現(xiàn)代數(shù)學(xué)概論

1、第四章 幾何(j h)和線性代數(shù)共三十頁 按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表達(dá)的。它是第二代數(shù)學(xué)模型，其根源來自歐式幾何，解析幾何以及線性方程理論。 本章的第一(dy)部分討論線性代數(shù)的三個來源：歐式幾何，解析幾何以及線性方程組。其余部分討論線性分析。這是代數(shù)和粉刺的非常有用的雜交品種。它是通過在代數(shù)方法中引進(jìn)長度觀念而得到的。無窮維線性空間中的的線性分析通常稱為泛函分析。是20世紀(jì)的一項(xiàng)重要數(shù)學(xué)成果。我們將介紹它的一些基本概念和結(jié)果，其中包括自律線性算子和譜定理。 4.1 歐式幾何（不講） 4.2 解析幾何（不講） 4.3 線性方程組和矩陣（不講）共三十頁4.4 線性空間 許多數(shù)學(xué)

2、對象。例如幾何向量，同型的矩陣，實(shí)函數(shù)等等，都能相加以及用數(shù)相乘，而且滿足平常的的計(jì)算規(guī)則。這種對象通常稱為向量。 一.定義與例子 定義1：令F是一個數(shù)域（R、Q、C）。F中的元素用小寫字母a，b,c表示。令V是一個非空集合。V中元素用小寫希臘字母(Xl zm) 來表示。我們把V中的元素叫做向量而把F中的元素叫做純量。如果下列條件被滿足，就稱V是F上的一個向量空間: (1) 在V中定義了一個加法，對于V中任意的兩個向量 有V中一個唯一確定的向量與之對應(yīng)，這個向量叫做 共三十頁 （2）有一個“純量乘法”對于(duy)F中每一個數(shù) 和V中每一個向量有V中唯一確定的向量與它們對應(yīng)。這個向量叫做 （3

3、）向量的加法與純量乘法滿足下列算律： 1） 2） 3）在V中存在一個零向量，記作0。對于V中每一個向量 4)對于V中每一向量 ，在V中存在一個向量 ，稱為的負(fù)向量，使得 5） 6） 共三十頁 7） 8） 則稱V為關(guān)于所給（+，x)的F上的線性空間。 定義2：由一個線性空間V到另一個線性空間的函數(shù)F稱為線性的，如果對于V中所有向量 和數(shù) 均有 定義3：線性空間V的子集U稱為線性子空間，如果對于 當(dāng)U是由V有限個固定向量的所有線性組合構(gòu)成(guchng)時，我們就說U是有限生成的，這些向量稱為生成元。記為 共三十頁 二.像與校定理(dngl) 共三十頁三.不變子空間，特征向量，特征值，譜 很顯然(

4、xinrn)，所有的 特征向量構(gòu)成一個線性空間，稱它為特征子空間其維數(shù)稱為 的重?cái)?shù)。 共三十頁 由代數(shù)學(xué)基本定理即知，對于有限維空間，F(xiàn)至少存在一個特征值。 定義3.如果U的維數(shù)是有限的，那么(n me)F的他政治所成的集合稱為F的譜。四.補(bǔ)空間，余維 共三十頁4.5 賦范線性空間(kngjin)共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁 共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁共三十頁內(nèi)容摘要第四章 幾何和線性代數(shù)。按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表達(dá)的。它是第二代數(shù)學(xué)模型，其根源來自歐式幾何，解析幾何以及線性方程理論。本章的第一部分(b fen)討論線性代數(shù)的三個來源：歐式幾何，解析幾何以及線性方程組。這是代數(shù)和粉刺的非常有用的雜交品種。我們將介紹它的一些基本概念和結(jié)果，其中包括自律線性算子和譜定理。(1) 在V中定義了一個加法，對于V中任意的兩個向量。有V中一個唯一確定的向量與之對應(yīng)，這個向量叫做。則稱V為關(guān)于所給（+，x)的F上的線性空間。定義3：線性