全等三角形證明經(jīng)典題(含答案)

1、全等三角形證明經(jīng)典題（含答案）.已知：AB=4 , AC=2 , D 是 BC 中點，111749AD 是整數(shù)，求 AD解：延長 AD至ij E,使AD=DE ; D是BC中點 BD=DC在 ACD和 BDE中AD=DE / BDE= / ADC BD=DC ACD 9 BDE AC=BE=2 在 ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE -AB=4 即 4-2v2AD4+2 1vAD3，AD=2 一 ，一，、 一 1 .已知：D是AB中點，/ ACB=90 ,求證：CD - AB2A延長CD與P,使D為CP中點。連接 AP,BP. DP=DC,DA=DB . ACBP為平行四邊形 又

2、/ ACB=90 平行四邊形 ACBP為矩形 .AB=CP=1/2AB3.已知：BC=DE , /B=/E, /C=/D, F 是 CD 中點，求證：/ 1 = /2證明：連接BF和EF BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 二.三角形 BCF 全等于三角形 EDF（邊角邊）BF=EF, /CBF=/DEF 連接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF/ EBF= / BEF。 /ABC=/AED。/ABE=/AEB。 AB=AE。在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF二.三

3、角形 ABF 和三角形AEF 全等。/ BAF= / EAF ( / 1 = / 2)。.已知：/ 1 = /2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC過C作CG/ EF交AD的延長線于點 G CG/EF,可得，/ EFD=CGDDE= DC/ FDE=/ GDC (對頂角) EFD仁 CGDEF=CG / CGD= / EFD 又 EF/ AB，/EFD=/1/1=/2/ CGD= / 2 AAGC 為等腰三角形， AC= CG 又 EF= CGEF = AC.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求證：/ B=2 / C證明：延長 AB取點E,使AE=AC,連接DE

4、(SAS) AD 平分/ BAC / EAD = / CAD-AE = AC , AD = AD AED ACD / E=/ CAC = AB+BD ，AE=AB+BD -AE = AB+BE BD = BE / BDE = / E. / ABC = / E+/ BDE . ABC =2/ E.-.Z ABC = 2/ C.已知：AC 平分/ BAD , CEXAB , /B+/D=180 ,求近 證明：在AE上取F,使EF=EB,連接CF. CEXAB .CEB=Z CEF=90. EB = EF, CE = CE,/.A CEBA CEF，/B=/CFE . / B+Z D= 180 ,

5、Z CFE+Z CFA= 180 .Z D = Z CFA AC 平分/ BAD / DAC = / FAC. AC =AC ADCA AFC (SAS)AD = AF.AE = AF + FE= AD + BE.如圖，四邊形 ABCD中，AB /DC, BE、CE分別平分/ ABC、/ BCD,且點E在AD 上。求證：BC=AB+DC 。在BC上截取BF=AB ,連接EF BE 平分/ ABC ABE= / FBE 又.BE=BE ABEN FBE (SAS)/ A= / BFE . AB/CD 二 / A+ / D=180o-/ BFE+ / CFE=180o.Z D= / CFE 又/

6、DCE= / FCE CE 平分/ BCD CE=CEDC/DCEEFCE (AAS) . . CD=CFBC=BF+CF=AB+CDAF=CD ,EF=BC,求證：Z F=ZCAB | ED,得：/ EAB+ ZAED= Z BDE+ / ABD=180 度, / EAB= / BDE ,/ AED= / ABD ,四邊形ABDE是平行四邊形。.得：AE=BD ,. AF=CD,EF=BC ,三角形AEF全等于三角形DBC,./ F=Z Co9.已知：AB=CD , /A=/D,求證：/ B=/C證明：設(shè)線段 AB,CD所在的直線交于 E,（當(dāng)ADBC時，E點是射線 AB,DC的交點）。則：

7、 AED是等腰三角形。，AE=DE而AB=CD1 BE=CE （等量加等量，或等量減等量）BEC是等腰三角形/ B= / C. P是/ BAC 平分線 AD 上一點，ACAB ,求證：PC-PBAC-AB在 AC 上取點 E,使 AE = AB。. AE = AB AP =AP / EAP =/ BAE , EAP BAP .PE = PB。PCvEC + PE，PCv (AC AE) + PB . PC PB v AC AB。.已知/ ABC=3/C, / 1 = /2, BEXAE ,求證：AC-AB=2BE證明：在AC上取一點D ,使得角DBC二角C / ABC=3 ZC-.Z ABD=

8、 / ABC- / DBC=3 / C- / C=2 / C ; / ADB= / C+ / DBC=2 / C;，AB=AD.AC - AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形 ABD中，AE是角BAD的角平分線，.AE垂直BD ,BEAE .點E一定在直線 BD上，在等腰三角形 ABD中，AB=AD , AE 垂直 BD.點 E 也是 BD 的中點BD=2BE -BD=CD=AC-AB . .AC-AB=2BE.已知，E 是 AB 中點，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求 DC作 AG/ BD 交 DE 延長線于 G，AGE 全等 BDE . . AG=BD=5 ，AGFsC

9、DF AF=AG=5 .1. DC=CF=2.如圖，在 ABC 中，BD=DC, / 1 = /2,求證：ADXBC. 解：延長AD至BC于點E, BD=DC . BDC是等腰三角形/ DBC= / DCB又. / 1= / 2.-/ DBC+ / 1= / DCB+ / 2即 / ABC= / ACB ABC 是等腰三角形，AB=AC在 4ABD 和 4ACD 中 AB=AC /1=/2 BD=DC.ABD和4ACD是全等三角形(邊角邊) ./ BAD= / CAD AE 是 4ABC 的中垂線 AE XBC AD XBC14.如圖，OM 平分/ POQ, MAOP,MBOQ, A、B 為垂

10、足，AB 交 OM 于點 N. 求證：/ OAB=/OBA證明：. OM 平分/ POQ Z POM = Z QOM / MA OP, MB OQ / MAO = / MBO = 90 OM = OM AOM BOM (AAS ) OA = OB-ON = ON AONA BON(SAS) . . / OAB= Z OBA , / ONA= / ONB. / ONA+ Z ONB = 180.-Z ONA =Z ONB =90，OM AB15. （5分）如圖，已知 AD/BC, / PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E, CE的連線 交 AP 于 D .求證：AD +BC =AB .C

11、做BE的延長線，與 AP相交于F點，: PA/BC ./ PAB+/CBA=180 ,又.， AE , BE 均為/ PAB 和 / CBA 的角平分線. EAB+/EBA=90 . . / AEB=90 , EAB 為直角三角形在三角形 ABF中，AE BF ,且AE為/ FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF與三角形BEC中,/ EBC= / DFE,且 BE=EF , / DEF= / CEB ,三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC如圖：DF=CE AD=BC / D=Z C。求證： AED BFG

12、證明： DF=CE DF -EF=CE-EF,即 DE=CF 在AED和 ABFC 中，AD=BC Z D=Z C , DE=CF . . AAEIDABFC（ SAS如圖：AE、BC交于點M,F點在AM上，BE/CF,BE=CF求證：AM ABC的中線。證明： BE| CF，/ E=Z CFM / EBMW FCMBE=CF-. BE陣 CFM. BM=CM .AM是 ABC的中線.（10分）如圖：在 ABC中，BA=BC D是AC的中點。求證： BD AG ABDA BCD的三條邊者B相等 ABD=A BCD. / ADBh CD. / ADB4 CDB=90 BD AC（10分）AB=A

13、C DB=DC F是AD的延長線上的一點。求證： BF=CF在4ABD與4ACD中 AB=AC BD=DC AD=ADA AB陰 ACD= / ADB=Z ADC / BDF=Z FDC 在 BDFA FDC中 BD=DQ BDF=Z FDC DF=DF. FB無 FCDBF=FC（12 分）如圖：AB=CD AE=DF CE=FB 求證：AF=DEAF AB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB . ABE= CDF / Z DCB= Z ABF AB=DC BF=CE ABF= ACDEAF=DE.公園里有一條“ Z字形道路 ABCD,如圖所示，其中 AB/CD,在AB,

14、CD, BC三段 路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE=CF, M在BC的中點，試說明三只石凳 E, F, M恰好在一條直線上.A BC F D證明：連接 EF.AB / CD. / B=ZC,.M 是 BC 中點，BM=CM 在 4BEM 和 CFM 中BE=CF/B=/C BM=CM /.A BEM CFM (SAS) . . CF=BE.已知：點 A、F、E、C在同一條直線上， AF = CE, BE / DF , BE = DF .求證： ABE ACDF.DCC第2題】,AF=CE,FE=EF.，AE=CFDFBE,/ AEB之 CFD （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,. BE=D

15、F .： ABEEACDF（ SA9.已知：如圖所示，AB=AD, BC=DC, E、F分別是 DC、BC的中點，求證： AE = AF。連接 BD ; AB=AD BC=D/ ADB= / ABD / CDB= / ABD;兩角相加，/ ADC= / ABC ; BC=DC EF 是中點DE=BF ; AB=AD DE=BF / ADC= Z ABC . . AE=AF 。24.如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點，/ 1 = 7 2, / 3= / 4,求證：/5=/6.D證明：在 ADC ABC中 : AC=AC / BACh DAG / BCA=Z DCA . .AD隼 ABC

16、(兩角加一邊) AB=AD BC=CD在 DECABEC中 / BCAh DCA CE=CE BC=CD.DE隼 BEC(兩邊夾一角)DECh BEC25.已知 AB/DE, BC/EF, D, C 在 AF 上，且 AD=CF,求證：AABCADEF. AD=DF - AC=DFABDE / A=Z EDF 又BCEF / F=Z BCA .ABC DEF( ASAF,求26.已知：如圖，AB=AC, BD AC, CE AB,垂足分別為 D、E, BD、CE相交于點 證：BE=CD.證明：- BD AC BDC=90 / CEXAB.Z BEC=90 . . / BDC= / BEC=90

17、. AB=AC . DCB= /EBC，BC=BC RtABDC RtABEC (AAS) . . BE=CD.如圖，在 ABC中，AD為/BAC的平分線，DE LAB于E, DF，AC于F。求證：DE=DF .證明：. AD 是/ BAC 的平分線. EAD= Z FAD / DEXAB , DFXAC/ BFD= / CFD=90 . / AED 與/ AFD=90 在4 AED 與 AFD 中/ EAD= / FAD AD=AD / AED= / AFDAEDA AFD (AAS). AE=AF 在 AEO 與 AFO 中/ EAO= / FAO AO=AO AE=AF. AEOA AF

18、O ( SAS) / AOE= / AOF=90 AD EF.已知：如圖，AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC =AE .若 AB = 5，求 AD 的長?A. AD AB / BAC= Z ADE 又; AC BC 于 C, DE AC 于 E根據(jù)三角形角度之和等于 180度，ZABC= Z DAE / BC=AE , ABC DAE (ASA) .AD=AB=5.如圖所示，已知 AE AB, AFL AC, AE=AB AF=AC 求證：(1) EC=BF (2) EC! BF(1) 1. AEX AB, AF AC,，/BAE土 CAF=9(J ,

19、 . . / BAE4Z BAC=/CAF+/BAC 即/EACWBAF,在ABF和 AEC中，AE=AB / EACh BAF, AF=AC， ABH AEC(SAS), . EC=BF(2)如圖，根據(jù)(1), AABF AE(C / AECh ABF, / AE AR / BAE=90 ,/ AEC+/ADE=90 , /ADEMBDM對頂角相等), . / ABF+/BDM=90 ,在 BDM43, / BMD=180 -Z ABF-Z BDM=180 -90 =90 ,EC! BF.(1) AM=AN ; (2) AM LAN。30.如圖：BEXAC , CF AB , BM=AC ,

20、 CN=AB。求證:證明：(1) BEX AC, CFAB ABM+ / BAC=90 , Z ACN+ Z BAC=90 / ABM=ZACN BM=AC , CN=AB . . ABM NAC . . AM=AN. ABM NAC/ BAM= / N/ N+ Z BAN=90 / BAM+ / BAN=90 即/ MAN=90 .-.AM AN1、如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點 G是2、如圖,BC延長線上一點，連結(jié) AG,點E、F分別在AG上，連接 BE、DF, /1=/2 ,/3=/4.(1)證明： ABEA DAF ;(2)若/ AGB=30 ,求 EF 的長.AB AC,

21、 AD BC于點 D, AD AE, AB平分 DAE交DE于點 F,請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明.【解析】(1) .四邊形ABCD是正方形，.AB=AD , HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 21AB DA, 一43在 ABE 和 DAF 中，A ABE A DAF.(2)二.四邊形 ABCD是正方形， 1 + 2 4=90丁 / 3=/4, 1 + 2 3=90AFD=90 在正方形ABCD中，AD / BC, 1 = /AGB=30在 RtAADF 中，/ AFD=90 AD=2 ,3 af= 3 , DF =1,由(

22、1)得 ABE / ADF,AE=DF=1,(1)AADBA ADC、 ABD ABE、AAFDA AFE. BFDA BFE、 ABEA ACD (寫出其中的三對即 可).(2)以AD ADCm列證明.證明：,J AD BC, ADB ADC 90 .在 RtADB 和 RtADC 中，v AB AC, AD AD,RtAADBRtAADC .3、在匕ABC中,AB=CB, / ABC=90,F為AB延長線上 一點，點E在BC上，且AE=CF.(1)求證：RtAABFE/RtACBF;(2)若/ CAE=30,求/ ACF 度數(shù).EF=AF-AE=即/ ACEN BCD,第22題圖AC BC

23、【解析】Z ABC=90 ： / CBF=/ABE=90 在 RtAABE 和 RtACBF 中AE=CF, AB=BC : Rt ABE Rt CBF(HL)AB=BC, / ABC=90 :/ CAB= /ACB=45 :/ BAE= / CAB- / CAE=45 -30 =15 .由(1)知 RtAABE RtACBF ,： / BCF=/BAE=15 ：/ ACF= / BCF+/ACB=45 +15 =60在4ACE 和4BCD 中， ACE BCDCE CD A ACEA BCD (SAS),.AE=BD.5、如圖 10 ,已知 Rt ABC Rt ADE ,ABC ADE 90

24、 ,BC與DE相交于點F ,連接CD, EB .(D圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；(2)求證：CF EF .【解析】(1) ADC ABE, CDF EBF4、已知：如圖，點C是線段 AB的中點，CE=CD/ACD=/ BCE,求證：AE=BD題20圖(2)證法一：連接CE【解析】,點C是線段AB的中點,AC=BC ,/ ACD支 BCE,Rt ABC Rt ADEAC AE. ACE AEC又 Rt ABC Rt ADEACB AED Z ACD吆 DCEW BCE廿 DCE, A ABCA AEDAB=AEACE ACBAEC AED即 BCEDEC. CF EF證法二： Rt A

25、BC Rt ADEAC AE,AD AB, CAB EADCAB DAB即 CAD.ACDCD EB,又: ADECDF又 DFCCDFCF EFEAD DABEABAEB(SAS)ADC ABEABCEBFBFEEBF(AAD)(2) BEAF,BE/CD,AF 平分 BE7、如圖l,已知正方形 ABCD的對角線AC、BD相交 于點O , E是AC上一點/E EB、過點A作AM BE, 垂足為M , AM夕BD .烝求證：OE=OF;E(2)如圖2,若點E在AC的延長線上，AM BE于點M,交DB的延長線于點 F,其它條件不變，則結(jié)論OE=OF還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說

26、明理由.6、如圖，點F是CD的中點，且AFXCD, BC =ED, / BCD = / EDC .(1)求證：AB=AE ;(2)連接BE,請指出BE與AF、BE與CD分別有怎樣的關(guān)系？(只需寫出結(jié)論，不必證明).【解析】(1)證明：聯(lián)結(jié)AC、AD,點 F 是 CD 的中點，且 AFCD, ： AC=ADACD=/ADC:/ BCD = / EDCACB=/ ADEBOE= AOF =90 . OB = OA又 AM BE ,MEA+ MAE =90 = AFO+ MAEMEA = AFO RtABOE RtAAOFOE=OFBC=DE , AC=AD(2)OE = OF 成立等邊三角形中,A

27、B AC,B CAP 600證明:四邊形ABCD是正方形,BOE=AOF =90.OB=OA又由條件得 AP=BQ, AMF+ MBF90B+ OBECAP (SAS)又二MBF = OBEBAQACPF= ERtABOE RtAAOFCMQ ACPCAMBAQCAMBAC600.OE=OF8、如圖1,點P、Q分別是邊長為4cm的等邊？ ABC邊(2)設(shè)時間為t ,則AB=BQ=t PB=4-tAR BC上的動點，點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s,(1)連接AQ CP交于點M,則在P、Q運動的過PQB 900 時,B 600, PB2BQ,得 42t,t程中，/

28、CM破化嗎？若變化，則說明理由,若不變，則求出它的度數(shù);(2)何時？PBQ直角三角形?BPQ 90 時,B 600, BQ2PQ,得 2t2(4 t),t(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AR BC上運動，直線 AQ CP交點為M,則/ CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若4：當(dāng)?shù)?？秒或?2秒時，？PBQ為直角三角形(1)CMQ CMQ120不變。不變，則求出它的度數(shù);60不變。PCBMCQCMQPBC 12006009、如圖：ACB與 DCE是全等的兩個直角三角形,其中 ACB= DCE=90, AC=4, BC=2 點 D C、B 在S t2 t 2同一條直線上，點 E在邊AC上.0 t 2 當(dāng)t(1)直線DE與AB有怎樣的位置關(guān)系？請證明你1 , ，一時，s的值最大.2的結(jié)論;(2)如圖(1)若 DCE沿著直線DB向右平移多少距離時,點E恰好落在邊AB上，求平移距離DD;DCE沿著直線DB向右平移的過程中，使DCE與