信號(hào)估值與檢測(cè)

1、信號(hào)估值與檢測(cè)一、信號(hào)檢測(cè)與估值理論的研究對(duì)象 信號(hào)檢測(cè)與估值理論是現(xiàn)代信息理論的一個(gè)重要分支， 是以率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為工具，綜合系統(tǒng)理論與通信工程的一門(mén)學(xué)科。它為通信、雷達(dá)、聲納、自動(dòng)控制等技術(shù)領(lǐng)域提供理論基礎(chǔ)。此外，它在統(tǒng)計(jì)識(shí)模、射電天文學(xué)、雷達(dá)天文學(xué)、地震學(xué)、生物物理學(xué)以及醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域里，也獲得了廣泛的應(yīng)用。 眾所同知，通信、雷達(dá)、自動(dòng)控制系統(tǒng)等都是當(dāng)代重要的信息傳輸和處理系統(tǒng)，對(duì)它們的性能要求，總的說(shuō)來(lái)有兩個(gè)方面。 一是要求系統(tǒng)能高效率地傳輸信息，這就是系統(tǒng)的有效性； 二是要求系統(tǒng)能可靠地傳輸信息，這就是系統(tǒng)的可靠性或抗干擾性。 使系統(tǒng)信息傳輸可靠性降低的主要原因有： 1不可避免的外部干擾

2、和內(nèi)部噪聲的影響； 2傳輸過(guò)程中攜帶信息的有用信號(hào)的畸變。 二信號(hào)檢測(cè)與估值理論發(fā)展的簡(jiǎn)略回顧 信號(hào)檢測(cè)與估值理論是從 40 年代第二次世界大戰(zhàn)中逐步形成和發(fā)展起來(lái)的。整個(gè)40 年代是這個(gè)理論的初創(chuàng)和奠基時(shí)期。在這期間，美國(guó)科學(xué)家維納(NWiener)和蘇聯(lián)科學(xué)家柯?tīng)柲衤宸?AH)等作出了杰出的貢獻(xiàn)。他們將隨機(jī)過(guò)程和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)引入到通信和控制系統(tǒng)中來(lái)，揭示了信息傳輸和處理過(guò)程的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)，建立了最佳線性濾波理論，后人稱(chēng)之為維納濾波理論。 這樣，就把經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)判決理論和統(tǒng)計(jì)估值理論與通信工程緊密結(jié)合起來(lái)，為信號(hào)檢測(cè)與估值理論奠定了基礎(chǔ)。對(duì)于當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)觀念來(lái)說(shuō)，維納濾波理論的創(chuàng)立是一次沖擊和突

3、破。因此，在20 和 30 年代，人們?cè)谘芯啃畔鬏斚到y(tǒng)的可靠性問(wèn)題時(shí)，總是習(xí)慣于把信號(hào)看成是一個(gè)確定性的過(guò)程（周期過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程） ，因而具有很大的局限性。第一章貝葉斯準(zhǔn)則（Bayes Criterion）：在假設(shè)Hj的先驗(yàn)概率P(Hj)已知，各種判決代價(jià)因子cij給定的情況下，使平均代價(jià)C最小的準(zhǔn)則。根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則得到似然比檢驗(yàn)，將似然比函數(shù)（轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)之比）(x)與最佳似然比門(mén)限（由先驗(yàn)概率和判決代價(jià)因子確定）比較來(lái)判決哪種假設(shè)成立。似然比檢測(cè)有時(shí)可簡(jiǎn)化為對(duì)數(shù)似然比檢驗(yàn)。還可進(jìn)一步化簡(jiǎn)，使判決表達(dá)式左邊的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為觀測(cè)量x的最簡(jiǎn)函數(shù)。貝葉斯準(zhǔn)則是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)理論中的通用準(zhǔn)則，對(duì)各

4、假設(shè)的先驗(yàn)概率P(Hj)和各種判決的代價(jià)因子cij做某些約束，則得到它的派生準(zhǔn)則，如最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則（先驗(yàn)等概時(shí)即為最大似然（ML）準(zhǔn)則），最大后驗(yàn)概率（MAP）準(zhǔn)則，極小化極大準(zhǔn)則，Neyman-Pearson（N-P）準(zhǔn)則。最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則（Minimum mean probability of error criterion）：使平均錯(cuò)誤概率最小的檢測(cè)準(zhǔn)則。在通信系統(tǒng)中，通常有c00=c11=0, c10=c01=1，即正確判決不付出代價(jià)，錯(cuò)誤判決代價(jià)相同，此時(shí)平均代價(jià)C恰好就是平均錯(cuò)誤概率Pe，貝葉斯準(zhǔn)則就轉(zhuǎn)化為其特例形式的最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則，似然比檢驗(yàn)的判決門(mén)限為=P(H0

5、)/P(H1)，似然比函數(shù)仍為(x)=P(x|H1)/P(x|H0)。當(dāng)先驗(yàn)等概時(shí)，=1，判決就表示為兩個(gè)似然函數(shù)P(H0), P(H1)的比較，即轉(zhuǎn)化為最大似然（Maximum Likelihood）準(zhǔn)則。最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則（Maximum a posteriori probability (MAP) criterion）：最小平均代價(jià)的貝葉斯準(zhǔn)則在判決代價(jià)滿足c10c00=c01c11的條件下，其判決式成為P(x|H1)/P(x|H0) P(H0)P(H1)（上述最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則也即為此），最終可表示為P(H1|x) P(H0|x)，即比較后驗(yàn)概率的大小，就成為最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則。易知，最

6、小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則（因而最大似然準(zhǔn)則）是MAP準(zhǔn)則的特例，也可以說(shuō)，在給定的判決代價(jià)條件下，兩種準(zhǔn)則是等價(jià)的。奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則在許多情況下，信號(hào)的先驗(yàn)概率和代價(jià)因子無(wú)法知道，如雷達(dá)系統(tǒng)要確定目標(biāo)出現(xiàn)與不出現(xiàn)的概率是困難的，此時(shí)無(wú)法應(yīng)用貝葉斯準(zhǔn)則，應(yīng)以檢測(cè)概率最大為準(zhǔn)則，如果用降低檢測(cè)門(mén)限的方法來(lái)提高檢測(cè)概率，但門(mén)限降低后又會(huì)使虛警概率加大，因此只能在對(duì)虛警概率加以限制的條件下，使檢測(cè)概率最大，這就是奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則。極小化極大準(zhǔn)則（Minimax Criterion）：在已經(jīng)給定代價(jià)因子cij，但先驗(yàn)概率P(Hj)未知時(shí)，為避免產(chǎn)生可能過(guò)分大的代價(jià)，使極大可能代價(jià)極小化的信號(hào)檢測(cè)準(zhǔn)則。其方法是

7、，猜測(cè)一個(gè)先驗(yàn)概率P1g用來(lái)確定貝葉斯準(zhǔn)則的似然比檢測(cè)門(mén)限=(P1g)，P1g的選取使得可能產(chǎn)生的極大平均代價(jià)最小。結(jié)果是，無(wú)論實(shí)際先驗(yàn)概率P1為多少，極小化極大準(zhǔn)則的平均代價(jià)都等于Cminmax（貝葉斯準(zhǔn)則的最小平均代價(jià)的最大值），而不會(huì)產(chǎn)生過(guò)分大的代價(jià)。在c00=c11=0條件下，極小化極大方程為c01PM(P1g)= c10PF(P1g)，進(jìn)一步若c10=c01=1，則為PM(P1g)= PF(P1g)，即P1g的選擇使漏檢概率和虛警概率相等，此時(shí)的極小化極大代價(jià)就是平均錯(cuò)誤概率PF(P1g)。最大似然估計(jì)我們已經(jīng)知道進(jìn)行貝葉斯估計(jì)要用到被估計(jì)量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，因而必須給出先驗(yàn)概率密

8、度函數(shù)和似然函數(shù)，如果對(duì)被估計(jì)參量的分布規(guī)律毫無(wú)所知，在這種情況下，可采用最大似然估計(jì)法。線性最小均方誤差如果沒(méi)有關(guān)于觀測(cè)信號(hào)矢量 x 和被估計(jì)矢量的概率密度函數(shù)先驗(yàn)知識(shí)，而僅知道觀測(cè)信號(hào)矢量和被估計(jì)隨機(jī)矢量的前二階矩，即均值矢量、協(xié)方差矩陣、互協(xié)方差矩陣；在這種情況下，我們要求估計(jì)量的均方誤差最小，但限定估計(jì)量是觀測(cè)量的線性函數(shù)。 最小二乘估計(jì) 最小二乘估計(jì)由于它不需要任何先驗(yàn)知識(shí)，只需要關(guān)于被估計(jì)量的觀測(cè)信號(hào)模型，就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)參量的估計(jì)。 最小均方誤差意義上的最佳濾波器設(shè)計(jì)需要預(yù)先知道前二階矩。然而這些統(tǒng)計(jì)信息在很多實(shí)際應(yīng)用中無(wú)法得到，我們僅能得到輸入和期望相應(yīng)信號(hào)的測(cè)量值。為了避免這個(gè)問(wèn)題，我們可以：（1）如果可能的話，從可用的數(shù)據(jù)估計(jì)出需要的二階矩，從而得到最佳 MMSE濾波器的估計(jì)；（2） 通過(guò)最小化性能標(biāo)準(zhǔn)，即可用數(shù)據(jù)的函數(shù)，而設(shè)計(jì)最佳濾波器。 總結(jié)：知道各假設(shè)的先驗(yàn)概率P(Hj)，并對(duì)每種可能判決給定了代價(jià)因子cij的條件下，用貝