曲線曲面積分考研題目

1、試題分析十一（曲線積分與曲面積分）例 1(2003 年高數(shù)一)已知平面區(qū)域 D (x, y) 0 x , 0 y , L 為 D 的正向邊界，試證 xesin y dy ye sin x dx xe sin y dy yesin x dx .LL分析一 等式的兩邊均為第二類曲線積分，可分別對兩邊直接積分，比較積分值，得結果。0證一 左邊 edy edxsin xsin y0 (esin,00右邊 edy edxsin ysin x0 (esin,0于是 xesin y dy ye sin x dx xe sin y dy yesin x dx .LL分析二 對于第二類曲線積分，常考慮用公式轉化

2、為二重積分求解，由于被積函數(shù)在全平面上都有連續(xù)的偏導數(shù)，故可利用公式進行求證。證二由公式， xesin y dy ye sin x dx (esin ye sin x )d ,LD xe sin y dy yesin x dx (e sin yesin x )d ,LD由于 D 關于 y x 對稱，故(esin yDe sin x )d (e sin yDesin x )d ,于是 xesin y dy ye sin x dx xe sin y dy yesin x dx .LL例 2(1993 年高數(shù)一、二)設曲線積分 ( f (x) e x ) sin ydx f (x) cos ydy

3、與路徑無關，其中 f (x) 具有一L階連續(xù)導數(shù)，且 f (0) 0. 則 f (x) 等于_ .1e xe xe x e xe x e xe x e x 1,（D）1（A）,（B）,（C）.2222(B)分析 本題的關鍵在于由條件“曲線積分與路徑無關”導出 f (x) 所滿足的微分方程, 由此求出求 f (x) 的表達式。y ) ( f ( x ) e x ) sin y ,解答 設 P ( x ,Q(x, y) f (x) cos y, 由于P(x, y), Q(x, y) 在全平面上具有連續(xù)的偏導數(shù)，曲線積分與路徑無關，因此Q P ,xy即 f (x) 滿足方程f (x) f (x) e

4、x 0,（1）e x e x由初始條件 f (0) 0 ，得（1）的特解 f (x) .2例 3(2000 年高數(shù)一)設S : x 2 y 2 z 2 a 2 (z 0), S 為S 在第一卦限中的部分，則有 .1（A） xds 4 xds,（B） yds 4 yds ，SS1SS1（C） zds 4 xds ，（D） xyzds 4 xyzds .SS1SS1 (C)分析一 本題可采用排除法進行判別。由于(A), (B)兩個式子在形式上只是將 x換成了 y, 由S 和S1的表達式知 x ， y 的地位完全相當，因此(A),(B)兩式或全對或全錯，由于這里只有一個對的，故(A), (B) 全錯

5、。又(D)式左端的被積函數(shù)在區(qū)域S 上的符號不同，因此積分值應有所抵消，而右端的被積函數(shù)在 S1 上非負，故(D)式左端的值不可能是在第一象限上積分的四倍，即(D)不可能成立。由此只能選擇(C)。分析二 本題也可通過計算進行選擇，但這樣比較煩瑣。高數(shù)一、二)設平面曲線 L 為下半圓周 y 1 x 2 , 則曲線積分例 4(（x y 2 )dL _ .2L分析一只要準確地寫出曲線 L 的參數(shù)方程，即可求出該積分。2解一 L 的參數(shù)方程為x cos , y sin , , 2 ,故dL x2 ( ) y2 ( )d d ,因此2（x y )dL d .22L0分析二本題若注意到(x, y) 在 L

6、 上變化時滿足 x 2 y 2 1,則立即結果。 .解二 （x y )dL dL 22LLL例 5(2005 年高數(shù)一)設 是由錐面 z x 2y 2 與半球面 z R 2x 2 y 2 圍繞的空間區(qū)域， 是 的整個邊界的外側，則 xdydz ydzdx zdxdy .1 2 R 3 (1 ). 2分析一 對第二類曲面積分，用公式求解往往較為簡捷，由于本題的積分區(qū)域以及被積函數(shù)滿足用公式求解的條件，于是首先考慮采用公式求解。解一因為 是 的整個邊界的外側，根據(jù) xdydz ydzdx zdxdy公式： 3dxdydz 3dv,x 2 y 2 R 2 x 2 y 2 ,交線在 xoy 平面上的投

7、影區(qū)域為： 令R 2x y , 于是222R2 (2dv d 2 )dR 200R20311 2 (R 2 2 ) 2 3 33 1 2R 3 (1 ),1323故 xdydz ydzdx zdxdy 2R 3 (1 1 ).2分析二 計算第二類曲面積分，在直角坐標下采用投影法化為二重積分進行計算是常用的基本方法，本題也可用此法計算，但計算量比較大。（解略）例 6(1996 年高數(shù)一、二)計算曲面積分 (2x z)dydz zdxdy, 其中 S 是有向曲面 z x 2 y 2S(0 z 1), 其法向量與 z 軸正向的夾角為銳角。分析一由于被積函數(shù)在空間任意光滑封閉曲面所圍區(qū)域上滿足公式條件

8、，故采用添加有向曲面，利用公式計算。這里應注意在公式中，曲面積分是沿著封閉曲面外側進行的，因此本題沿著封閉曲面內(nèi)側的積分應加負號。解一 記 S1 為法向量指向 z 軸的負向的有向平面 z 1 ( x 1) ， D 為 S 在21y 2xoy 平面上的投影區(qū)域，則(2x z)dydz zdxdy dxdy .SD設 為S S1 所圍成的空間區(qū)域，則由公式知S S1(2x z)dydz zdxdy 3dv32 1 rdrdz 6(r r )dr .11 3d32200r0因此原式 3 ( ) 1 .22分析二 對此第二類曲面積分，可用“一投、二代、三投影”步驟求解。應注意按照投影法確定符號。解二設

9、 Dyz ,Dxy為S 在 yoz, xoy 平面上的投影區(qū)域，則(2x z)dydz zdxdy (2 z y 2 z)(dydz)SDyz (2 z y 2 z)dydz (x 2 y 2 )dxdyDyzDxy 4 z y 2 dydz (x 2 y 2 )dxdy,DyzDxy424111其中 z y dydz dy2z y 2 dz (1 y 2 ) 3 dy,231y0Dyz24 3 1 43令 y sin t, 則上式cos tdt .3 4 22440又 (x 2 y )dxdy dr rdr ,2122200Dxy所以(2x z)dydz zdxdy 4 .422S例 7(2

10、003 年高數(shù)一)設函數(shù) f (x) 在(, ) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，L 是上半平面( y 0) 內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點為 (a, b), 終點為 (c, d ), 記 I 1 1 y 2 f (xy)dx yLx y 2 y 2 f (xy) 1dy,證明曲線積分 I 與路徑無關；當ab cd 時，求 I 的值。分析一 由題設，第一問可利用平面上曲線積分與路徑無關的充要條件給予證明。在第一問的基礎上，通過求原函數(shù)，并求原函數(shù)的改變量，求得 I 的值。解一 （1）記 P(x, y) 1 1 y 2 f (xy) ， Q(x, y) x y 2 y 2 f (xy) 1 ，則yQ x1(x

11、f (xy) ) f (xy) xyf (xy) ，xxy 2( 1 yf (xy) y 2P 1f (xy) xyf (xy) ，yy yy 2于是 P(x, y), Q(x, y) 滿足：在 y 0 時， Q C,P C 且Q P ,所以曲線積xyxy分 I 與路徑 L 無關。(2) 曲線積分與路徑無關，故存在原函數(shù)u(x, y) 使得du Pdx Qdy, 且：1xyxyu(x, y) P(x, y)dx Q(0, y)dy ( yf (xy)dx 0dyy0101 xxyf (x, y)dx,y05由于 f (x, y) 連續(xù)，所以存在 F (x) ，使得 F (x) f (x), 于

12、是xxyyf (xy)dx xy uf (u)du F (xy) F (0),00所以原函數(shù)u(x, y) 為x yu(x, y) F (xy) F (0) C.x y取C F (0), 得u(x, y) F (xy), 于是 ( x F (xy) (c,d )(c,d )(a,b)I u(x, y)(a,b)y a F (cd ) F (ab) a .ccdbdb分析二 在第一問的基礎上，第二問 I 的值，可通過如下取積分路徑為折線路徑，分段化為定積分求得。解二 （2）由于曲線積分與路徑無關，取 L 為從(a, b) 到(c, d ) 的折線段，于是(c,b)(c,d )I P(x, b)d

13、x Q(c, y)dy(a,b)(c,b)1 c cd( bf (xb)dx (cf (xy) )dyby 2 c c dbab c acbcdf (t)dt f (t)dt babbc c a ca .cdf (t)dt dbdbab例 8(2004 年高數(shù)一)計算曲面積分 2x 3dydz 2 y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中 是曲面 z 1 x 2 y 2(z 0) 的上側。分析 對于第二類曲面積分，利用構造封閉曲面，再應用公式將原式轉化為三重積分進行計算是常用的方法，但選擇怎樣的封閉曲面以及在怎樣的坐標系下計算三重積分都是需要根據(jù)題意做選擇的。本題利用添加 xoy 平面上

14、的一個圓形區(qū)域構造封閉曲面，并在柱面坐標系下，較簡捷地得到了所求的值。解答 設1 為 xoy 平面上被圓 x y 1 所圍部分的下側，記 為由 和 圍2216成的空間閉區(qū)域，則原式 2x 3dydz 2 y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy1 2x 3dydz 2 y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy.12x3dydz 2 y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy由公式知1 6(x 2 y 2 z)dxdydz211 2 6dd(z )dz200011 12 (1 ) 3 (1 2 )d2220 2 .2x 3dydz 2 y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy而1 x 2 y 2

15、1 (3)dxdy 3.因此，原式= 2 3 .例 9(1999 年高數(shù)一)x 2y 2設S 為橢球面 z 2 1 的上半部分，點 P(x, y, z) S ，22為S 在 P 點處的切平面， (x, y, z) 為點O(0, 0, 0) 到平面的距離，求 zds. (x, y, z)S分析 本題為綜合題。應首先求出切平面方程再求相應的第一類曲面積分，這一點由題意不難看出。選擇簡便的方法求出切平面方程和曲面積分是應引起充分注意的。以下采用公式法，直接求出切平面方程，根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特性，利用極坐標教簡捷地求得了結果。解答 先寫出切平面方程，設( X , Y , Z ) 為 上任意一點，

16、則平面 的方程為xXyY zZ 1,22再由點到平面的距離公式，得x 24 12 .y 2(x, y, z) ( z 2 ) 47x2y2z 1 () ,由22有zxxzyy,x 22y 22x2y 22 1 (2 1 ()22)4 x 2 y 2zxz () 2 d d .于是dS 1 () 2yx 22y 22 1 ()2積分區(qū)域是S 在 xoy 平面的投影x 2 y 2 2,D : z 0,用極坐標,得z112 (4 r 2 )rdr 3 .ds (4 x 2 y )d d2S (x, y, z)442D00例 10(2005 年高數(shù)一)設函數(shù)( y) 具有連續(xù)的導數(shù)，在圍繞原點的任意分

17、段光滑簡單閉曲線 L 上，( y)dx 2xydy曲線積分L的值恒為常數(shù)。2x 2 y 4（1） 對右半平面 x 0 內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線 C ，有 ( y)dx 2xydy0 ；2x 2 y 4L（2） 求函數(shù)( y) 的表達式。分析 本題是一道綜合題。從已知條件和問題(1)，易考慮使用公式求解。在本題的證明和求解過程中，從不同的思維角度切入，多次應用了公式。格林公式在應用上的靈活性，是值得關注的。( y)dx 2xydy證明（1）由題設可知曲線積分與路徑無關。令2x 2 y 4L ( y)2xyP , Q ，2x 2 y 42x 2 y 4則8Q P .xY對右半平面 x 0 內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C ，函數(shù) P, Q 及它們的一階偏導數(shù)在C 所圍成的區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，則應用公式， ( Q P )dxdy 0.( y)dx 2xydy2x 2 y 4xYLDQ2 y( y 4 2x 2 )P ( y)(2x 2 y 4 ) ( y)4 y 3（2）,x(2x 2 y 4 ) 2Y(2x 2 y 4 ) 2由Q P （ 2x 2 y 4 0),得