狀態(tài)方程求解課件

1、第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間分析主要內(nèi)容： （1）定量分析：狀態(tài)方程求解； （2）定性分析：系統(tǒng)可控性、可觀性2.1 一階標量微分方程求解一階標量微分方程為：當輸入為0即 時，得齊次方程：2.1.1 齊次方程求解在高等數(shù)學中，可按下法求解：因當 a(t)=a，且a為常數(shù)，上式簡化為 上式即是齊次方程的解。 如果 初始值x(t0)確定 ，x(t) 有唯一解有求解關(guān)鍵：將方程轉(zhuǎn)換為易于積分的形式。方程兩邊同乘以 k(t)并整理，得：2.1.2 非齊次方程求解函數(shù)k(t)由方程 dk(t)/dt=-k(t)a(t) 確定因為dk(t)/dt=-k(t)a(t) 為齊次方程，其解為則有即上式兩邊求積分，得

2、：或即：當a為常數(shù)時，2.2.1 齊次狀態(tài)方程求解其初始狀態(tài)為 ，A為常數(shù)矩陣與一階標量微分方程求解相類似，齊次方程的解為2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解2.2.1.1 矩陣指數(shù)法齊次狀態(tài)方程為：例題1：例題2：矩陣指數(shù)：分析： 系統(tǒng)任意時刻的狀態(tài)由系統(tǒng)初始狀態(tài)與矩陣指數(shù)唯一確定。 關(guān)鍵：矩陣指數(shù)計算！2.2.1.2 拉式變換法 矩陣指數(shù)法缺點：需進行矩陣求冪及級數(shù)求和，且常常無法得到閉式解！ 可以應用古典控制論中的拉式變換法進行求解。方程兩邊取拉氏變換：式中整理得：等號兩邊同時左乘得：取拉氏反變換，得：例題1： (同前）例題2：分析： 關(guān)鍵是求得逆矩陣并進行拉式反變換。 可以得到閉式解。

3、（1）對所有有限時間是絕對收斂的（？）矩陣指數(shù)性質(zhì)：2.2.1.3 矩陣指數(shù)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（4）當且僅當 ，有狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣： 矩陣指數(shù)含意：利用矩陣指數(shù)可求得任意時刻系統(tǒng)狀態(tài)，即可使狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意時刻！齊次狀態(tài)方程的解又可寫為：定義：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)： （1） （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆表征了時間的倒轉(zhuǎn)據(jù)此性質(zhì)可以推算t0過去時刻的狀態(tài) （3） （4）該性質(zhì)表明了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有組合性質(zhì)該性質(zhì)表明：長的轉(zhuǎn)移過程可以分解為若干短的轉(zhuǎn)移過程 （5）該性質(zhì)表明了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有組合和傳遞性質(zhì) （6）幾個特殊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：（1）若矩陣A為對角線矩陣，即則條件？（2）若矩陣A能夠通過非奇異變換予以對

4、角化，即則（3）若矩陣A為Jordan矩陣，則（4）若矩陣A為對偶矩陣則由約當規(guī)范型計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：（1）A的特征值互異：若：則：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算：（1）根據(jù)矩陣指數(shù)公式；（2）利用拉式變換；（3）變換A為約當規(guī)范型。（4）應用Cayley-Hamilton定理例題：設線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為：式中求解齊次狀態(tài)方程。方法一：矩陣指數(shù)法：初始時刻t0=0, 即那么又方法二：拉式變換法：求矩陣求矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為方法三：利用?。w一化）：則則而則（2）矩陣A具有相同的特征值則(4) Cayley-Hamilton定理矩陣A的特征多項式(Characteristic Polynomial)

5、為：相應地，矩陣多項式為Cayley-Hamilton Theorem若矩陣A的特征方程為那么，矩陣A滿足其自身的特征方程，即根據(jù)Cayley-Hamilton 定理可寫為如何求矩陣A具有互異特征值時矩陣A具有相同特征值時Example已知求特征根2.2.2 非齊次狀態(tài)方程求解2.2.2.1 矩陣指數(shù)法 計算公式：當 時，有：用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表達，有：或（條件？）： 兩部分組成：初始狀態(tài)引起的自由運動部分 控制輸入產(chǎn)生的強迫運動部分 要積分了！ 例題：式中解：2.2.2.2 拉式變換法計算公式：例題：（同前，再做一下！）2.3 線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解考慮n階齊次線性連續(xù)系統(tǒng)方程：為初始值，

6、A(t)為時變矩陣。2.3.1 齊次系統(tǒng)狀態(tài)方程求解與定常系統(tǒng)類似，時變系統(tǒng)的解為：式中 為時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。應滿足如下條件（嚴格否？）： 計算公式：(1) 如果下式成立：或?qū)θ我鈺r刻 t1 和 t2，下式成立（苛刻條件?。﹦t狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可按下式計算： 當矩陣A為對角矩陣時，恒有:Example（2）若則需按下法計算：計算原理：計算公式： 計算量很大！線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣既與 t 有關(guān)也與 t0 有關(guān)，但與 t t0 無關(guān)。不能隨便取 t0 = 0 ！例題： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)： 與定常系統(tǒng)類似！考慮 n 階非齊次線性時變連續(xù)系統(tǒng)：A(t)，B(t)為時變矩陣其解為：2.3.1 非齊

7、次系統(tǒng)狀態(tài)方程求解除了簡單情況外，很難得到閉式解。求數(shù)值解！線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：（1）遞推法 適用于線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)（2）Z變換方法 只適用于線性定常系統(tǒng)2.4 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程求解求解方法：2.4.1 定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程求解（1）遞推法 ：依次令 k = 0,1,2,得：將方程從上到下依次代入，得：整理得：上式即為定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的通解含義？分析： 解也由兩部分組成：初態(tài)轉(zhuǎn)移部分受控部分稱為線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則有：定義：若記：i=k-1-j, 可得：對方程兩邊同時進行Z變換，得：(2)Z變換法：式中：整理得：等號兩邊同時左乘以得：取Z反變換，得：比較下面

8、兩式：Example設線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其中試求狀態(tài)方程的解方法一：遞推法當k=0時當k=1時當k=2時當k=3時如此迭代下去，可得任意采樣時刻 t = kT ( k=1,2)上狀態(tài)方程的解。 要得到閉式解，需用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣！矩陣求冪基本公式：式中 P 為 A 的相似變換矩陣。例題： （同上）直接求解困難利用相似對角矩陣（1）求矩陣A的特征值（2）求變換矩陣 P（3）求變換矩陣 P 逆矩陣（4）求矩陣A的相似對角線矩陣（5）求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣利用（6）求初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移項：（7）計算（8）最終求得方法三：Z變換法（略）線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：應用遞推法可得其解為：2.4.2 線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程求解其中：設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其解為：2.5.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化(1)一般方法:2.5 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化分析: （1）新的離散方法；（2）近似計算需