MATLAB第二講數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算

1、第二講 數(shù)值計(jì)算和符號(hào)運(yùn)算1.數(shù)值計(jì)算1.1 矩陣和數(shù)組基礎(chǔ)創(chuàng)建矩陣元素標(biāo)識(shí)矩陣操作矩陣函數(shù)1.2 矩陣和數(shù)組的計(jì)算1.3 多項(xiàng)式運(yùn)算 MATLAB語(yǔ)言把多項(xiàng)式表達(dá)成一個(gè)行向量，該向量中的元素是按降冪排列多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的，如果缺某次冪項(xiàng)，則該次冪項(xiàng)系數(shù)為。 f(x)=anxn+an-1xn-1+ a1x+a0 用行向量 p=an an-1 a1 a0表示。多項(xiàng)式 行向量可用polyval函數(shù)，計(jì)算多項(xiàng)式在變量為特定值的結(jié)果。1.3.1 多項(xiàng)式求值例2：計(jì)算x=0:0.5:3時(shí)，p(x)=x3+21x2+20 x值。解：p1=1 21 20 0;x=0:0.5:3;polyval(p1,x) 0

2、 15.3750 42.0000 80.6250 132.0000 196.8750 276.00001.3.2多項(xiàng)式求根 -求方程的解例3：p(x)=x3-6x2-72x-27 在MATLAB利用函數(shù)：roots解：p=1 -6 -72 -27r=roots(p)r =12.1229 -5.7345 -0.38841.3.3 部分分式展開利用residue函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)部分分式展開。語(yǔ)法：r,p,k=residue(B,A) 其中：B,A分別為分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量； r為r1,rn留數(shù)行向量； p為p1pn極點(diǎn)行向量； k為直項(xiàng)行向量。1.3.4 多項(xiàng)式乘除運(yùn)算多項(xiàng)式的乘法語(yǔ)法：p=con

3、v(p1,p2)說(shuō)明：p是多項(xiàng)式p1和p2的乘積多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的除法語(yǔ)法：q,r=deconv(p1,p2)說(shuō)明：p1被p2除，商為多項(xiàng)式q，余數(shù)式為r。1.3.4 多項(xiàng)式乘除運(yùn)算（續(xù)）例4：a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x;求c=a(x)*b(x)。解：a=1 2 3;b=4 5 0;c=conv(a,b)c = 4 13 22 15 0d,r=deconv(c,a)d = 4 5 0r = 0 0 0 0 0（1）字符串用字符數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)，以單引號(hào) 來(lái)界定。（2）常見(jiàn)的字符串函數(shù)： length(str):計(jì)算字符串的長(zhǎng)度； double(str):查看字符串的ASCII碼

4、; char(x):將ASCII碼轉(zhuǎn)換成字符串形式; strcmp(x,y):比較兩字符串是否相同； strcat(s1,s2,):字符串級(jí)連函數(shù); findstr(x,x1):查找x中是否有x1；（3）執(zhí)行字符串： eval(str)命令 例1：str1=a=2*3; eval(str1) a=61.4 字符串（1）元胞數(shù)組的基本單元是元胞，每個(gè)元胞可存放不同類型（矩陣、數(shù)組、字符串等）的數(shù)據(jù)，以 來(lái)界定。（2）元胞數(shù)組的創(chuàng)建： 方法1：直接創(chuàng)建 如：A=THIS，3 4;ones(3),ONE，TWO方法2：由各元胞創(chuàng)建 如：A(1,1)=THIS A(1,2)=3 4 A(2,1)=on

5、es(3) A(2,2)=ONE，TWO (3)元胞數(shù)組元素內(nèi)容的獲?。?X=A2,1 X=1 1 1; 1 1 1; 1 1 1 1.5 元胞數(shù)組（1）結(jié)構(gòu)數(shù)組的基本組成是結(jié)構(gòu)，每個(gè)結(jié)構(gòu)都包含某一對(duì)象的多個(gè)域，以.來(lái)標(biāo)識(shí)域。（2）結(jié)構(gòu)數(shù)組的創(chuàng)建： 方法1：TU(1)=struct(name,曲線1，color,red,) 方法2：TU(1).name=曲線1； TU(1).color=red TU(1).shape=sin； TU(1).position=0 pi TU(2).name=曲線2； TU(2).color=blue TU(2).shape=cos； TU(2).position

6、=0 2*pi(3)結(jié)構(gòu)數(shù)組元素內(nèi)容的獲?。河?號(hào)來(lái)獲取 X=TU(2).shape X=cos1.6 結(jié)構(gòu)數(shù)組1.7 數(shù)據(jù)分析遵循的原則： （1）如果輸入是向量，則按整個(gè)向量進(jìn)行 計(jì)算。 （2）如果輸入的是矩陣，則按列進(jìn)行運(yùn)算。因此:一定要將需要分析的數(shù)據(jù)按列進(jìn)行分類。若已有的矩陣是按行進(jìn)行分類的，可用矩陣的旋轉(zhuǎn)使矩陣變成按列進(jìn)行分類函數(shù)名功能max(X)矩陣中各列的最大值。min(X)矩陣中各列最小值。mean(X)矩陣中各列平均值。std(X)矩陣中各列標(biāo)準(zhǔn)差，指各元素與該列平均值(mean)之差的平方和開方。median(X)矩陣中各列的中間元素。var(X)矩陣中各列的方差。C=co

7、v(X)矩陣中各列間的協(xié)方差。S,k=sort(X,n)沿第n維按模增大重新排序，k為S元素的原位置。1.7.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和相關(guān)分析函數(shù)名功能diff(X,m,n)沿第n維求第m階列向差分。差分是求相鄰行(列)之間的差，結(jié)果會(huì)減少一行（列）fx,fy=gradient(Z)對(duì)Z求x、y方向的數(shù)值梯度。sum(X)矩陣各列元素的和。cumsum(X,n)沿第n維求累計(jì)和cumprod(X,n)沿第n維求累計(jì)乘積trapz(x,y)梯形法求積分近似于求元素和，把相鄰兩點(diǎn)數(shù)據(jù)的平均值乘以步長(zhǎng)表示面積。x為自變量，y為函數(shù)。cumtrapz(x,y,n)用梯形法沿第n維求函數(shù)y對(duì)自變量x累計(jì)積分。1.7

8、.2 差分與積分1.7.3 卷積和快速傅立葉變換-離散序列卷積Conv： 計(jì)算向量的卷積。 conv2：計(jì)算二維(矩陣或二維數(shù)組)卷積。deconv：解卷積運(yùn)算。 快速傅立葉變換 fft：一維快速傅立葉變換。 ifft：一維快速傅立葉逆變換。課程導(dǎo)入求半徑為5的圓的面積數(shù)值運(yùn)算： r=5 s=pi*r2 s = 78.5398如果要求求解的精度保留到小數(shù)點(diǎn)后10位,怎樣求解呢？符號(hào)運(yùn)算是數(shù)值運(yùn)算的擴(kuò)展,為了得到更高精度的運(yùn)算結(jié)果符號(hào)運(yùn)算：syms s r s=pi*r2 r=5 s=vpa(subs(s),32) s =78.5398163397448 3096882 符號(hào)運(yùn)算2.1 符號(hào)對(duì)象

9、的建立2.1.1 創(chuàng)建符號(hào)常量（sym是symbolic縮寫）語(yǔ)法：sym(常量) 例1：創(chuàng)建數(shù)值常量和符號(hào)常量a1=2*sqrt(5)+pi %數(shù)值常量a2=sym(2*sqrt(5)+pi) %符號(hào)常量符號(hào)對(duì)象：是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用來(lái)存儲(chǔ)代表符號(hào)的字符串，包括符號(hào)常量、符號(hào)變量和符號(hào)表達(dá)式，符號(hào)運(yùn)算的結(jié)果也都是符號(hào)對(duì)象。 （1）使用sym命令創(chuàng)建符號(hào)變量： sym(arg,參數(shù)) %參數(shù)設(shè)置數(shù)學(xué)特性, 可為positive,real,unreal,可省略;符號(hào)表達(dá)式：sym(表達(dá)式) 注意:符號(hào)對(duì)象必須用單引號(hào)括起來(lái)MATLAB才能識(shí)別。例2： f =sym(sin(x)+5*x ) f 符

10、號(hào)表達(dá)式名 sin(x)+5*x 符號(hào)表達(dá)式 符號(hào)標(biāo)識(shí)2.1.2 創(chuàng)建符號(hào)變量和表達(dá)式注意:常數(shù)與符號(hào)變量的相乘不能省*（2）使用syms命令創(chuàng)建：一個(gè)或多個(gè)符號(hào)變量的創(chuàng)建 syms(arg1,arg2,參數(shù)) syms arg1 arg2 參數(shù)例3：f1=sym(a*x2+b*x+c) %方法一 whos Name Size Bytes Class f1 1x1 146 sym objectGrand total is 12 elements using 146 bytessyms a b c x %方法二 f2=a*x2+b*x+c whosName Size Bytes Class a

11、1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object f2 1x1 146 sym object x 1x1 126 sym objectGrand total is 20 elements using 650 bytes注意:方法一只創(chuàng)建了符號(hào)表達(dá)式,沒(méi)有創(chuàng)建符號(hào)變量;而方法二既創(chuàng)建了符號(hào)表達(dá)式,又創(chuàng)建符號(hào)變量.使用sym和syms命令創(chuàng)建A=sym(a,b;c,d) A= a, b c, dsyms f g h kB=f,g;h,k B = f, g h,k 2.1.3 創(chuàng)建符號(hào)矩陣?yán)?:（1）數(shù)值運(yùn)算保留8位有效位數(shù),每

12、一次數(shù)值運(yùn)算有一定的截?cái)嗾`差，重復(fù)的多次數(shù)值運(yùn)算就可能會(huì)造成很大的累積誤差；符號(hào)運(yùn)算不進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，無(wú)截?cái)嗾`差。（2）符號(hào)運(yùn)算可以得出完全的封閉解或任意精度的數(shù)值解。（3）符號(hào)運(yùn)算的時(shí)間較長(zhǎng)，而數(shù)值運(yùn)算速度快。（4）數(shù)值運(yùn)算中必須先對(duì)變量賦值；符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)變量賦值，但必須先定義，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)表達(dá)式形式給出。2.2.1 符號(hào)運(yùn)算與數(shù)值運(yùn)算的區(qū)別2.2 符號(hào)運(yùn)算（1）基本運(yùn)算符符號(hào)矩陣：“+”，“-”，“*”，“”，“/”， “”, “ ” 符號(hào)數(shù)組：“.*”，“./”，“.”，“.”, “. ”（2）關(guān)系運(yùn)算符運(yùn)算符只有“=”，“=”。2.2.2 符號(hào)運(yùn)算中的運(yùn)算符2.2.3 符號(hào)

13、運(yùn)算中的函數(shù)運(yùn)算（1）三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 除atan2外與數(shù)值運(yùn)算(包括使用方法)相同。（2）指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 沒(méi)有l(wèi)og2和log10，其余與數(shù)值運(yùn)算相同。（3）復(fù)數(shù)運(yùn)算 沒(méi)有提供相角的命令，其余與數(shù)值運(yùn)算相同。（4）矩陣代數(shù)命令 與數(shù)值運(yùn)算相同。例5： 求符號(hào)矩陣 的行列式值、共軛轉(zhuǎn)置和特征值。 syms a11 a12 a21 a22A=a11,a12;a21,a22;det(A) %計(jì)算行列式值A(chǔ) %計(jì)算共軛轉(zhuǎn)置eig(A) %計(jì)算特征值2.2.4 符號(hào)運(yùn)算任意精度控制（1）設(shè)置默認(rèn)的全局精度語(yǔ)法：digits(n) %n為期望的有效位數(shù)，默認(rèn) 的為32位。（2）把單個(gè)對(duì)象s表示為n位有

14、效位數(shù)的符號(hào)對(duì)象語(yǔ)法：S=vpa(s,n) %n省略時(shí)按digits給定的 精度a1=2/3a1= 0.6667 %數(shù)值型a2=sym(2/3)a2=2/3digitsdigits=32 %默認(rèn)的32位有理數(shù)型vpa(a2) ans =.66666666666666666666666666666667a3=vpa(2/3,15)a3=0.666666666666667 %VPA型例6：2.2.5 數(shù)值對(duì)象與符號(hào)對(duì)象的相互轉(zhuǎn)換將數(shù)值對(duì)象轉(zhuǎn)化為符號(hào)對(duì)象 格式：sym(s)或vpa(s),其中s為數(shù)值對(duì)象 例7： A = 2.5,1.8;1/1.6,3/5 B = sym(A)或B = vpa(A,

15、n)將符號(hào)對(duì)象轉(zhuǎn)化為數(shù)值對(duì)象 格式：numeric(s)或double(s)或eval(s), 其中s為符號(hào)對(duì)象 例8：a1=sym(2*sqrt(5) a2=eval(a1) ans=4.47212.3.符號(hào)表達(dá)式的操作（1）當(dāng)符號(hào)表達(dá)式中含有多個(gè)符號(hào)變量時(shí)，例如“f=x+y”，則只有一個(gè)變量是獨(dú)立變量，其余的符號(hào)變量當(dāng)作常量來(lái)處理。（2）若沒(méi)有指定自由變量，MATLAB按如下規(guī)則選擇自由變量：小寫i和j不能做自由變量選擇自由變量的順序：首選x，沒(méi)有x選擇字母順序離x最近的字符變量；若與x距離相同，則在x后面的優(yōu)先。大寫字母比小寫字母都靠后函數(shù)確定自由變量： 語(yǔ)法：findsym(EXPR,

16、1)2.3.1 自由變量的確定2.3.2 符號(hào)表達(dá)式的函數(shù)操作合并、化簡(jiǎn)、展開等函數(shù)collect(f)：將表達(dá)式 f中相同冪次的項(xiàng)合并；factor(f)：將表達(dá)式 f因式分解；simplify(f)：利用代數(shù)中的函數(shù)規(guī)則對(duì)表達(dá)式化簡(jiǎn)；expand(f)：將符號(hào)表達(dá)式展開成多項(xiàng)式的形式反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)finverse(f,v)：求指定變量v的函數(shù)f(v)的反函數(shù)compose(f,g,z)：求 f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(z)2.3.3 符號(hào)表達(dá)式的替換subs函數(shù)用來(lái)對(duì)符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量或字符串進(jìn)行替換，從而化簡(jiǎn)符號(hào)表達(dá)式。語(yǔ)法：（1）subs(s) %用給定值替換s中賦值的變

17、量（2）subs(s,old, new) s 為符號(hào)表達(dá)式； old 為舊符號(hào)變量； new 為新值或表達(dá)式；用subs函數(shù)對(duì)符號(hào)表達(dá)式 進(jìn)行替換。例9：f=sym(x+y)2+3*(x+y)+5)x=5; f1=subs(f) f1 = (5+y)2+3*(5+y)+5 f2=subs(f,x+y,z) f2 = z2+3*z+5 2.4 符號(hào)方程求解代數(shù)方程代數(shù)方程的求解由函數(shù)solve實(shí)現(xiàn)：語(yǔ)法：solve(f) 求解符號(hào)方程f solve(f1,fn) 求解由f1,fn組成的代數(shù)方程組 常微分方程使用函數(shù)dsolve來(lái)求解常微分方程語(yǔ)法： dsolve(eq, cond, v) dso

18、lve(eq1, eq2, cond1,cond2, ., v)例10：1.求代數(shù)方程a*x*x+b*x+c=0的解 f=sym(a*x*x+b*x+c=0)solve(f)2.求微分方程y=x的通解，指定x為自由變量。dsolve( Dy=x ,x) %注意y的輸入方法3.求微分方程y=1+y的特解，加初始條件y(0)=1,y(0)=0dsolve( D2y=1+Dy, y(0)=1,Dy(0)=0 )4.微分方程組的通解x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x) 注意微分表達(dá)式和初始條件的輸入方法。 2.5 符號(hào)微積分符號(hào)微分語(yǔ)法：diff(f) 求f對(duì)自由變量的一階微分diff(f,v) 求f對(duì)符號(hào)變量v的一階微分diff(f,v,n) 求f對(duì)符號(hào)變量v求n階微分符號(hào)積分語(yǔ)法：int(f,v) 求表達(dá)式f的對(duì)符號(hào)變量v的不定積分int(f,v,a,b) 求表達(dá)式f的對(duì)符號(hào)變量v的在(a,b)范圍內(nèi)定積分例11：例12：2.6 符號(hào)積分變換F=fourier(f,t,w)求時(shí)域函數(shù)f(t)的傅立葉變換F(w)f=ifourier(F,w,t)求頻域函數(shù)F(w)的傅立葉反變換 傅立葉(Fourier)變換及其反變換F=