電動力學(xué)第八章

1、第八章 電磁場與介質(zhì)(jizh)的相互作用8.1電子對電磁波的散射與吸收8.2介質(zhì)(jizh)的色散8.3導(dǎo)體的色散 電導(dǎo)率與介電常量8.4超導(dǎo)體電動力學(xué)共五十三頁8.1電子對電磁波的散射(snsh)與吸收1. 電子對電磁波的散射當(dāng)頻率為的電磁波投射到電子上時，電子就會在電磁波（主要是電磁分量）作用下，以頻率作受迫振動，同時向各個方向不斷(bdun)地輻射頻率為的次波.這種現(xiàn)象稱電磁波的散射，如圖8.1.1所示.共五十三頁假設(shè)電子運(yùn)動速度vc,這時電子運(yùn)動的振幅d=vT遠(yuǎn)小于入射波的波長=cT，T=2/為振動周期.這樣可以做兩個近似：（i） 在電子運(yùn)動范圍d內(nèi)，場強(qiáng)可看作與電子的位置無關(guān)(wg

2、un)的量；（ii）電磁波的磁場分量對電子的作用力（洛倫茲力）可以忽略，因?yàn)樗入妶龅淖饔枚嗔藇/c1的因子. 現(xiàn)在把處于束縛狀態(tài)的電子（如原子中的電子）當(dāng)作經(jīng)典的諧振子來處理，它受到球?qū)ΨQ的恢復(fù)力-m r.共五十三頁當(dāng)入射波的電場強(qiáng)度為E=E0e-it，則電子在電磁波電場作用下受迫振動，其運(yùn)動方程為 （8.1.1）其中(qzhng)輻射阻尼力 因此方程（8.1.1）可改寫為 （8.1.2）共五十三頁其穩(wěn)態(tài)解為 （8.1.3）其中 （8.1.4）因?yàn)?yn wi)電子平均吸收功率為 （8.1.5）所以從（8.1.3）和（8.1.4）式很容易看出：共五十三頁（i） 在遠(yuǎn)離0的區(qū)域，tan=0，=

3、0，受迫電子振動與外加電場基本是同相位的，由（8.1.5）式電子吸收能量很小，因而輻射也是很小的；（ii）共振時0，tan，=/2，E與 同相位，因而電子對外電磁場有強(qiáng)烈的吸收，同時(tngsh)伴隨著很強(qiáng)的輻射.電子在外加電磁波作用下做受迫振動，同時以原電磁波相同的頻率向四面八方散射電磁波.共五十三頁 電子在外加電磁波作用下做受迫振動，同時以原電磁波相同的頻率向四面八方散射(snsh)電磁波.為計(jì)算散射波的強(qiáng)度，可參考圖8.1.2.共五十三頁因v00）只要入射波的光子能量 遠(yuǎn)大于電子束縛能 ，就可以把束縛電子當(dāng)作自由電子.因此，由（8. 1.9）和（8.1.10）式并注意到/01，則 （8.

4、1.11）（8.1.11）稱為(chn wi)湯姆孫（Thomson）散射截面公式，共五十三頁其角分布的特點(diǎn)是在=90處左右對稱，如圖8.1.3中0的實(shí)線所示.總截面是常量，與入射波的頻率無關(guān)，其數(shù)值為電子經(jīng)典 截面 的8/3倍.因此，對入射電磁波，電子好像是一個橫截面為 的不透波的球.有關(guān)電磁波被自由電子散射（湯姆孫散射）的結(jié)果，也可以從（8.1.1）方程(fngchng)，在其等式右邊第一、二項(xiàng)刪除后，直接求解得到.共五十三頁 經(jīng)典的湯姆孫微分截面公式，只有在電磁波頻率不太高 時才符合實(shí)際情況. 如圖8.1.3中0的各條實(shí)線所示.這時，只有用量子電動力學(xué)所得(su d)的克萊因-仁科（Kl

5、ein-Nishina）公式，才完全與實(shí)驗(yàn)符合.共五十三頁我國核物理學(xué)家趙忠堯先生和奧地利女物理學(xué)家邁特納（Meitner）首先分別(fnbi)從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了克萊因-仁科公式.（ii） 遠(yuǎn)離共振（0）在這條件下， （8.1.12）這個結(jié)果表明，低頻散射截面與4成正比，這種散射稱瑞利（Rayleigh）散射.共五十三頁（iii） 共振散射（0）當(dāng)接近0時，由（8.1.9）和（8.1.10）式得 （8.1.13）注意，由（8.1.9）式推導(dǎo)（8.1.13）式時，為保留共振特性(txng)，曾做下列近似：共五十三頁當(dāng) = 0 時，（8.1.13）式達(dá)到極大值 (8.1.14)（8.1.14）式表明，

6、在= 0處，散射截面有一很尖銳的峰，其高度(god)遠(yuǎn)大于自由電子的截面值.此現(xiàn)象稱共振散射. 對于整個經(jīng)典頻率范圍內(nèi)的散射截面與頻率 的關(guān)系如圖8.1.4所示共五十三頁2. 電子對電磁波的吸收 前面已經(jīng)指出，當(dāng)= 0 時，入射電磁波被電子強(qiáng)烈吸收，使電子受迫振動并輻射能量.開始階段吸收能量大于輻射能量，振幅不斷增大，隨著振幅的增大，輻射增強(qiáng).當(dāng)吸收的能量與輻射能量平衡時，吸收達(dá)到穩(wěn)定值.如果不在共振區(qū)，吸收很小，輻射也很小.當(dāng)連續(xù)(linx)頻譜的電磁波投射到電子上時，只有= 0 的部分被強(qiáng)烈吸收，因而形成一條吸收譜線.共五十三頁設(shè)入射電磁波的頻譜為I（），總強(qiáng)度 （8.1.15）把電子看作

7、諧振子，則在單位時間內(nèi)所吸收的能量Ua（如無其他損耗）應(yīng)等于散射波的總強(qiáng)度，即 （8.1.16）因?yàn)橹挥性诠舱窀浇?fjn)= 0才有強(qiáng)烈的吸收，在上式中的總截面應(yīng)取（8.1.13）式共五十三頁所以 （8.1.17）因此，共振現(xiàn)象是能量吸收與再輻射的過程，吸收的能量是與入射波中0處頻譜分布(fnb)密度I（0）成正比的.共五十三頁8.2 介質(zhì)(jizh)的色散色散是指電磁波在介質(zhì)中傳播時，其相速度與頻率的依賴關(guān)系.在麥克斯韋理論中，電磁波在介質(zhì)中的傳播速度v=c/n，這里(zhl)折射率 （通常假設(shè)=0）.過去一直假設(shè)介電常量與頻率無關(guān)，因而折射率n也與頻率無關(guān).但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，折射率n與頻率有關(guān)

8、，這就是散射現(xiàn)象.本節(jié)應(yīng)用經(jīng)典的電子模型來說明介質(zhì)散射問題.共五十三頁1. 介質(zhì)色散的經(jīng)典電子模型 當(dāng)電磁波入射到介質(zhì)內(nèi)部時，由于介質(zhì)中有大量電子散射所產(chǎn)生的次波相互疊加，形成了在介質(zhì)中傳播的電磁波.介質(zhì)的宏觀現(xiàn)象取決于極化矢量P和磁化矢量M.因?yàn)?yn wi)一般非鐵磁質(zhì)的=0，磁化效應(yīng)很小，可以不考慮，所以只要應(yīng)研究極化矢量與入射波的場強(qiáng)、頻率等的依賴關(guān)系. 為簡單起見，設(shè)介質(zhì)由同一種分子組成，分子中的離子可看成靜止不動，電子運(yùn)動仍采用簡單的諧振子模型.電子在入射電磁波的只要下受到一有效場Eeff=E0e-it的作用.共五十三頁這是因?yàn)樵诮橘|(zhì)中存在大量電子，一個電子除受外場(wichng)

9、作用外，還有周圍其他電子對它的作用，即一個電子所受的有效場不等于入射波的電場Ei，也不等于介質(zhì)中的電場E.在有效場作用下，電子受迫振，其運(yùn)動方程與（8.1.2）相同，即 （8.2.1）其穩(wěn)態(tài)解為 （8.2.2）共五十三頁令N為單位體積(tj)內(nèi)的電子數(shù)，則極化矢量 （8.2.3）其中 （8.2.4）在各向同性的均勻介質(zhì)中，介質(zhì)被外場Ei（現(xiàn)在為入射電磁波的場）均勻極化，其極化矢量為P，介質(zhì)中的電場強(qiáng)度E.共五十三頁現(xiàn)在設(shè)想在介質(zhì)中分割出來一個小介質(zhì)球，如圖8.2.1所示，這個均勻極化的小介質(zhì)球感受到的有效場為，介質(zhì)中的電場E加上介質(zhì)球外分界面上(min shn)的極化電荷在球心處的Ep.在1.

10、3節(jié)例1已求得Ep=P/30，所以， （8.2.5）共五十三頁這一結(jié)果就相當(dāng)于介質(zhì)中諧振電子所感受的有效場.將（8.2.5）代人（8.2.3）式得 （8.2.6）利用（1.3.13）和（1.3.15）式， （8.2.7）其中r是相對(xingdu)介電常量.（8.2.7）代人（8.2.6）式得 （8.2.8）共五十三頁上式中r和都是復(fù)數(shù)，而且由（8.2.4）式， 是的函數(shù).因此(ync)，（8.2.8）式代表了復(fù)介電常量與頻率的關(guān)系，即介質(zhì)的散射關(guān)系. 對于液體和固體，() 是比較復(fù)雜的，但對于氣體，尤其是稀薄氣體，()可以簡化.共五十三頁2. 反常色散與共振吸收對于氣體，尤其稀薄氣體，可以忽

11、略分子(fnz)之間的作用，這時，r1（8.2.8）式可以簡化為 (8.2.9)并利用（8.2.4）式，得 (8.2.10)這就是氣體的色散關(guān)系.由（8.2.9）式，則 (8.2.11) 共五十三頁其中實(shí)部n為介質(zhì)的折射率，虛部代表介質(zhì)對電磁波的吸收式可得.由（8.2.10）和（8.2.11） （8.2.12） 下面分析一下所得的結(jié)果(ji gu).（i） 遠(yuǎn)離共振區(qū)，吸收很小，=0，而且/0j,這時所有的電子都可看成自由電子，即形成等離子體，則（8.3.1）式變?yōu)?其中 為等離子頻率，NZ為單位體積內(nèi)的電子數(shù)。 由 ，可見色散關(guān)系（8.3.7）與（4.11.31）完全相同，它反映了電磁波在等

12、離子體中傳播特性。對于電離層或?qū)嶒?yàn)室里的稀薄(xb)等離子體，色散關(guān)系（8.3.7）在很寬頻率范圍內(nèi)都成立。當(dāng)p時，共五十三頁（）p的情況，這時介電常量接近于0（真空）。 在光頻或高于光頻的區(qū)域，金屬的介電常量由（8.3.1）給出。高頻時，0，因而（8.3.1）可取如下的近似形式其中 為傳導(dǎo)電子的等離子體頻率，Ne為傳導(dǎo)電子數(shù)密度，m*為電子的有效(yuxio)質(zhì)量，它部分地把電子的結(jié)合效應(yīng)考慮進(jìn)去。當(dāng)p使（）0時，電磁波就能透過去，一般在紫外波段能出現(xiàn)這一情況。所以說，金屬對紫外光是透明的。因此通過測定臨界頻率就可給出傳導(dǎo)(chundo)電子密度和電子有效質(zhì)量。共五十三頁8.4 超導(dǎo)體電動力

13、學(xué)1. 超導(dǎo)體的電磁性質(zhì) 從1911年發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)電性以來的大量實(shí)驗(yàn)(shyn)事實(shí)說明，超導(dǎo)體與普通導(dǎo)體有許多不同的電磁性質(zhì).現(xiàn)簡要地介紹如下.（i） 超導(dǎo)電性 1911年荷蘭物理學(xué)家卡末林-昂內(nèi)斯（Kamerlingh- Onnes）首先發(fā)現(xiàn)，當(dāng)溫度下降到4.2K附近時，汞的電阻突然降為零，如圖8.4.1所示共五十三頁 圖的縱坐標(biāo)為該溫度下汞的電阻與0C時汞的電阻之比.因此，汞在4.2K附近進(jìn)入了一個新的物態(tài)，稱為超導(dǎo)態(tài)，它所具有的零電阻性質(zhì)(xngzh)稱為超導(dǎo)電性.后來又發(fā)現(xiàn)了許多金屬也有這種超導(dǎo)電現(xiàn)象.共五十三頁 當(dāng)溫度下降到某一定值Tc時，金屬開始失去電阻，這一特定的溫度Tc稱為轉(zhuǎn)變溫

14、度或臨界溫度.當(dāng)TTc時，金屬為正常態(tài)，TTc時為超導(dǎo)態(tài).在超導(dǎo)態(tài)時直流電阻為零，但對于交流情況，仍有很小的能量損耗. 不同的材料(cilio)的轉(zhuǎn)變溫度不同，1986年以前，超導(dǎo)體的Tc都很低，因而限制了它的應(yīng)用.1987年以來，超導(dǎo)材料研究取得了突破性進(jìn)展，中國、美國、日本等國家相繼研制成功了Tc100K的新高溫超導(dǎo)材料，為超導(dǎo)技術(shù)的應(yīng)用與發(fā)展開辟了廣闊的前景.共五十三頁（ii） 臨界磁場和臨界電流 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，把超導(dǎo)體放進(jìn)磁場中，當(dāng)磁場強(qiáng)度增大到一定值時，超導(dǎo)體就由超導(dǎo)態(tài)變?yōu)檎B(tài)，又出現(xiàn)了電阻.這個特定的磁場值Hc稱為臨界磁場.臨界磁場Hc與溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)(jngyn)公式為 （8.4.

15、2） 根據(jù)上式，圖8.4.2所示的Hc-T曲線，稱為i超導(dǎo)體的相變曲線.共五十三頁 在發(fā)現(xiàn)外加(wiji)磁場超過臨界磁場可以破壞超導(dǎo)電性之前，實(shí)驗(yàn)上就已發(fā)現(xiàn)，當(dāng)通過超導(dǎo)體的電流超過某一定值Ic時，超導(dǎo)性也被破壞.Ic稱為超導(dǎo)體的臨界電流.同樣發(fā)現(xiàn)，臨界電流與溫度有關(guān)， （8.4.2） 因?yàn)殡娏髯銐虼髸r，它所產(chǎn)生的磁場達(dá)到了臨界磁場值，從而破壞了超導(dǎo)電性.因此，臨界電流實(shí)際上是臨界磁場的另一種表現(xiàn)形式.共五十三頁共五十三頁（iii） 邁斯納效應(yīng) 1933年邁斯納（Meissner）發(fā)現(xiàn)，在磁場中的超導(dǎo)材料，當(dāng)溫度降低到Tc以下時，發(fā)生相變，成為超導(dǎo)態(tài)，同時原來存在于超導(dǎo)體內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B被完全

16、排除出體外，即超導(dǎo)體內(nèi)B=0，如圖8.4.3所示；這種現(xiàn)象(xinxing)稱邁斯納效應(yīng).如果先降溫使超導(dǎo)體達(dá)到超導(dǎo)態(tài)，然后再外加磁場，結(jié)果磁感應(yīng)線仍被排除出體外.因此，超導(dǎo)體內(nèi)B=0的狀態(tài)與它的歷史無關(guān).共五十三頁 但在邁斯納效應(yīng)發(fā)現(xiàn)以前，超導(dǎo)電性被認(rèn)為是單純的零電阻性，即把它看成完全導(dǎo)體（或理想(lxing)導(dǎo)體）.根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，完全導(dǎo)體（零電阻性）內(nèi) 即B保持不變.這樣超導(dǎo)體內(nèi)B是否為零與它的歷史有關(guān).也就是說，原來內(nèi)部有磁場，降溫變?yōu)槌瑢?dǎo)態(tài)后，內(nèi)部磁場仍不變；如果原來內(nèi)部無磁場，則后來外加磁場也進(jìn)不去.這表明，在給定條件下（如溫度、外磁場）,完全導(dǎo)體的狀態(tài)不是唯一的.共五十三

17、頁 因此(ync)，邁斯納效應(yīng)表明，超導(dǎo)體不能看成完全導(dǎo)體，除零電阻性外超導(dǎo)體還有其獨(dú)特的磁特性-完全抗磁性，即只要處于超導(dǎo)態(tài)，超導(dǎo)體內(nèi)B=0.共五十三頁2.超導(dǎo)體電動力學(xué)（ii） 倫敦方程 這是超導(dǎo)電流與電磁場關(guān)系的新的物質(zhì)方程. 應(yīng)用二流體模型，超導(dǎo)電子在電場E中的運(yùn)動方程為 （8.4.5） 式中m，e分別為電子的質(zhì)量與電荷(dinh)，v為超導(dǎo)電子的運(yùn)動速度.因?yàn)槌瑢?dǎo)電子在超導(dǎo)體中運(yùn)動時不受晶格的散射，所以上式只有電場的作用力.超導(dǎo)電流密度 （8.4.6） 由（8.4.5）和（8.4.6）式可得 （8.4.7） 共五十三頁 式中 （8.4.7）或（8.4.8）式就是倫敦第一方程，它反映了

18、超導(dǎo)體的零電阻性質(zhì).因?yàn)樵诜€(wěn)恒條件下， 則超導(dǎo)體內(nèi)E=0，所以正常電流jn=cE=0，這時超導(dǎo)體內(nèi)只有無耗的超導(dǎo)電流，從而(cng r)表現(xiàn)出零電阻性.但在交變電流情況下， 超導(dǎo)體內(nèi)E0，這時除超導(dǎo)電流外，還有正常電流jn，因而出現(xiàn)交流損耗.這些結(jié)果與實(shí)驗(yàn)事實(shí)完全符合.共五十三頁這是倫敦第二方程倫敦第一、第二方程是反映了超導(dǎo)電流與電磁場的關(guān)系(gun x)，也就是超導(dǎo)體內(nèi)新的物質(zhì)方程.由倫敦方程可以看出，超導(dǎo)電流是由磁場維持的，而超導(dǎo)電流的變化率是由電場決定的.共五十三頁（iii） 超導(dǎo)體電動力學(xué)方程(fngchng) 根據(jù)二流體模型和倫敦方程，超導(dǎo)體電動力學(xué)方程由麥克斯韋方程、物質(zhì)方程組成. 麥克斯韋方程組： 共五十三頁其中D=0E，B=0H，j=jn+js，而且 (8.4.17)物質(zhì)方程(fngchng)： （