2022年03初一：數(shù)學(xué)幾何

1、Hilbert 的 幾何基礎(chǔ) 的五組公理之一：1.歐氏幾何的平行公理：過已知直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；任何兩點(diǎn)都是平行的,任何一點(diǎn)與任何一平面都是平行的；2 郭氏幾何的平行公理：過一條直線之外的點(diǎn),有且只有一條直線和已知的直線平 行；編輯本段 平行公理的推論 概念：平行于同一條直線的兩條直線平行 證明：假如 a b,a c, 那么 b c 證明 :假使 b、c 不平行 就 b、c 交于一點(diǎn) O 又由于 a b,a c 所以過 O 有 b、c 兩條直線平行于 a 這就與平行公理沖突 所以假使不成立 所以 b c 由同位角相等,兩直線平行,可推出：內(nèi)錯角相等,兩直線平行；同旁內(nèi)角互

2、補(bǔ),兩直線平行；由于 a b,a c, 所以 b c （平行公理的推論）編輯本段 平行線性質(zhì)定理 1.兩直線平行,同位角相等；2.兩直線平行,內(nèi)錯角相等；3.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)； 4.兩線平行并且不在一條直線上的直線 平行線：1. 平行線的定義 在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線 AB 平行于 CD ,AB CD 2. 平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 3. 平行公理的推論（平行的傳遞性）：假如兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也相互平行 a c,c b a b 平行線的判定. 兩條直線被第三條所截,假如同位角相等,那么這兩條直線平行 簡潔說成：同位角相

3、等,兩直線平行； . 兩條直線被第三條所截,假如內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行 簡潔說成：內(nèi)錯角相等,兩直線平行； 3 . 兩條直線被第三條所截,假如同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行簡潔說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行；平行線的性質(zhì) 1. 兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等簡潔說成：兩直線平行,同位角相等；. 兩條平行線被地三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ) . 簡單說成：兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)； 3 . 兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯角相等 簡潔說成：兩直線平行,內(nèi)錯角相等；兩個角的數(shù)量關(guān)系兩直線的位置關(guān)系 垂直于同始終線的兩條直線相互平行 平行線間的 距離 , 到處 相等 假如兩個角的兩邊分

4、別平行,那么這兩個角 相等或互補(bǔ)平行線 雙絞線 的兩端采納相同的線序制作出來的稱為平行線,使用不同線序制作的稱為 交叉線 ；七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)問梳第五章 相交線與平行線一、學(xué)問結(jié)構(gòu)圖相交線相交線 垂線 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角平行線 平行線及其判定 平行線的判定平行線的性質(zhì) 平行線的性質(zhì) 命題、定理 平移 二、學(xué)問定義1.鄰補(bǔ)角： 有公共頂點(diǎn) 且有 一條公共邊 的,他們的 另一邊互為反 向延長線 ,兩 個角是鄰補(bǔ)角； 同角的補(bǔ)角相等2. 對頂角：有 一個公共頂點(diǎn) ,一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線 ,像這樣的兩個角互為對頂角；對頂角相等3. 垂線：垂直是 相交 的 特別情形； 兩條

5、直線相互垂直,其中一條叫做另一條的 垂線 ,焦點(diǎn)為 垂足 ；垂線的性質(zhì)：性質(zhì) 1： 過一點(diǎn)有且只有 一條直線與已知直線垂直；性質(zhì) 2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的全部線段中,4.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：垂線段最短 ；同位角： 1與5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角叫做同位角；內(nèi)錯角： 2與6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角： 2與5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角；5.平行線：在 同一平面內(nèi) , 不相交 的兩條直線叫做平行線；平行公理：經(jīng)過直線 外一點(diǎn)有且只有 一條直線與已知直線平行；平行公理的推論：假如兩條直線都 與第三條直線平行,那么這兩條直線也相互平行；平行線的性質(zhì)：性質(zhì) 1：兩直線平行,同

6、位角相等；性質(zhì) 2：兩直線平行,內(nèi)錯角相等；性質(zhì) 3：兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線的判定：判定 1：同位角相等,兩直線平行；判定 2：內(nèi)錯角相等,兩直線平行；判定 3：同旁內(nèi)角相等,兩直線平行；6.命題： 判定 一件事情的 語句 叫命題；命題可以寫成 “假如 .那么 .命題 由題設(shè)和結(jié)論組成；題設(shè)是已知事項,結(jié)論是由已知事項推遲的事項；7.平移：在平面內(nèi),將一個圖形沿某個方向移動肯定的距離,圖形的這種移動叫做 平移變換,簡稱平移；判定平移的兩個條件： 1 外形大小不變2 對應(yīng)點(diǎn)之間的線段平行且相等 對應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn),都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動 后得到的,這樣的兩個點(diǎn)叫做對

7、應(yīng)點(diǎn)；第 6 章1. 有序數(shù)對的定義有次序的兩個數(shù) a 與 b 組成的數(shù)對,叫做有序數(shù)對 2. 平面直角坐標(biāo)系 平面直角坐標(biāo)系的定義及其基本元素.記作（ a, b）；平面上有公共原點(diǎn)且相互垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系,簡稱直角坐標(biāo)系 . 水平方向的數(shù)軸稱為 x 軸或橫軸； 豎直方向的數(shù)軸稱為 y 軸或縱軸 . x 軸、y 軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸； 公共原點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn) . 象限的概念：兩坐標(biāo)軸將平面分成四個區(qū)域稱為象限,按逆時針次序分別記為第一、二、三、四象限 .（圖形）3. 坐標(biāo)： （1、3） 只能在平面內(nèi)有一點(diǎn) 的有序?qū)崝?shù)對叫做點(diǎn)的坐標(biāo) . 4. 象限：各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號的特點(diǎn),這點(diǎn) P 我

8、們就用（ 1、3）表示,這樣第一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（+、+）其次象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-、+）第三象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-、-）第四象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（+、-）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不在任何一個象限內(nèi) . 5. 規(guī)律；拓展延長 點(diǎn) P（a,b）到 x 軸的距離為 b,.到 y 軸距離為 a,到原點(diǎn)距離為a22 b； 點(diǎn) P（a,b）：如點(diǎn) P 在 x 軸上 - a 為任意實(shí)數(shù), b=0； P 在 y 軸上 - a=0,b 為任意實(shí)數(shù)；P 在一,三象限坐標(biāo)軸夾角平分線上-a=b；P 在二,四象限坐標(biāo)軸夾角平分線上-a=b；A （x 1 ,y 1 ）, B（x 1 ,y 2 ）： A,B 關(guān)于 x 軸對稱 -x 1 =

9、x 2 ,y 1 =y 2 ； A、B 關(guān)于 y 軸對稱 - x 1 =x 2 ,y 1 =y 2 ；A,B 關(guān)于原點(diǎn)對稱 -x 1 =x 2 ,y 1 =y 2 在平面直角坐標(biāo)系中,P（x,y） 向右（或左）平移 a 個單位 -對應(yīng)點(diǎn)（ xa,y）（或 xa,y）； P（x,y）向上（或下）平移 b 個單位 -對應(yīng)點(diǎn)（ x,yb）（或 x,yb）. 第 7 章 三角形1. 三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 . 2. 三角形的邊：組成三角形的三條線段叫做三角形的邊 . 3. 三角形的表示：三角形用符號“ ”表示, 讀做 “三角形 ” .如圖：圖中 AB、B

10、C、CA 是三角形的邊,有時也用 a,b,c 表示；點(diǎn) A、B、C 是三角形的頂點(diǎn)； A、 B、 C是三角形的角；三角形 ABC 記作“ ABC ”,讀做 “三角形 ABC” .1.三角形的邊：三角形的兩邊之和大于第三邊（多用于判定） a-bc0）2. 三角形的高,中線和角平分線三角形的高：由三角形的一個頂點(diǎn)向它對邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間線 段,叫做這個三角形的高 . 三角形的高及其有關(guān)結(jié)論 1.畫出三角形 ABC 的三條高 . 三角形高的位置與三角形的外形有關(guān),銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部；鈍 角三角形的三條高有兩條高在三角形的外部；直角三角形有兩條高與直角邊重合. 2.銳角三角

11、形 ABC 的三條高交于一點(diǎn),交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；鈍角三角形 ABC三條高不交于一點(diǎn),但高所在的直線交于一點(diǎn)；直角三角形 點(diǎn),交點(diǎn)為直角頂點(diǎn) A. ABC 的三條高交于一3.由于 SBC AD= AC BE= AB CF,所以 BC AD=AC BE=AB CF. 三角形的中線：在一個三角形中,連結(jié)一個頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線 . 1. 在三角形 ABC 中畫出全部中線 . 2.無論什么外形的三角形,三條邊上的中線均在三角形內(nèi),并交于一點(diǎn) . 3.由 AF=BF= AB,BD=DC= BC,AE=CE= AC,所以 S ACF =S BCF =S ABD =S ADC =S A

12、BE =S BCE . 三角形的角平分線：在三角形中,一個角的平分線與這個角的對邊相交,這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段,叫做這個三角形的角平分線 . 、三角形角平分線及其有關(guān)結(jié)論1.畫出 ABC 全部的角平分線 . 【留意】三角形的角平分線是線段,而角的平分線是射線 . 2.無論什么外形的的三角形,三個角的平分線都在三角形內(nèi)部,并相交于一點(diǎn) . 內(nèi)容直接考的很少,但是常常與其他學(xué)問綜合考查,像什么作高求面積,利用角平分線求角度,利用中線求線段等等 . 多邊形內(nèi)角和鑲嵌3.三角形的穩(wěn)固性四與三角形有關(guān)的角 1 三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于 180 . 三角形內(nèi)角和反映了三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)

13、系,是解決任意三角形關(guān)于內(nèi)角的證明和運(yùn)算問題的重要依據(jù)之一,利用它可以解決以下問題：（1）運(yùn)算角度的大小,以及利用求出的角度來判定三角形的外形和證明直線垂直.解決這樣的問題常常需要設(shè)未知數(shù)列方程求解 . （2）證明角相等 . （3）證明角的和、差、倍、分關(guān)系 . （4）證明角之間的不等關(guān)系 . 2.三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角 . 1.三角形的外角必需滿意三個條件：（1）頂點(diǎn)與三角形的一個內(nèi)角的頂點(diǎn)重合（即共頂點(diǎn)）；（2）一邊是三角形的一邊（即共邊）；（3）另一邊是三角形一邊的延長線（即共線）. 如圖, ACD 是三角形 ABC 的外角,與三角形CD 在

14、 BC 的延長線上 . ABC 有公共頂點(diǎn) C,公共邊 AC, 2.三角形外角的個數(shù) 一個三角形共有六個外角,它們是三對對頂角,在討論和外角有關(guān)的問題時,通常在一個頂點(diǎn)處只取一個外角 . 如圖, 1、 2、 3、 4、 5、 6都是三角形 ABC 的外角 . 3.三角形的外角與相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角的關(guān)系,與不相鄰的內(nèi)角是不等的關(guān)系 . 如上圖, 1是三角形 ABC 的外角, 1與 A是鄰補(bǔ)角 .由于 1 B+ C 所以 1與 B、 1與 C都是不等關(guān)系 . 4.三角形的外角和是 360 . 如下圖,由于 1和 BAC是鄰補(bǔ)角,所以 1 BAC180 .同理 2 ABC180 , 3 ACB180

15、 .所以 1 BAC 2 ABC 3 ACB540. 又由于 ABC BAC ACB180 ,所以 1 2 3360 .即三角形 ABC 的外角和是 360 . 3.三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 . （2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角 . 4.常用幫助線的做法：（1）說明角的關(guān)系時,假如沒有現(xiàn)存的外角可以使用,通常要延長某個角的一 邊. （2）在進(jìn)行角度運(yùn)算時,為了能使用三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì),通常要構(gòu)造三角形,這時需要連結(jié)某些線段或延長某些線段 . 多邊形及其內(nèi)角和1.多邊形的有關(guān)概念（1）在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫

16、做多邊形 . （2）多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角 . （3）多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角 . （4）連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段,叫做多邊形的對角線 . （5）凸四邊形2.正多邊形：各角都相等,各邊都相等的多邊形叫做正多邊形 . 3.從 n 邊形一個頂點(diǎn)動身 ,有 n-3 條對角線,它們把 n 邊形分為 n-2 個三角形3.n 邊形內(nèi)角和： n 邊形的內(nèi)角和為（ n 2） 180. 4.多邊形外角和：多邊形的外角和等于 360 . 對于 n 邊形的內(nèi)角和公式： n 邊形的內(nèi)角和（ n2） 180,其推導(dǎo)方法主要有以下幾種：課本方法：從一個頂點(diǎn)動身引n 邊形的（ n3）條對角線,把 n 邊形分割為（n2）個三角形（如圖1）,就這（ n2）個三角形的內(nèi)角和就是n 邊形的內(nèi)角和,從而得到： n 邊形的內(nèi)角 和（ n2） 180；方法二：在 n 邊形內(nèi)任取一點(diǎn),然后把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié),將 n 邊形分割為 n 個三角形（如圖 2）,這 n 個三角形的內(nèi)角和比n 邊形的內(nèi)角和恰好多了一個周角 360 ,因此 n 邊形的內(nèi)角和 180 n360 （ n2） 180；方法三：在 n 邊形的一邊上取一點(diǎn),把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié),把 n