五年級(jí)奧數(shù)舉一反三最小公倍數(shù)

1、第 26 講 最小公倍數(shù)（一）專題簡(jiǎn)析：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)可以記作a、b,當(dāng)（a、b） =1時(shí)，a、b= a xb。兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著下列關(guān)系：最大公約數(shù)x最小公倍數(shù)二兩數(shù)的乘積即（a、b） x a、b= a x b要解答求最小公倍數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵要根據(jù)題目中的已知條件，對(duì)問(wèn)題作全面的分析，若要求的數(shù)對(duì)已知條件來(lái)說(shuō)，是處于被除數(shù)的地位，通過(guò)就是求最小公倍數(shù)，解題時(shí)要避免和最大公約數(shù)問(wèn)題混淆。例題 1 兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？分析 根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的最大

2、公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積”可先求出這兩個(gè)數(shù)的乘積，再把這個(gè)積分解成兩個(gè)數(shù)。根據(jù)題意：當(dāng)albl分另I是1和6時(shí)，a、b分別為15X1=15, 15X6=90;當(dāng)albl分別是2和3時(shí)，a、 b分別為15X2=20, 15X 3=45。所以，這兩個(gè)數(shù)是15和90或者30和45。練習(xí)一1，兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是9，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？2，兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是60，求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？3，兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是60，最小公倍數(shù)是720，其中一個(gè)數(shù)是180，另一個(gè)數(shù)是多少？例題 2 兩個(gè)自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個(gè)數(shù)各是多少？分析

3、 我們把這兩個(gè)自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因?yàn)榧住⒁覂蓴?shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。 根據(jù)這一規(guī)律， 我們可以求出這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是360+ 120=3。又因?yàn)椋? 3=a,乙+3=b）中，3XaXb=120, a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a 和b可以是1和40,也可以是5和8。當(dāng)a和b是1和40時(shí)，所求的數(shù)是3X1=3和3X 40=120;當(dāng)a和b是5和8時(shí)，所求的數(shù)是3X 5=15和3X 8=24。練習(xí)二1，求 36 和 24 的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。2，已知兩個(gè)數(shù)的積是3072，最大公約數(shù)是16，求這兩個(gè)數(shù)。3，已知兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是13，最小公倍數(shù)是78

4、，求這兩個(gè)數(shù)的差。例題 3 甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲次。甲3 天去一次，乙次，乙4 天去一次，丙5 天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會(huì)，問(wèn)至少再過(guò)多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)？分析 從第一次三人在圖書館相會(huì)到下一次再次相會(huì)，相隔的天數(shù)應(yīng)該是3、 4、 5 的最小公倍數(shù)。因?yàn)?3、 4、 5 的最小公倍數(shù)是60，所以至少再過(guò)60 天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)。練習(xí)三1， 1 路、 2 路和 5 路車都從東站發(fā)車， 1 路車每隔 10 分鐘發(fā)一輛， 2 路車每隔 15 分鐘發(fā)一輛，而 5 路車每隔 20 分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時(shí)發(fā)車后，至少要過(guò)多少分鐘又

5、這三種路線的車同時(shí)發(fā)車？2，甲、乙、丙從同一起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120 秒，乙跑一圈用 80 秒，丙跑一圈用 100 秒。問(wèn)：再過(guò)多少時(shí)間三人第二次同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)？3，五年級(jí)一班的同學(xué)每周一都要去看軍屬?gòu)垹敔敚嗟耐瑢W(xué)每6 天去看一次，三班的同學(xué)每?jī)芍苋タ匆淮?。如果“六一”兒童?jié)三個(gè)班的同學(xué)同一天去看張爺爺，那么，再過(guò)多少天他們?nèi)齻€(gè)班的同學(xué)再次同一天去張爺爺家？例題 4 一塊磚長(zhǎng) 20 厘米，寬 12 厘米，厚 6 厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？分析 把若干個(gè)長(zhǎng)方體疊成正方體，它的棱長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的公倍數(shù)。現(xiàn)在要求長(zhǎng)方體磚塊最少，它的棱長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)

6、方體長(zhǎng)、寬 、 高的最小公倍數(shù)，求出正方體棱長(zhǎng)后，再根據(jù)正方體與長(zhǎng)方體體積之間的關(guān)系就能求出長(zhǎng)方體磚的塊數(shù)。練習(xí)四1，用長(zhǎng) 9 厘米、寬 6 厘米、高 7 厘米的長(zhǎng)方體木塊疊成一個(gè)正方體，至少需要用這樣的長(zhǎng)方體多少塊？2，有200 塊長(zhǎng) 6 厘米、寬 4 厘米、高 3 厘米的長(zhǎng)方體木塊，要把這些木塊堆成一個(gè)盡可能大的正方體，這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？3，一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)2.7 米、寬 1.8 分米、高 1.5 分米，要把它切成大小相等的正方體小塊，不許有剩余，這些小正方體的棱長(zhǎng)最多是多少分米？例題 5 甲每秒跑 3 米，乙每秒跑4 米，丙每秒跑2 米，三人沿600 米的環(huán)形跑道從同一地點(diǎn)同時(shí)

7、同方向跑步，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？分析甲跑一圈需要600+3=200秒，乙跑一圈需要600+ 4=150秒，內(nèi)跑一圈需要600+2=300秒。要使三人再次從出發(fā)點(diǎn)一齊出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間一定是200、 150和 300 的最小公倍數(shù)。 200、 150 和 300 的最小公倍數(shù)是600，所以，經(jīng)過(guò)600 秒后三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)。練習(xí)五1，有一條長(zhǎng) 400 米的環(huán)形跑道，甲、乙二人同時(shí)同地出發(fā)，反向而行， 1 分鐘后第一次相遇；若二人同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，則 10 分鐘后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。2，一環(huán)形跑道長(zhǎng) 240 米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒

8、行8 米，乙每秒行 6 米，丙每秒行5 米。至少經(jīng)過(guò)幾分鐘，三人再次從原出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)？3，甲、乙、丙三人在一條長(zhǎng)240 米的跑道上來(lái)回跑步，甲每秒跑4 米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3 米。若三人同時(shí)從一端出發(fā)，再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三人又從此處同時(shí)出發(fā)？第 1 講 平均數(shù) （一）一、知識(shí)要點(diǎn)把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問(wèn)題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量X平均數(shù)二、精講精練【例題 1】 有 4 箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42 個(gè)，梨

9、、橘子、桃平均每箱 36 個(gè)，蘋果和桃平均每箱37 個(gè)。一箱蘋果多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】（1）1箱蘋果+ 1箱梨+ 1箱橘子=42X 3=136 （個(gè)）；（2） 1箱桃+ 1箱梨+ 1箱橘子=36X 3=108（個(gè)）（3） 1箱蘋果+ 1箱桃=37X 2=72（個(gè)）由（ 1） （ 2）兩個(gè)等式可知：1 箱蘋果比 1 箱桃多126 108=18（個(gè)），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1 箱桃有（ 74 18） +2=28 （個(gè)），1 箱蘋果有 28+18=46 （個(gè)）。1箱蘋果和1箱桃共有多少個(gè)：37X2=74 （個(gè)）1箱蘋果比1箱桃多多少個(gè)：42X3 36=18 （個(gè)）1 箱蘋果有多少個(gè)： 28 18

10、=46（個(gè)）練習(xí) 1：一次考試，甲、乙、丙三人平均分91 分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分 95 分。問(wèn)：甲、丁各得多少分？甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120 千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？甲、乙、丙三個(gè)小組的同學(xué)去植樹(shù)，甲、乙兩組平均每組植樹(shù)18 棵，甲、丙兩組平均每組植樹(shù)17 棵，乙、丙兩組平均每組植樹(shù)19 棵。三個(gè)小組各植樹(shù)多少棵？【例題2】 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，全班平均分是91.2 分，已知女生有21 人，平均每人92分；男生平均每人90.5 分。求這個(gè)班男生有多少人？【思路導(dǎo)航】X21=16.

11、8 （分），應(yīng)補(bǔ)給每個(gè)男生0.7分，16.8里包含有24個(gè)0.7 ,即全班有 24 個(gè)男生。練習(xí) 2：兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152 下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160 下。乙組有多少人？有兩塊棉田， 平均每畝產(chǎn)量是92.5 千克， 已知一塊地是5 畝， 平均每畝產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85 千克。這塊田是多少畝？把甲級(jí)和乙級(jí)糖混在一起，平均每千克賣 7 元，乙知甲級(jí)糖有4 千克，平均每千克8 元；乙級(jí)糖有2 千克，平均每千克多少元？【例題3】 某 3 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是2. 如果把其中一個(gè)數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來(lái)是多少？【思路導(dǎo)航

12、】原來(lái)三個(gè)數(shù)的和是2X3=6,后來(lái)三個(gè)數(shù)的和是3X 3=9, 9比6多出了是因?yàn)榘涯莻€(gè)數(shù)改成了4。因此，原來(lái)的數(shù)應(yīng)該是4 3=1。練習(xí) 3：已知九個(gè)數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個(gè)數(shù)改為 1. 那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 8。這個(gè)改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少?甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是 90分?？墒牵自诔?數(shù)時(shí)，把自己的分錯(cuò)抄成了 87分，因此，算得四人的平均分是 88分。求甲在這次考試中 得了多少分？【例題4】 五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績(jī)91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績(jī)時(shí)將一位 同學(xué)的98分誤作89

13、分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績(jī)是 91.7分，五一班有多少 名同學(xué)？【思路導(dǎo)航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績(jī)上升 91.7 91.5=0.2 （分）。9里面包含有幾個(gè)0.2.五一班就有幾名同學(xué)。練習(xí)4:.五（1）班有40人，期中數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平均 分為92分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為100分，這次五（1）班同學(xué)期中考試的平均分是多 少分？.某班的一次測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)是91.3分。復(fù)查時(shí)發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作97分計(jì) 算，經(jīng)重新計(jì)算，該班平均成績(jī)是 91.1分。問(wèn)全班有多少同學(xué)？.五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是18,把其中一個(gè)數(shù)改為6后，這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是16。這個(gè)改 動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？【例題5】 把五個(gè)數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是 38。前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是27,后三 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個(gè)數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】 先求出五個(gè)數(shù)的和：38X5=190,再求出前三個(gè)數(shù)的和：27X3=81.后三 個(gè)數(shù)的和：48X3=144。用前三個(gè)數(shù)的和