最好的線性代數(shù)課件

1、線性代數(shù)課程(kchng)簡介一.教材(jioci)與參考書 線性代數(shù)吳傳生 王衛(wèi)華編線性代數(shù)清華大學出版社 居余馬等編教材選用：參考教材： 線性代數(shù)是一門基礎數(shù)學課程,其核心內容是研究有限維線性空間的結構和線性變換.其理論和方法有著廣泛的應用.共六十三頁行列式矩陣(j zhn)線性方程組向量(xingling)空間矩陣的特征值二次型1.教材內容:2.學習方法與要求;預習+課堂學習+小組討論 本期應完成:15次作業(yè)、6個報告、2次考試 共六十三頁線性代數(shù)(xin xn di sh)(Linear Algebra)簡介加法(jif)與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運算。 一.代數(shù):是指由字母或符號

2、來研究數(shù)及其結構的科學。1.初等代數(shù) 代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比倫人。 初期的代數(shù)主要源于解方程. 我國古代的九章算術中就有方程問題。共六十三頁初等代數(shù)(dish)研究的對象:代數(shù)式的運算和方程(fngchng)的求解。 整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。 四則運算，乘方和開方運算,通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運算.初等代數(shù)的十條規(guī)則: (1)五條基本運算律： 加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律； (2)兩條等式基本性質: 共六十三頁等式(dngsh)兩邊同時加上一個數(shù)，等式(dngsh)不變； 等式兩邊同時(tngsh)乘以一個非零的數(shù)，等式不

3、變；(3)三條指數(shù)律： 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加； 指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘； 積的乘方等于乘方的積。人們在解方程的研究過程中發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)、負數(shù)和復數(shù)，從而使數(shù)的概念得到了擴充。共六十三頁2、代數(shù)(dish)的基本定理1799年高斯(o s)（Gauss）證明： 復數(shù)域上任意一個一元n次（n0）方程任何一個一元n次方程在復數(shù)域上有且僅有n個根（重根按重數(shù)計算）至少有個根,這就是說,至少有個復數(shù)x滿足這個等式； 共六十三頁3.多項式方程的代數(shù)(dish)解問題方程(fngchng)的代數(shù)解是指:方程經過有限次代數(shù)運算得到的解。 例如：的解. ， 阿貝爾（Abel）(18021829)

4、證明了五次方程不可能有代數(shù)解共六十三頁4、方程(fngchng)根與系數(shù)的關系韋達定理(dngl):設一元二次方程在復數(shù)域上的兩個根為,則有 一般地:設在復數(shù)域上的n個根為,則有 共六十三頁2.高等(godng)代數(shù) 1832年法國數(shù)學家伽羅瓦運用“群”的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性,由此代數(shù)轉變成為研究代數(shù)運算(yn sun)結構的科學.共六十三頁二.線性代數(shù)(xin xn di sh)“線性”的含義(hny)是指未知量的一次式。 例如: y=ax表示變量y是變量x的一個線性函數(shù)， y=ax1+bx2表示變量y是x1，x2的線性關系。 一個線性表示不能包含諸如x2和x1x2的二次

5、項，這些二次項是非線性的。 線性代數(shù)的研究對象:線性方程組、線性空間和線性變換。 行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個重要工具.共六十三頁1、求解(qi ji)線性方程組例1：明代程大為著的算法統(tǒng)宗中記載：100個和尚分100個饅頭。大和尚一人3個，小和尚3人一個(y )，剛好分完。問大、小和尚各多少人？解：設有大和尚x人，小和尚y人，于是有用代入法求得：，代入，解出：共六十三頁例2：中國古代(gdi)算書張丘建算經記載百雞問題：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？解：設有公雞x只，母雞y只，小雞z只，則有有（

6、2）3（1）得 共六十三頁因為(yn wi)y是整數(shù)，可設 代入得：又y0,可知(k zh)k=1,2,3,由此得或或共六十三頁例3求解(qi ji)下列線性方程組(1)(2)(3)解:由(2)-(1)得(3)方程組與下列(xili)方程組同解 (4)(5)由(5)2(4):k是任意常數(shù)令:共六十三頁解:利用(lyng)高斯（ Gauss ）消元法求解.將1,2兩個方程(fngchng)互換位置得共六十三頁由第1個方程(fngchng)分別乘-2,-2,-3,后與2,3,4方程(fngchng)相加,得同理:將2,3方程(fngchng)互換位置,得把第3,4兩個方程分別加上第2個方程的-4,

7、-1倍,得共六十三頁同理;得 從第3個方程(fngchng)回代 共六十三頁利用(lyng)高斯消元法求解線性方程組解:原方程組 無解(w ji).若我們進一步變換可得: 共六十三頁從以上例題(lt)可以看出,線性方程組的解有3種情況:唯一解、無窮解和無解。 當未知量或方程組的個數(shù)增多時, 常用(chn yn)高斯消元法求解方程組. 一般地,方程組可表示為:它是線性代數(shù)的主要研究對象。共六十三頁例:總收入問題(wnt)某地區(qū)(dq)有1個工廠,生產甲,乙,丙3種產品,xi(i=1,2,3),表示工廠生產這3種產品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示第i種產品的單價,y表示這3種產品的總收入,則有

8、:若某地區(qū)有1,2,3,4個工廠,生產甲,乙,丙3種產品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工廠生產i種產品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示i種產品的單價,yk表示k工廠的總收入,則有:2、線性代數(shù)的數(shù)學模型共六十三頁在一個經濟系統(tǒng)中,一個企業(yè)既是生產者又是消費者,作為(zuwi)生產者,它有產出,作為(zuwi)消費者它有投入,企業(yè)之間的這種平衡關系可以用一系列的線性方程組來表示,這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經濟學獎獲得者)的投入產出數(shù)學模型.共六十三頁例全球定位系統(tǒng)GPS 要想知道卡車在公路上行駛時的位置可利用GPS系統(tǒng).這個系統(tǒng)是由24顆高軌道(gudo)衛(wèi)星組成,卡車從其中3

9、顆衛(wèi)星接受信號,接受器里的軟件利用線性代數(shù)方法來確定卡車的位置. 當卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時,接受器從信號往返的時間能確定卡車到衛(wèi)星的距離(jl),例如14000公里,從衛(wèi)星來看,知道卡車位于以衛(wèi)星為球心,半徑為14000公里的球面上的某地.設卡車位置(x,y,z),第一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即共六十三頁同理 假設第2,3顆衛(wèi)星的位置分別(fnbi)是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3)距卡車的距離分別是17000和16000公里,則有這些(zhxi)關系式不是線性關系式,要求(x,y,z)由(1)減(2),(3)得:共六十三頁例:動畫問題(wnt)動畫設計中常常用到坐標變換(bin

10、hun)如:平移 旋轉等設平面上的點為(x,y)平移變換后為則:設平面上的點為(x,y)旋轉變換后為則:(x,y)r共六十三頁1 n階行列式的定義(dngy)的主要內容是:一.2階行列式和3階行列式的定義(dngy)(一)2階行列式的定義(二)3階行列式的定義二.n階行列式的定義共六十三頁行列式簡介(jin ji)行列式出現(xiàn)(chxin)于線性方程組的求解。 它是數(shù)學語言上的改革, 它的簡化的記法常常是深奧理論的源泉。 P.S.Laplace是一種速記表達式. 行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學家 關孝和提出來的(1683 年 ) Vandermonde 首次對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述 成為

11、行列式理論的奠基人. 共六十三頁用消元法解二元線性方程組一.2階行列式和3階行列式的定義(dngy)(一)2階行列式的定義(dngy)共六十三頁方程組的解為由方程組的四個系數(shù)(xsh)確定.共六十三頁 由四個數(shù)排成二行二列（橫排(hn pi)稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義(dngy)即共六十三頁主對角線副對角線對角線法則(fz)二階行列式的計算(j sun)若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式共六十三頁共六十三頁則二元線性方程組的解為注意(zh y) 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.共六十三頁例1解共六十三頁(二)三階(sn ji)行列式的定義解三元(sn yun)一次方程組 由（1）（2）消x3,同理

12、（1）（3）消x3得 共六十三頁由二元一次方程組可知(k zh):若系數(shù)行列式: 即:共六十三頁那么(n me):共六十三頁三元(sn yun)線性方程組:若系數(shù)(xsh)行列式不等于零,有解:共六十三頁(二)三階(sn ji)行列式的定義定義(dngy)記（1）式稱為數(shù)表所確定的三階行列式.共六十三頁(1)沙路法三階(sn ji)行列式的計算.列標行標共六十三頁(2)對角線法則(fz)注意(zh y) 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式 共六十三頁例 解按對角線法則(fz)，有共六十三頁二.四階行列式與n階行列式的定義(dngy)不

13、適用(shyng)對角線定義.共六十三頁1+1三階(sn ji)行列式的沙路法和對角線法不適用四階行列式二.四階行列式與n階行列式的定義(dngy)共六十三頁例:求x4=?(1)(2)(3)(4)由(2)+(3)得:得:103共六十三頁觀察(gunch)2階和3階行列式:=?共六十三頁三階(sn ji)行列式:+1232313121322133210個2個2個偶排列(pili)1個1個3個奇排列記:為排列的逆序數(shù)總數(shù).共六十三頁規(guī)定(gudng)=行列式的一般(ybn)項定義.共六十三頁補充說明(shumng):行列式的一般項定義中列標可按自然順序排列.例如(lr):共六十三頁n階行列式的一般

14、(ybn)項定義行列式的一般(ybn)項簡記 其中aij是行列式的元數(shù).共六十三頁例1計算(j sun)對角行列式分析(fnx)展開式中一般項中的元素積:所以 只能等于 , 同理可得解即行列式中不為零的項為共六十三頁例如(lr)3或2階行列式的按第1行展開式歸納如下:四階行列式與n階行列式按行展開式定義(dngy).共六十三頁按照(nzho)這一規(guī)律觀察2階:=規(guī)定:共六十三頁在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如(lr) 的余子式和代數(shù)余子式1.余子式與代數(shù)(dish)余子式共六十三頁共六十三頁 的余子式和代數(shù)

15、余子式共六十三頁定義(dngy):由n2個數(shù)aij(ij=1,2,n)組成的n階行列式n階行列式按第1行展開(zhn ki)的定義 是一個算式.當n=1時,定義D=當n2時,定義為 其中:共六十三頁例1=40按第1行的元素(yun s)展開共六十三頁例:利用(lyng)行列式的按第1行展開定義證明:證明(zhngmng):對n作數(shù)學歸納法證明.當n=2時,結論成立假設結論對n-1階下三角形行列式成立,則 D=D=共六十三頁同理可得對角(du jio)行列式上三角(snjio)行列式:共六十三頁例如(lr):共六十三頁例3計算(j sun)n階行列式(副對角線以上(yshng)的元素為0)解:=.共六十三頁作業(yè)(zuy):1.預習(yx) 1.2n階行列式的計算.2.練習: P32. 1-10.3.小組討論題:P36 補充題 3周內完成 共六十三頁內容摘要線性代數(shù)課程簡介。預習+課堂學習+小組討論。本期應完成:15次作業(yè)、6個報告、2次考試。四則運算，乘方和開方運算,通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運算.