數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

1、良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)者頭腦里的反映，它是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中逐步積累起來的在數(shù)學(xué)方面的觀念系統(tǒng)。這些觀念可能包括三種類型：一是基本觀念（言語信息或表象信息），它是學(xué)習(xí)者通過學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題之后形成的；二是數(shù)學(xué)具體方法的觀念，它是學(xué)習(xí)者在運(yùn)用基本觀念來解決問題的過程中形成的；三是數(shù)學(xué)問題解決策略的觀念。就一個(gè)具體的新知識的學(xué)習(xí)而言，根據(jù)美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾的觀點(diǎn)可知，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有三個(gè)特征：一是可利用性，即在學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鹜饔玫挠^念可以利用；二是可辨別性，即新知識與學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念是可辨別的；三

2、是穩(wěn)定性，即同化新知識的原有的觀念是清晰和穩(wěn)定的。從數(shù)學(xué)問題解決的角度來考察，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征包括以下四個(gè)方面：1 足夠多的觀念現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于“專家系統(tǒng)”的研究表明，在某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)善于解決問題的專家必須具備上萬個(gè)知識組塊，沒有這些專門的知識，專家就不能解決該領(lǐng)域內(nèi)的技術(shù)問題。在許多專門領(lǐng)域，如工程學(xué)、計(jì)算機(jī)程序、社會科學(xué)、閱讀理解、物理、數(shù)學(xué)和醫(yī)療診斷等，將“專家”和“新手”作比較，都證明了解決問題的能力取決于個(gè)人所獲得的有關(guān)知識的多少及其組織結(jié)構(gòu)。根據(jù)筆者長期從事數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)工作的經(jīng)驗(yàn)，絕大多數(shù)IMO選手，除了具備一定的數(shù)學(xué)天賦之外，他們必需系統(tǒng)接受過各種專題知識的訓(xùn)練。在各種專家

3、的輔導(dǎo)下，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中積累了豐富的專門知識。例如，在IMO中的數(shù)論這一專題中，我們要求選手掌握的基本概念、原理達(dá)到五十余條。與新手相比，專家解決自己領(lǐng)域內(nèi)的問題時(shí)較為出色，在不熟悉的領(lǐng)域，專家通常并不比新手好，因?yàn)樗谀且活I(lǐng)域內(nèi)的觀念不夠多。和IMO選手相比，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)博士導(dǎo)師就是一個(gè)“新手”，這就是為什么一個(gè)數(shù)學(xué)博士導(dǎo)師解不了IMO問題的原因。2 具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式足夠多的觀念僅僅是問題解決的必要條件。也就是說，你頭腦中的知識越多，并不意味著你解決問題的能力越強(qiáng)。甚至問題解決者已具備了解決某一問題所需的全部知識，但卻解決不了這個(gè)問題。例如，有的問題解決者在解決一個(gè)問題時(shí)，百思而不

4、得其解。但經(jīng)旁人一指點(diǎn)，即刻恍然大悟。這說明他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備了解決這個(gè)問題所必需的概念、性質(zhì)和定理等知識。一些新教師經(jīng)常向筆者“訴苦”，自己備課十分認(rèn)真，課也講得頭頭是道，學(xué)生對知識的提問反應(yīng)也不錯(cuò)，可一到自己作業(yè)和考試就不行。也就是說，恍然大悟的問題解決者與不能獨(dú)立作業(yè)（尤其是非模仿的作業(yè)）的學(xué)生，他們失敗的原因不是缺乏所需的具體知識觀念，而是缺乏與具體知識相對應(yīng)的穩(wěn)定的產(chǎn)生式。文1指出：學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中，其頭腦里逐步貯存了一系列以“如果，那么” 的形式表示的規(guī)則，這種規(guī)則稱為產(chǎn)生式（Production）；產(chǎn)生式是一種“條件活動(dòng)”規(guī)則，簡記為CA，只要條件信息一出現(xiàn)，活動(dòng)就會自動(dòng)產(chǎn)

5、生。這里所說的活動(dòng)不僅是外顯的行為反應(yīng)，還包括內(nèi)隱的心理活動(dòng)或心理運(yùn)算。例如，如果學(xué)生一識別出三角形ABC是直角三角形，他就能作出反應(yīng)：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和，那么，我們就說該學(xué)生已習(xí)得了這個(gè)產(chǎn)生式。假如被試是在被主試問到什么是勾股定理的情形下復(fù)述出勾股定理，我們不能肯定被試已習(xí)得這個(gè)產(chǎn)生式，因?yàn)樗赡軆H僅是從長時(shí)記憶中檢索出勾股定理的言語信息，并沒有學(xué)會將其應(yīng)用于實(shí)際情境。學(xué)生是否習(xí)得產(chǎn)生式，關(guān)鍵是看他在問題情境中識別出條件信息后能否作出活動(dòng)。尚未習(xí)得勾股定理產(chǎn)生式的學(xué)生當(dāng)然不能解決與勾股定理相關(guān)的問題,盡管他腦中貯存有勾股定理的言語觀念?！皸l件活動(dòng)”式的產(chǎn)生式對解決一些簡單的由

6、已知到結(jié)論的問題有效，但對一些復(fù)雜的問題則不然。因?yàn)?，有許多產(chǎn)生式的條件信息是完全一樣的，換句話說，由問題情境中的同一條件信息可以引發(fā)許多活動(dòng)。這樣，如果解決一個(gè)問題需要好幾個(gè)產(chǎn)生式，而每一個(gè)產(chǎn)生式的條件信息又可以引發(fā)幾個(gè)活動(dòng)，那么，問題解決者將面對幾何級數(shù)般增長的解題思路而不知如何選擇。因此，除了“條件活動(dòng)”這樣的正向產(chǎn)生式之外，問題解決者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中還應(yīng)該具備逆向產(chǎn)生式。逆向產(chǎn)生式是以“要，就要”的形式表示的規(guī)則。其含義是，在當(dāng)前情境之下，要使目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)，就要具備什么條件。例如，在不同的圖形背景下證明兩條線段相等的逆向產(chǎn)生式可能有：“要AB=AC，就要B=C”、“ 要AB=CD，就要AB

7、CCDA”、“ 要AB=CD，就要弧AB=弧CD”、“ 要AB=CD，就要AB=EF= CD”、“ 要AB=CD，就要ABEF=CDEF”等等。除了正向產(chǎn)生式和逆向產(chǎn)生式之外，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中還應(yīng)該有一些與正向產(chǎn)生式的數(shù)學(xué)模式對應(yīng)的變形產(chǎn)生式。所謂變形產(chǎn)生式是這樣一種雙反應(yīng)產(chǎn)生式，即：學(xué)習(xí)者事先已習(xí)得某一產(chǎn)生式CA，只要一出現(xiàn)與產(chǎn)生式CA相關(guān)的信息，學(xué)習(xí)者立刻檢索出與產(chǎn)生式CA對應(yīng)的數(shù)學(xué)模式，然后根據(jù)目標(biāo)信息對這一數(shù)學(xué)模式進(jìn)行變形。例如，某學(xué)習(xí)者習(xí)得了有關(guān)勻速運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生式“知道速度和時(shí)間路程=速度時(shí)間”，他還可以得出變形產(chǎn)生式“出現(xiàn)速度、時(shí)間、路程這些部分信息 檢索出數(shù)學(xué)模式：路程=速度時(shí)

8、間 變形”。3 層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)解決問題的思路探索過程實(shí)質(zhì)上由一連串的產(chǎn)生式構(gòu)成。在問題解決者具備相關(guān)穩(wěn)定的產(chǎn)生式的前提下，如何從問題情境中識別出相關(guān)信息并與眾多的產(chǎn)生式中的條件信息相匹配是成功解決問題的關(guān)鍵。我們在前面已經(jīng)指出，某一領(lǐng)域內(nèi)善于解決問題的專家的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有上萬個(gè)知識塊。這些知識塊不僅是具體知識的觀念，而且大多數(shù)是產(chǎn)生式。因此，如果這些數(shù)以萬計(jì)的產(chǎn)生式組織得不好，那么問題解決者是很難從中檢索出與問題情境相匹配的條件信息。就好比一座圖書館，如果里面的書籍雜亂無章，亂堆亂放，那么，要找一本書時(shí)就會困難重重。反之，如果里面的書籍存放有序，類別分明，那么查找就很容易。所以，除了具備足夠多的觀念和穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式之外，要建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)者還必須對所習(xí)得的知識信息進(jìn)行加工整理，使之形成一個(gè)個(gè)的知識組塊，并對這些知識組塊再進(jìn)行組織、分類和概括，使之形成一個(gè)有層次有條理的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這樣，就可以提高信息的檢索效率。4 一定的問題解決策略的觀念某一問題領(lǐng)域內(nèi)的專家解決問題的能力之所以比新手強(qiáng)，主要的原因之一是專家的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有著比新手多得多的問題解決策略的觀念。因此，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須包