-6剛性梁AB受均布載荷q作用， A端鉸支，BD和CE為鋼桿。試校核鋼桿的強(qiáng)度。 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形353.4 拉壓桿靜不定(bdng)問題的解法 例題3-6解：(1) 靜力平衡方程 (2) 變形協(xié)調(diào)方程 (3) 用力表示變形協(xié)調(diào)方程 共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形363.4 拉壓桿靜不定問題的

15、解法(ji f) 例題3-6(4) 聯(lián)立求解(拉）（壓） (5) 校核桿強(qiáng)度 桿CE、DB均滿足強(qiáng)度要求。 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形373.4 拉壓桿靜不定(bdng)問題的解法 例題3-7高為l的圓柱體，放置在剛性基礎(chǔ)上，中間為實(shí)心鋼圓柱體，外圈為銅套筒。試計(jì)算：（1）鋼柱和銅套筒中的應(yīng)力；（2）組合圓柱體的變形。 共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形383.4 拉壓桿靜不定(bdng)問題的解法 例題3-7解:(1)靜力平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程 (3)物性關(guān)系 共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l

16、xu) 第3章 軸向拉壓變形393.4 拉壓桿靜不定(bdng)問題的解法 例題3-7（4）聯(lián)立求解得 （5）組合圓柱體的變形 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形403.4 拉壓桿靜不定問題的解法(ji f) 例題3-7討論：（1）鋼柱和銅套筒中的應(yīng)力比為表明多材料組合構(gòu)件中彈性模量大的部分應(yīng)力也大。比較發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算類似的多材料組合拉壓桿的變形量時(shí)，只需將拉壓剛度EA 換成各部分的拉壓剛度之和即可。（2）變形量為組合截面共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形413.4 拉壓桿靜不定(bdng)問題的解法 例題3-7討論：（3）解靜不定問題

17、的力法與位移法力法：以力為未知量的解法。（前面用的方法）位移法：以位移為未知量的解法。（1）改寫物性方程：（3）代入平衡方程，求解：（2）由變形協(xié)調(diào)方程：共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形42*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 熱應(yīng)力(thermal stress)-因溫度變化而產(chǎn)生(chnshng)的應(yīng)力 溫度應(yīng)變由溫度變化引起構(gòu)件體積膨脹或收縮而在構(gòu)件的各個(gè)方向產(chǎn)生的大小相同的正應(yīng)變。式中：熱膨脹系數(shù)溫度應(yīng)變共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形43*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 熱應(yīng)力的解法(ji f) 熱應(yīng)力只出現(xiàn)在靜不定結(jié)構(gòu)中，其解法與一般靜不

18、定問題解法相同。兩端固定的等直桿，溫度升高 時(shí)，計(jì)算桿中的軸向應(yīng)力。共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形44*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 熱應(yīng)力的解法(ji f)解：由溫度變化引起的軸向變形量為 ：得桿中熱應(yīng)力為由兩端固定，得變形協(xié)調(diào)方程：熱應(yīng)力與溫度改變量、材料的熱膨脹系數(shù)和彈性模量有關(guān)，而與桿件的長(zhǎng)度和橫截面面積無關(guān)。共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形45*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 固定端的(dund)約束形式插入式固定端當(dāng)溫度升高時(shí)，桿件在所有方向上均 勻膨脹，軸向與橫截面方向均有約束反力此桿件所有橫截面上均只有軸向應(yīng)力，且均勻分布共六

19、十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形46*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題(lt)3-8 組裝好的螺栓和套筒，材料彈性模量分別為EB、ES，橫截面積分別為AB、AS，熱膨脹系數(shù)分別為 、 且 。當(dāng)溫度升高 ，計(jì)算套筒和螺栓中的應(yīng)力 和 。共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形47解:(1)靜力平衡(pnghng)方程 (2)變形協(xié)調(diào)方程 (3) 物性關(guān)系 *3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-8 共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形48(4) 聯(lián)立求解(qi ji)PS、PB (壓) （拉） *3.5

20、 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-8 計(jì)算應(yīng)力 熱應(yīng)力與溫度改變量、材料的熱膨脹系數(shù)、彈性模量和橫截面面積有關(guān)，而與桿件的長(zhǎng)度無關(guān)。討論：（1） = ；（2） =0共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形49*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力雙材料(cilio)粘合結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力如果材料厚度一樣，即tA = tB，則彈性模量低的材料承受大部分的應(yīng)變。A B共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形50三角形板可視為剛性(n xn)板，1為鋼桿，2為銅桿。試求溫度升高20時(shí)，1、2桿內(nèi)的應(yīng)力。*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-9 已知：共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci

21、 lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形51解：(1) 靜力平衡(pnghng)方程(2) 變形協(xié)調(diào)方程 (3) 物性關(guān)系(伸長(zhǎng)) (縮短) *3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-9 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形52(4) 用力表示變形(bin xng)協(xié)調(diào)方程 (5) 聯(lián)立求解得 (6) 1、2桿中的正應(yīng)力 (壓) (壓) *3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-9 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形53*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 預(yù)應(yīng)力（裝配(zhungpi)應(yīng)力）在靜不定結(jié)構(gòu)中，由于構(gòu)件幾何尺寸制造誤差必須采取強(qiáng)制方法裝配而導(dǎo)致桿件

22、產(chǎn)生的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力或預(yù)應(yīng)力(initial stress)。 預(yù)應(yīng)力概念共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形54桁架，桿3的實(shí)際長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度l稍短，制造誤差(wch)為，試分析裝配后各桿的軸力。*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-10 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形55解:(1)靜力平衡(pnghng)方程(2)變形協(xié)調(diào)方程*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-10 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形56(3)聯(lián)立求解(qi ji)，得軸力為*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-10 共六十四頁

23、秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形57*3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題(lt)3-11 已知： E=200GPa桿3存在制造誤差，裝配后，3個(gè)桿內(nèi)均有裝配應(yīng)力。梁AB，CD為剛性桿，將桿3切斷后， AB向上平移試求：(1) 三桿的裝配應(yīng)力；(2) 桿3的制造誤差d。共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉壓變形58解:(1) 桿1、桿2的軸力(2) 桿3的軸力由靜力平衡方程得 *3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題(lt)3-11 共六十四頁秦飛 編著材料力學(xué)(ci lio l xu) 第3章 軸向拉壓變形59(3)各桿的裝配(zhungpi)應(yīng)力(4) 桿3的制造誤差桿3的伸長(zhǎng)量 制造誤差 *3.5 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力 例題3-11 共六十四頁秦飛 編著(binzh)材料力學(xué) 第3章 軸向拉