壓電振子的振動模式 17-070125102608

1、壓電振子的振動模式vibration modes薄長條縱向伸縮振動 薄圓片、棒、薄圓環(huán)、薄球殼、面切變、彎曲振動，厚度振動，能陷振動模，機電類比和線性機電網(wǎng)絡，1前幾章我們根據(jù)晶體的對稱性，分析討論了不同對稱性的壓電晶體所具有的獨立的介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)，以及這些量與電學量電位移、電場強度等之間的關(guān)系，與機械量應力、應變之間的關(guān)系（胡克定律），與電學量和機械量之間的關(guān)系（壓電方程組）等等，但是未涉及到如何確定這些常數(shù)的數(shù)值。 2在實驗上通常是通過測定壓電元件的諧振頻率和反諧振頻率的方法來確定這些常數(shù)的，這就要求對晶體的這些常數(shù)同晶片的諧振頻率和反諧振頻率之間的關(guān)系進行理論分析。這種實驗

2、的和理論的分析工作，是研究壓電晶體的一個重要方面。 確定材料參數(shù)3另一方面，壓電元件常用于振蕩器、濾波器、換能器、光調(diào)幅器以及延遲線等等。這些器件都是壓電效應來激發(fā)壓電體的機械振動。因此，只有通過對壓電元件的振動模式的討論，才能較深入地了解壓電元件的工作原理和工作性質(zhì)。 元器件的設計 4雖然壓電晶體（包括已極化的壓電陶瓷）是各向異性體，但是壓電元件都是根據(jù)工作需要，選擇有利的方向切割下來的晶片，這些晶片大多數(shù)薄長片、圓片、方片等較簡單的形狀，它的基本振動模式（如伸縮振動、切變振動等）大體上與各向同性的彈性介質(zhì)相同，都是在有限介質(zhì)中以駐波的形式傳播，只有在非常簡單的情況下，才可能得到波動方程的準

3、確解。 5對于稍復雜的情況，只有近似解。在本章中，不可能對各種振動方式都進行詳細討論，只是對其中最簡單最常用的振動模式作較系統(tǒng)而全面的分析討論，希望通過對特殊性的討論了解普遍性。 6薄長片壓電振子的長度伸縮振動 薄長片壓電振子的長度伸縮振動，又稱縱向振動，是壓電元件中常采用的一種振動方式，也是最簡單的振動方式。在這一節(jié)中除了討論壓電振子的縱向振動特性外，還要討論壓電振子的等效電路以及壓電材料的介電常數(shù)、彈性常數(shù)和壓電常數(shù)的測量等內(nèi)容。 7薄長片壓電振子的壓電方程組 設d310的壓電晶體的zx切割晶片，長度l沿x方向，寬度lw沿y方向，厚度lt沿z方向，并且有l(wèi)lw和lt，電極面與z軸垂直，如圖

4、6-3所示。因為llw和lt，長度方向是主要因素，所以只考慮應力分量T1的作用，其它應力分量T2、T3、T4、T5、T6可以忽略不計。 8因為電極面垂直于z軸，所以只要考慮電場分量E3的作用，其它電場分量E1、E2可以忽略不計。又因為測量時（或工作時）只是薄片的中心被夾住，片的兩端為自由端，即薄片的邊界條件為機械自由，在邊界上的應力分量T1|邊界=0。還有電極面是等位面。 9圖5-1 薄長片壓電振子10在此情況下，可以選T1、E3為自變量，用第一類壓電方程組，即：根據(jù)牛頓第二運動定律得到薄長片的運動方程為：11為了得到薄長片壓電振子的波動方程，就需要根據(jù)壓電方程組中應力與應變的關(guān)系式，代入波動

5、方程得：12因為壓電振子的電極面是等位面，電場分量E3在晶片中是均勻分布的，即有E/x=0。將這些關(guān)系代入上式式即得薄長片壓電振子的波動方程為：聲速13若壓電振子是在交變電場E3=E0ejt的激發(fā)下，通過壓電效應產(chǎn)生縱向振動，則上式的通解為：式中波矢k=/c；A、B為待定系數(shù)，由邊界條件確定。14滿足邊界條件的解因為壓電振子的兩端為自由端，它的機械自由邊界條件為: x=0時，有T1|x=0=0； x=l時，有T1|x=l=0; T1=?15而應力的表達式可以寫為：16代入邊界條件得:x=0時,T1=0：x=l時, T1=0：17稍加整理即得:18把A、B代回到波動方程的解中，得到滿足邊界條件的

6、解為:19為了對上式所表示的波形有較具體的了解，在圖5-2中，繪出了t=0及t= /=1/2周期時的波形。從圖5-2中可以看出上式代表縱駐波方程式，即在薄長片壓電振子中傳播的是縱駐波。20圖5-2 薄長片壓電振子的縱向振動21t=0時：t=/時：22x0l/2lt=0u0t=/u023薄長片壓電振子中的應力、應變以及電位移與（x、t）的關(guān)系為:式中E3=E0ejt2425式中：或:26通過薄長片壓電振子的電流 因為通過壓電振子電極面上的電流I3等于電極面上的電荷Q3隨時間的變化率，即:而電極面上的電荷Q3與電位移D3的關(guān)系為27(5-15)28最后得到通過壓電振子電極面的電流為:所以有:29薄

7、長片壓電振子的等效導納若通過薄長片壓電振子的電流為I3，兩電極之間電壓為V3，則壓電振子等效阻抗Z為，壓電振子的等效導納G為:30兩電極面之間的電壓V3為:壓電振子的等效導納為：31牛頓定律壓電方程波動方程邊界條件質(zhì)點位移電位移電流，導納材料參數(shù)，等效電路32結(jié)果分析以上就是如何通過壓電方程和波動方程求得壓電振子的等效導納方法。下面進一步分析在不同頻率時壓電振子導納的性質(zhì)。 33頻率很低時的情況low frequency當外加交變電場的頻率很低時，即很小時，可以近似認為k=/c 0，于是34頻率很低時，薄長片壓電振子的等效導納式中電容：35自由介電常數(shù)T33的確定可見低頻時壓電振子等效為一個電

8、容性元件，或者說在低頻時，壓電振子在電路中只起一個電容器的作用，它的電容數(shù)值由（5-21）式確定。實驗上就是通過在很低頻率下，測量壓電振子的電容Clow（稱為低頻電容）來確定自由介電常數(shù)T33。 36應該注意，這里所說的“頻率很低”是指外加交變電場的頻率f（或）遠小于壓電振子的諧振頻率fr（或r）的情況，即ffr，或0，于是：46在反諧振頻率時的情況因為0，所以(+)/2在第二象限，這時tan(+)/2)0，并隨頻率的增加在（- 0）范圍內(nèi)變化，因此一定存在某一個頻率fa或a，即k=ka=a/c時，使得:47即當k=ka時，薄長片壓電振子的等效導納為零，等效阻抗為無限大；通過壓電振子的電流等于

9、零。導納：48在反諧振頻率時電流：阻抗：49可見，當外加交變電場E3的頻率f=fa或=a時，壓電振子的等效阻抗為無限大（實際上為最大值），通過的電流為最?。吹扔诹悖＿@也是一種諧振現(xiàn)象，相應的頻率fa稱為反諧振頻率。實驗上，常通過測量諧振頻率與反諧振頻率來確定機電耦合系數(shù)。50縱向振子的機電耦合系數(shù)k31與諧振頻率fr和反諧振頻率fa之間的關(guān)系欲得到的k31與fr和fa的關(guān)系式，要從（5-24）式出發(fā)，將（5-24）式改寫為 （5-25）51再將 以及 代入（5-25）式得 52 （5-26）因為反諧振頻率稍大于諧振頻率，故可將反諧振頻率fa寫成53又：將這些關(guān)系代入到（5-26）式得：54

10、55再代入上式，并加整理后，即得機電耦合系數(shù)k31與諧振頻率fr與反諧振頻率fa的關(guān)系式：因為f/fr很小，可以將展成為冪級數(shù)：56機電耦合系數(shù)k31的確定因為f/fr很小，通常只取上式的第一項（最多取到第二項）來計算k31值，即57壓電常數(shù)d31的確定可見實驗上，只要測出壓電振子的諧振頻率fr和反諧振頻率fa，代入（5-28）式，即可確定機電耦合系數(shù)k31。再結(jié)合通過低頻電容C0確定的自由介電常數(shù)T33=ltC0/llw，即可確定壓電常數(shù)d3158和夾持介電常數(shù) （5-30）59總之，通過薄長片壓電振子的諧振頻率fr、反諧振頻率fa以及低頻電容Clow和密度，即可確定壓電晶體（或壓電陶瓷）的

11、彈性柔順常數(shù)sE11、壓電常數(shù)d31、自由介電常數(shù)T33、夾住介電常數(shù)S33和機電耦合系數(shù)k31等物理量。60薄長片壓電振子的等效電路equivalent circuit器件設計For device design61已知薄長片壓電振子的等效導納G（或等效阻抗Z）為62當外加電場的頻率很低時，壓電振子的等效導納為：可見頻率很低時，壓電振子在電路中只起著一個電容為Clow的電容器的作用，它的阻抗為Z=1/(jClow)，在此情況下的壓電振子的等效電路是如圖5-3所示純電容電路。63圖5-3 頻率很低時壓電振子的等效電路64串聯(lián)諧振 Series resonant等效阻抗Z|fr=0，電流I3=（實

12、際上I3=極大值）。這種諧振現(xiàn)象與無線電中的LC 串聯(lián)諧振現(xiàn)象相同。因為LC 串聯(lián)諧振時，電路中的阻抗=0，電流=。當外加電場的頻率等于壓電振子的諧振頻率fr時，壓電振子的等效導納為：65所以可以認為諧振時，壓電振子在電路中起著一個串聯(lián)的電容C1和電感L1的作用。在此情況下，壓電振子的等效電路如圖5-4所示的串聯(lián)電路。壓電振子的諧振頻率fr就等于LC串聯(lián)電路中的諧振頻率fs。66圖 5-4 諧振時壓電振子的等效電路67并聯(lián)諧振 parallel resonant當外加電場的頻率等于壓電振子的反諧振頻率fa時，壓電振子的等效導納為：等效阻抗Z|fa=，電流I3=0（實際上為電流極小）。這種諧振現(xiàn)

13、象與無線電中的LC 并聯(lián)諧振現(xiàn)象相同。因為LC 并聯(lián)諧振時，電路中的阻抗無限大，電流為零。68所以可以認為反諧振時，壓電振子在電路中起著一個由電容C0和電感L1以及電容C1相并聯(lián)的作用。在此情況下，壓電振子的等效電路如圖5-5所示的LC并聯(lián)電路。壓電振子的反諧振頻率fa就等于LC并聯(lián)電路中的諧振頻率fp。 69圖 5-5 反諧振時壓電振子的等效電路70壓電振子等效電路中的C0、L1和C1與壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)之間的關(guān)系 一方面，壓電振子的振動特性是由壓電振子的內(nèi)部矛盾來解決的，即由壓電振子的壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)來決定的。另一方面，壓電振子的振動特性又可用LC 串聯(lián)電路和LC 并

14、聯(lián)電路反映出來。因此等效電路中的C0、L1和C1與壓電常數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)之間存在一定的關(guān)聯(lián)。 71這個聯(lián)系可通過壓電振子的等效阻抗（或等效導納）與LC電路中的阻抗加以比較而得到。已知壓電振子的等效導納為： 72其中： 為分路電容， 為分路阻抗， 為動態(tài)阻抗，73使動態(tài)阻抗Z1在諧振頻率附近展開，因為74故得： （5-31）75使LC串聯(lián)阻抗在串聯(lián)諧振頻率 附近展開得： （5-32） 76比較（5-31）式與（5-32）式可以看出，在諧振頻率附近，取一級近似可得動態(tài)阻抗等效于（集總參數(shù)）LC串聯(lián)阻抗，其中聯(lián)系為： （5-34）式 （5-33）式 77（5-33）與（5-34）兩式分別給出了

15、壓電振子的等效電感、等效電容和壓電常數(shù)、彈性常數(shù)之間的關(guān)系。78幾點注意事項通過上述討論使我們對薄長片壓電振子的振動特性、等效電路以及有關(guān)的壓電常數(shù)、彈性常數(shù)、介電常數(shù)和機電耦合系數(shù)的測量有了一個較全面的了解。但是應該注意，上述討論是在壓電振子不存在損耗的條件下進行的。79實際上壓電振子總是存在損耗的，只是在損耗很小時，才可能將損耗忽略不計，近似認為是無損耗的壓電振子。 如果壓電振子的損耗不能忽略不計，就需要計入損耗的影響，于是問題就比較復雜了。80這里只提出如下兩點注意：（1）在同樣大小的外加交變電場E3=E0cos(t)作用下，有機械損耗的壓電振子的振幅比無損耗的壓電振子的振幅小一些，這種

16、損耗在等效電路中的反映就是存在等效電阻R1，如圖5-6所示。81圖 5-6 有損耗時壓電振子的等效電路82其中等效電路參數(shù)為： （5-35）其中Qm為機械品質(zhì)因子。83（2）無損耗時，壓電振子的諧振頻率fr，就等于LC串聯(lián)電路的諧振頻率fs，也等于阻抗最小（電流最大）時的fm。壓電振子的反諧振頻率fa等于LC并聯(lián)電路中的諧振頻率fp，也等于等效阻抗最大（電流最小）時的測量頻率fn，即有：84有損耗時，壓電振子的這些頻率不在相等，而是85即有損耗時，實際測量的阻抗最小，電流最大時的頻率fm，和阻抗最大，電流最小時的頻率fn，既不等于壓電振子的諧振頻率fr和反諧振頻率fa，也不等于LC串聯(lián)諧振頻率fs和LC并聯(lián)諧振頻率fp。86但是當?shù)刃щ娮鑂1較小的情況下（即Qm值較高的情況下），fm、fr、fs之間相差較小，fn、fa、fp之間相差也較小。所以實用上常忽略這個差別，近似地認為相等