高中數(shù)學(xué)胡不歸與阿氏圓

1、“ PA+k PB ”型的最值問題【問題背景】“PA+k PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。.當(dāng)k值為1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“ PA+PB ”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理；.當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn) P在圓上運(yùn)動(dòng)。(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題。【知識(shí)儲(chǔ)備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第

2、三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（-）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知si口/UBN二k, *P為角/MBN其中一邊BM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，點(diǎn)A在射線畫” BN的同側(cè),連接AP,則馮“PA+kFB”的值在小時(shí)，P點(diǎn)的 也也如何確定?分析：本題的關(guān)健在如何確定LP1T的大小，過點(diǎn)P作n上那垂足為 Q. 則 k PE二PE 呂in/MH、=PQ,:,本題求“PA+k,陽”的最小值轉(zhuǎn)化為求MPA+PQff的最小值（加圖1-1-2） 即A, P.。三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D3），本題得解：思考：當(dāng)k俱大干1時(shí)，“PA4

3、k，廂線敵求和時(shí)題讀如何特化我?褪取累數(shù)k即可【教學(xué)故事】肽前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒1當(dāng)他獲番在家的老父親病危的消息后,例立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切a他只考慮兩點(diǎn)比間篇Bt短的朦 S.所以選擇了全是沙礫雄帶的直線0；經(jīng)A山工如圖所示3而忽視了走折雉雖 然路貍宅但速度快的實(shí)際情況.當(dāng)他氣喘時(shí)呼地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小 秋子失聲痛要.鄰居浙感小伙子時(shí)告訴說,老人彌第之際不斷念叨著&超不歸？ 點(diǎn)不何以打工這個(gè)占者的傳說，羽超人們的思史.小伙子能舍提前到 篆I制若可以,他成讀選擇一條怎樣的路戰(zhàn)呢？這就是風(fēng)靠干（T年的a叫不歸何1典型例題】L （胡不歸問膻）如圖，四邊形即C口是菱形，RB=4,且

4、/ABCXO* ,號為對龜線即（不含H點(diǎn)）上任意一點(diǎn).則2M+；網(wǎng)的最小值為分析r如何揩;BM轉(zhuǎn)化為其他線段呢?即本題k值為白必須轉(zhuǎn)化為某角的正弦信啊.即轉(zhuǎn)化為30角的正弦值.思考到這里.不難發(fā)現(xiàn)，只要作MN垂直于K，刀則即最小轉(zhuǎn)化為AM MN最小，本題得解。 7詳解：如圖.作趾U于BC垂足為風(fēng)7四邊格ABCD是菱形H/ABO60 .A ZDBC=30fl ,即向NDBC十券，2二 AM+=BM=AM+MC,即 AM+；BM 的最小值為 AK 在RT4ABN中，AN=AB 式口上祝=8立=4,amTbm的最小值為3G(216 -56.52 ) +216【模型初探】（二）點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)阿氏圓”問題

5、如圖所示2T-L 00的半徑為r,點(diǎn)機(jī)B都在外，P為。0卜一的動(dòng)點(diǎn),已知r二k OB.連接PA, PB,則當(dāng)*PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確2-1-1圖 2-1-2一 分析：本題的關(guān)犍在于如何確定k,PB的大小C如圖2千）在線段QB 上截取0C使OC=k r,則可說明BP0與ziPCO相似，即k PB=P&，本題求“P/k *FB”的最小值轉(zhuǎn)化為求PA+PC”的最小值,即A, P、C 三點(diǎn)共線時(shí)最小（如圖2-17），本題待解。【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯國.己知平面上兩點(diǎn)A、乩則所有滿足 PA=kPE （kWD的點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)回.這個(gè)軌跡最先由古希睛數(shù)學(xué)家阿波羅尼 斯發(fā)現(xiàn)，故

6、稱“阿氏圓,。阿氏圓” 一般解題步驟；第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0 （將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與IH心 相連接），則連接OP、0B;第二步:計(jì)算出所連接的這兩條線段OF、0B長度：第三步：計(jì)算這兩條畿段長度的比籌=%第四步：在0B上取點(diǎn)C.使得若二器；第五步：連接AC,與圓口交點(diǎn)即為點(diǎn)匕【模型類比】“胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等于小于1系數(shù)起點(diǎn)構(gòu)造所需角（ksin/CAE）過終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線利用垂線段最短解決問題“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造PAfisCAP 推出 El = .4BAC即：半徑的平方=原有線段k構(gòu)造線段2.（阿氏問題）如圖.點(diǎn)A、B在。上，且O，=OBW.且OA-OE點(diǎn)C

7、是0A的中點(diǎn)，點(diǎn)D在0B上，旦ODM,動(dòng)點(diǎn)P在00上,則工PEPD的最小值為分析；如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn),即2倍關(guān)系就出現(xiàn)了口套用“阿氏圓”模型;構(gòu)造共邊共角相似華輕的平方;原有線段乂構(gòu)造線段詳解：二連接OP,也射線CM卜截取肚力.即：0產(chǎn)=OCxOE/-OPCAOEP二 PE = 1PC TOC o 1-5 h z 二2PC+PD = PE + PD,即P、D. E三點(diǎn)共線最小一/在 RTAdED l、DE = y/oDOE- = !6 + 144 = 4Vio即2PC +PP的最小值為4國.變式思考；(D本題如要求upc+1pd的最小值你會(huì)求嗎?本題如要求mp

8、口”的最小俏你會(huì)求嗎?答案：(1)二弧(.2 )際枳.738 =73.8 % （胡不歸問題）【中考真題】L （2016徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)產(chǎn)我x：+bx+c的國像好i；點(diǎn)A （-1, 0）, D （0.-3 ）. C （2, 0L其中對稱軸與x軸交于點(diǎn)兒若P為V軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接FD,則工用斗的最小值為.b-2. 12014.成都）如圖，已知拋物線下=口 + 2）（l-4）與意軸從左至右依次交于點(diǎn) MB,與y軸交于點(diǎn)C經(jīng)過點(diǎn)B的直線乎與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D1-Q1） .設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā).沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B

9、再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程子用時(shí)戢少？答案：，（-二2班）【中考典款】（2017甘肅蘭州）如圖T拋物線卜區(qū)與直找.仍交于.4 4, 4 , 3 0,1 TOC o 1-5 h z 兩點(diǎn)*直線文工工后交F軸與點(diǎn)7.點(diǎn)E/3八/是直戈貼上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)直作且Ut軸交建/ /（于點(diǎn)尸.交拋物線于點(diǎn)G. / / ;求拋物線昨4取”的表達(dá)式；/ - 連接W,K。,當(dāng)四邊影皿成是平行四邊才）、 形時(shí)，求點(diǎn)衣的坐標(biāo):/不個(gè)卜0）在F軸上存在一點(diǎn)，連接41，/ I J 當(dāng)點(diǎn)X運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以抵瓦F.H為頂點(diǎn)的四過形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)EH的坐房在的前提下，以點(diǎn)為圓心.組長為半徑作圓，點(diǎn)加為。百匕一動(dòng)點(diǎn)，求 匕加十仁火的最小值.答案，(1) r= x3 - 2x+4； (2) C ( - 2, 4)； (3)E ( - 2, 0). H (0， - 1)；述10“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即“PA+k PB（k*1的常數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即將k PB這條線段的長度轉(zhuǎn)化為某條具體線段PC的長度，進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)造最短距離。不過兩類問題的難點(diǎn)都在于如何對k值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，“胡不歸”需要構(gòu)造某角的正弦值等于k（如k值1則要先