大學(xué)物理：第 22 章 量子力學(xué)基礎(chǔ)

1、第 22 章 量子力學(xué)基礎(chǔ)共一百零九頁22.1 實(shí)物(shw)粒子的波動(dòng)性22.2 波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)(tngj)解釋22.3 不確定性關(guān)系第 22 章 量子力學(xué)基礎(chǔ)22.4 薛定諤方程22.6 薛定諤方程的應(yīng)用22.5 力學(xué)量算符的本征值問題22.7 氫原子量子理論22.8 電子的自旋 泡利不相容原理 共一百零九頁光具有(jyu)波粒二象性，那么實(shí)物粒子是否也應(yīng)具有(jyu)波粒二象性？或?qū)嵨锪Ｗ泳哂?jyu)波動(dòng)性嗎？一、 德布羅意物質(zhì)波假設(shè)(jish)德布羅意（L.V. de Broglie 1892-1986，法國 ）從光具有波粒二象性出發(fā)，認(rèn)為實(shí)物粒子也應(yīng)具有波動(dòng)性。1924年11月在巴黎

2、大學(xué)提交的博士論文中提出：22.1 實(shí)物粒子的波動(dòng)性“我們因而傾向于假定，任何運(yùn)動(dòng)物體都伴隨著一個(gè)波動(dòng)，而且不可能把物體的運(yùn)動(dòng)跟波的傳播拆開?！惫惨话倭憔彭撨@種波既不是(b shi)機(jī)械波也不是(b shi)電磁波，稱為物質(zhì)波或德布羅意波。具有能量E和動(dòng)量p的實(shí)物(shw)粒子所聯(lián)系的波的頻率和波長有關(guān)系：在答辯會(huì)上有人問： “這種波怎樣用實(shí)驗(yàn)來證實(shí)呢？”德布羅意答：“可以從電子在晶體上散射這樣的實(shí)驗(yàn) 中檢查到這樣的波?！惫惨话倭憔彭撾m然后來的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證(ynzhng)由戴維孫和革末完成了，但當(dāng)時(shí)純粹是理論推測(cè)。朗之萬把德布羅意的文章(wnzhng)寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷

3、幕的一角”“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”盡管此假說的有待實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，但愛因斯坦還是推薦德布羅意取得了博士學(xué)位。例22-1 估算: m=1g，v=1 cm/s的實(shí)物粒子的波長粒子對(duì)應(yīng)的波長太小，波動(dòng)性無法表現(xiàn)出來！共一百零九頁對(duì)于電子， m= 9.110-31 kg，設(shè)加速(ji s)電壓為U相當(dāng)于晶格常數(shù)量級(jí)，通過類似于晶體(jngt)對(duì)X射線的衍射，可以實(shí)現(xiàn)晶體(jngt)對(duì)電子的衍射。共一百零九頁例22-2 德布羅意把物質(zhì)波假設(shè)用于氫原子認(rèn)為：如果電子在經(jīng)典(jngdin)的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)環(huán)形駐波，滿足玻爾量子化條件(tiojin)德布羅意用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提

4、出的 軌道量子化條件 。共一百零九頁二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)(shyn)驗(yàn)證貝耳電話公司實(shí)驗(yàn)室的戴維遜和革末研究(ynji)電子在鎳單晶上的衍射（1927）。電子槍1. 戴維遜革末實(shí)驗(yàn)（ CJDavisson，18811958； LHGermer，18951971 ）實(shí)驗(yàn)裝置示意圖假如電子具有波動(dòng)性，應(yīng)滿足布喇格公式 此時(shí)電表中應(yīng)出現(xiàn)最大的電流。探測(cè)器I共一百零九頁d若固定 角，改變(gibin)加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大共一百零九頁若固定 角，改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大I實(shí)驗(yàn)結(jié)果:共一百零九頁2. G.P.湯姆遜實(shí)驗(yàn)(shyn)1927年英國物理學(xué)家G.P.湯姆遜做了電子(dinz)通過金多

5、晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)1929年 德布洛意獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。1937年 戴維遜 與 G.P.湯姆遜獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。共一百零九頁3. 約恩遜實(shí)驗(yàn)(shyn)1961年C. Jnsson運(yùn)用(ynyng)銅箔中形成的2-5條細(xì)縫得到了電子的多縫干涉圖樣。1930年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩(Stern)、和他們的同事們證實(shí)了普通原子具有波動(dòng)性。后來實(shí)驗(yàn)又驗(yàn)證了質(zhì)子、中子等實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性。4. 其它實(shí)驗(yàn)共一百零九頁三、微觀粒子波動(dòng)性的應(yīng)用(yngyng)1933年，德國的E.Ruska和Knoll等人研制成功第一臺(tái)電子顯微鏡。1982年，IBM的G.Binnig和H.Rohrer研制成功第

6、一臺(tái)隧道(sudo)掃描顯微鏡（STM）。魯斯卡：電子物理領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究工作，設(shè)計(jì)出世界上第一臺(tái)電子顯微鏡，1986諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)共一百零九頁1986諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)賓尼：設(shè)計(jì)(shj)出掃描式隧道效應(yīng)顯微鏡1986諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng) 羅雷爾：設(shè)計(jì)(shj)出掃描式隧道效應(yīng)顯微鏡END共一百零九頁22.2 波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)(tngj)解釋一、波函數(shù)既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有描述(mio sh)波動(dòng)性的函數(shù)波函數(shù)。奧地利物理學(xué)家薛定諤（ESchrdinger）1925年提出用波函數(shù)(r, t)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。按德布羅意假設(shè)：能量E、動(dòng)量 p 的“自由粒子”沿x方向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波應(yīng)為“單色平面波”：共一

7、百零九頁0為待定常數(shù)(chngsh)或由關(guān)系(gun x)數(shù)可將波函數(shù)改寫為若粒子為三維自由運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)可表示為波函數(shù)的物理意義是什么？粒子的什么性質(zhì)在波動(dòng)？共一百零九頁二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)(tngj)解釋對(duì)應(yīng)粒子波動(dòng)性的波函數(shù)做為一個(gè)重要的新概念登上量子力學(xué)舞臺(tái)后，其本身的物理(wl)意義卻模糊不清，使許多物理(wl)學(xué)家感到迷惑不解而大傷腦筋。愛因斯坦為了解釋光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的強(qiáng)度解釋為光子出現(xiàn)的幾率密度。玻恩(MBorn，18821970)在這個(gè)觀念的啟發(fā)下，馬上將其推廣到函數(shù)上：|2必須是電子（或其它粒子）的幾率密度” 。1954年，玻恩獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。（ ,t）

8、的物理意義在于：波函數(shù)的模的平方（波的強(qiáng)度）代表時(shí)刻 t、在空間 點(diǎn)處，單位體積元中微觀粒子出現(xiàn)的概率。共一百零九頁不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無直接的物理意義。有意義(yy)的是對(duì)單個(gè)粒子，給出粒子的概率分布密度；對(duì)N 個(gè)粒子，給出粒子數(shù)的分布密度。在時(shí)刻 t、空間 點(diǎn)處，體積元 dV 中發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率為：對(duì)N 粒子(lz)系，在體積元 dV 中發(fā)現(xiàn)的粒子數(shù)為說明：1.共一百零九頁讓入射電子幾乎一個(gè)(y )一個(gè)(y )地通過單縫隨著電子數(shù)增大，逐漸形成衍射圖樣衍射圖樣來源于“單個(gè)電子”所具有(jyu)的波動(dòng)性統(tǒng)計(jì)規(guī)律。底片上出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)子，開始時(shí)點(diǎn)子無規(guī)則分布 說明電子具有“粒子性”，但

9、不滿足經(jīng)典的決定論。一個(gè)電子重復(fù)許多次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。例22-2 用幾率波說明弱電子流單縫衍射數(shù)百個(gè)電子少數(shù)幾個(gè)電子數(shù)萬個(gè)電子德布洛意波（物質(zhì)波）也稱為概率波。共一百零九頁 2. 如何(rh)理解微觀粒子的波粒二象性（1）粒子(lz)性指它與物質(zhì)相互作用的 “整體性”。但不是經(jīng)典的粒子，因?yàn)槲⒂^粒子沒有確定的軌道。(2) 波動(dòng)性“彌散性”、“可疊加性”、“干涉”、“衍射”。不 是經(jīng)典的波，并不對(duì)應(yīng)某真實(shí)物理量的波動(dòng)。(3) 在一些情況下，實(shí)物粒子突出顯示出其粒子特性；而在另一些情況下，則突出顯示出波動(dòng)特性即波粒二象性。“波動(dòng)性”與“粒子性”的聯(lián)系玻恩統(tǒng)計(jì)解釋。共一百零九頁3. 關(guān)于(

10、guny)量子力學(xué)的爭(zhēng)論 以玻耳為首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本哈根學(xué)派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均(pngjn)表現(xiàn)。 以愛因斯坦為首，包括薛定諤、德布羅意學(xué)派：自然規(guī)律根本上是決定論的?！吧系劭隙ú皇怯脭S骰子來決定電子應(yīng)如何運(yùn)動(dòng)的！” “God does not play dice”共一百零九頁Einstein: 不相信(xingxn)單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)是不確定的，可以設(shè)計(jì)更精確的實(shí)驗(yàn)儀器解決。Bohr: 所有粒子的不確定性是原則(yunz)的、本性的。Einstein: 我不相信上帝會(huì)玩骰子（色子）。Bohr: 不要指揮上帝去做什么。Einstein-Bohr 爭(zhēng)論（

11、1927-1955）Einstein: 按照電子的衍射，某一電子落在何處與前一個(gè)電子落在何處有關(guān)，這是不可能的。Bohr: 不是前后電子之間相互影響，而是單個(gè)電 子的運(yùn)動(dòng)具有不確定性。在1927年Solvey會(huì)議上：共一百零九頁三、波函數(shù)應(yīng)滿足(mnz)的條件 1. 自然條件：?jiǎn)沃怠⒂邢?yuxin)和連續(xù)2. 歸一化條件粒子出現(xiàn)在dV 體積內(nèi)的幾率為：粒子在空間各點(diǎn)的概率總和應(yīng)為 l，END共一百零九頁22.3 不確定性關(guān)系(gun x)按照經(jīng)典波動(dòng)(bdng)理論，約束在空間某區(qū)域內(nèi)的波不可能是單色的不可能具有唯一的波長。這一結(jié)論對(duì)物質(zhì)波同樣正確：被束縛在某區(qū)域的粒子不可能具有確定的動(dòng)量，

12、即粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)取確定值，存在一個(gè)不確定關(guān)系。海森堡（W. Heisenberg）在1927年發(fā)表了著名的位置動(dòng)量不確定關(guān)系以電子的單縫衍射為例說明。電子的單縫衍射“中央亮紋”半角寬度滿足：一、位置動(dòng)量不確定關(guān)系共一百零九頁如果把單縫看成對(duì)電子坐標(biāo)的測(cè)量?jī)x器(yq)， x相當(dāng)于對(duì)電子坐標(biāo)測(cè)量的不確定度。x單縫存在使電子(dinz)在x方向的動(dòng)量分量出現(xiàn)不確定性共一百零九頁不限制(xinzh)電子坐標(biāo)時(shí)，動(dòng)量可以取確定值。對(duì)坐標(biāo) x 測(cè)量得越精確（x 越?。?，動(dòng)量不確定性 px 就越大(衍射(ynsh)越厲害)。電子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定。嚴(yán)格的不確定性關(guān)系應(yīng)該是：共一百零九頁例22

13、-2 氦氖激光器發(fā)光波長 ，譜線寬度 ，求即相干長度，譜線展寬導(dǎo)致光子(gungz)動(dòng)量的不確定解：當(dāng)這種光子沿 x 方向(fngxing)傳播時(shí)，它的 x坐標(biāo)的不確 定就是即相干長度，也就是波列長度共一百零九頁將上例激光(jgung)光子位置-動(dòng)量不確定性關(guān)系二、能量和時(shí)間(shjin)的不確定關(guān)系同樣可得粒子處于某狀態(tài)的能量和時(shí)間的不確定性關(guān)系變?yōu)楣惨话倭憔彭摽梢越忉尀槭裁丛?yunz)譜線自然寬度譜線寬度：與實(shí)驗(yàn)(shyn)測(cè)量結(jié)果吻合！原子基態(tài)壽命無窮長，基態(tài)有確定的能量值。例22-3 原子在激發(fā)態(tài)的壽命為10-8 s，由不確定關(guān)系共一百零九頁不確定性關(guān)系限定了使用經(jīng)典語言(yyn)

14、的范圍和度不確定性的物理根源(gnyun)是粒子的波動(dòng)性。說明：不確定性與測(cè)量沒有關(guān)系，是微觀粒子波粒二象性的體現(xiàn)。例22-4 氫原子中的電子的軌道運(yùn)動(dòng)速度為106m/s，速度的不確定度：，vv但威爾遜云室可看到一條白亮的粒子徑跡10-4 cm ，由此可得：pp，波動(dòng)性不是很明顯，軌道概念仍適用?？梢姴▌?dòng)性十分明顯，不能用軌道概念描述! 但END共一百零九頁按照經(jīng)典波動(dòng)理論，波動(dòng)的物理量滿足如下形式(xngsh)的波動(dòng)方程：22.4 薛定諤方程(fngchng)V為波速物質(zhì)波的波動(dòng)方程是什么？德布洛意關(guān)于電子波動(dòng)性的假設(shè)傳到蘇黎士后，德拜(P.Debye，The Nobel Prize in

15、Chemistry 1936)說，“一個(gè)沒有波動(dòng)方程的波動(dòng)理論太膚淺了！”。當(dāng)時(shí)年輕的薛定諤在場(chǎng)。在一周后聚會(huì)時(shí)薛定諤說：“我找到了一個(gè)波動(dòng)方程！”。量子力學(xué)中的基本動(dòng)力學(xué)方程。共一百零九頁一、薛定諤方程(fngchng)的建立自由(zyu)粒子波函數(shù)對(duì)波函數(shù)微分得能量算符共一百零九頁動(dòng)量(dngling)算符共一百零九頁自由粒子(lz)的薛定諤方程由和共一百零九頁把自由粒子運(yùn)動(dòng)(yndng)算符推廣到非自由粒子運(yùn)動(dòng)(yndng)，粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為U(x,t)，粒子的能量薛定諤方程(fngchng)變?yōu)楣惨话倭憔彭撨@就是(jish)含時(shí)薛定諤方程稱為(chn wi)哈密頓算符，則令推廣到三維勢(shì)

16、場(chǎng)U( r, t) 中共一百零九頁令薛定諤方程(fngchng)形式不變哈密頓算符變?yōu)楣惨话倭憔彭撗Χㄖ@方程不是推導(dǎo)出來的，而是依據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和基本假定“建立”的，是否(sh fu)正確則由實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)。 薛定諤方程描述非相對(duì)論實(shí)物粒子在勢(shì)場(chǎng)中的狀態(tài)隨時(shí)間的變化，反映了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)(yndng)規(guī)律。說明：薛定諤（Schrdinger 1887-1961）1933年薛定諤獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。奧地利物理學(xué)家，提出量子力學(xué)最基本的方程。共一百零九頁二、定態(tài)薛定諤方程(fngchng)若微觀粒子處在穩(wěn)定的勢(shì)場(chǎng)中，則勢(shì)能函數(shù)U與時(shí)間無關(guān)(wgun)，稱這類問題為定態(tài)問題。自由運(yùn)動(dòng)粒子 例如：氫原子中的電子

17、此時(shí)，哈密頓算符與時(shí)間無關(guān)，薛定諤方程可用分離變量法求解：波函數(shù) 可以分離為空間坐標(biāo)函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積。共一百零九頁設(shè) 可得只含變量 t 和只含變量 r 的兩個(gè)方程：共一百零九頁1. 方程(fngchng)（1）是關(guān)于變量為t 的微分方程，解為：時(shí)間(shjin)振動(dòng)因子2. 方程（2）是關(guān)于變量為x、y、z的微分方程：稱為定態(tài)薛定諤方程，又稱為能量算符的本征方程其解 (x,y,z) 與粒子所處的外力場(chǎng)U 和邊界條件有關(guān)。共一百零九頁3. 波函數(shù)是以上(yshng)兩部分的乘積粒子出現(xiàn)在空間(kngjin)的幾率與時(shí)間無關(guān)定態(tài)粒子出現(xiàn)在空間的幾率：可見，定態(tài)問題最后歸結(jié)為求解定態(tài)薛定諤方程。

18、END共一百零九頁22.5 力學(xué)(l xu)量算符的本征值問題一、力學(xué)(l xu)量的算符表示在量子力學(xué)中，系統(tǒng)的任何力學(xué)量均對(duì)應(yīng)一算符，力學(xué)量所能取的值是其相應(yīng)算符的本征值。例如： 動(dòng)量算符這是量子力學(xué)的又一基本假設(shè)對(duì)一維運(yùn)動(dòng)共一百零九頁 坐標(biāo)(zubio)算符（就是(jish)它自己） 動(dòng)能算符：共一百零九頁 能量(nngling)算符: 角動(dòng)量算符:共一百零九頁共一百零九頁二、算符的本征值問題(wnt)利用定態(tài)薛定諤方程求解(qi ji)能量和定態(tài)波函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)能量算符的本征值問題。E ：稱為能量算符的本征值。能量算符的本征值方程為了使波函數(shù)單值、連續(xù)、有限，能量的取值受到了限制。：

19、稱為能量算符的本征函數(shù)（本征態(tài)）共一百零九頁對(duì)于(duy)處在束縛態(tài)勢(shì)場(chǎng)中的粒子能量只能取一系列的分立值：E1，E2，.，En，.同理，通過求解動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符的本征方程(fngchng)可得到相應(yīng)算符的本征函數(shù)和本征值。END共一百零九頁22.6 薛定諤方程(fngchng)的應(yīng)用確定(qudng)粒子的哈密頓量；在全空間寫出粒子的能量本征方程；利用波函數(shù)的自然條件確定確定能量本征值和波函數(shù)。步驟：處理的問題：勢(shì)阱中的粒子粒子被束縛在某勢(shì)場(chǎng)中；勢(shì)壘對(duì)粒子的散射自由粒子入射到某勢(shì)場(chǎng)中。共一百零九頁一、一維無限深勢(shì)阱(sh jn)中的粒子金屬中的電子由于金屬表面勢(shì)能（勢(shì)壘）的束縛被限制在一個(gè)

20、(y )有限的空間范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。稱為一維無限深方勢(shì)阱。-e-e-e-e-e-e-e如果金屬表面勢(shì)壘很高，可以將金屬表面看為一剛性盒子。如果只考慮一維運(yùn)動(dòng)，就是一維剛性盒子。勢(shì)能函數(shù)為：V = 0V(x)x無限深方勢(shì)阱共一百零九頁 在勢(shì)阱(sh jn)內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程令得解為：待定常數(shù)C 和解由波函數(shù)的自然條件(tiojin)確定。V = 0V(x)x無限深方勢(shì)阱共一百零九頁 波函數(shù)在阱壁上的連續(xù)(linx)條件、本征能量該方程(fngchng)的解只能是： 在勢(shì)阱外，定態(tài)薛定諤方程共一百零九頁 由式（3）可得 由式（4）可得 思考(sko)：為什么n不取零和負(fù)整數(shù)？ 粒子(lz)的能量：其中共

21、一百零九頁能量取分立(fn l)值（能級(jí)），能量是量子化的。n =132能量(nngling)間隔為：能級(jí)增大,能級(jí)間隔遞增阱變寬,能級(jí)間隔下降大質(zhì)量粒子的能級(jí)間隔小L 很大或 m 很大，能級(jí)幾乎連續(xù)共一百零九頁 最低能量(零點(diǎn)能) 波動(dòng)性說明勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)(y )能量本征態(tài)正好對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)(y )特定波長的駐波。 勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量(dngling)和波長共一百零九頁定態(tài)波函數(shù)為 歸一化常數(shù)(chngsh)C和定態(tài)波函數(shù)共一百零九頁粒子(lz)在阱內(nèi)的波函數(shù)為共一百零九頁波函數(shù)為頻率相同、波長相同、傳播方向(fngxing)相反的兩單色平面波的疊加形成駐波。可知(k zh)：阱寬為駐波半波長的整數(shù)倍。由關(guān)系粒子在勢(shì)阱中的幾率分布：共一百零九頁共一百零九頁哈密頓量定態(tài)薛定諤方程(fngchng)二、一維諧振子（拋物線勢(shì)阱(sh jn)）晶體中原子圍繞平衡位置作小振動(dòng)時(shí)可近似認(rèn)為是諧振動(dòng)，勢(shì)函數(shù)為：共一百零九頁或利用級(jí)數(shù)展開法解該微分方程(wi fn fn chn)。波函數(shù)滿足的自然條件進(jìn)一步限制了能量E的取值。主要結(jié)論如下： 1. 諧振子能量(nngling) 能量間隔均勻： 能量E是量子化的共一百零九頁 最低能量(nngling)