非線性振動1講解課件

1、第6章 非線性振動 振 動 理 論 及 其 應(yīng) 用6.1 非線性振動概述 6.2 非線性振動的定性分析方法6.3 非線性振動的近似解析方法6.4 非線性振動的數(shù)值分析方法 6.5 分叉與混沌的概念第1頁，共33頁。6.1 非線性振動概述第6章 非線性振動 非線性特性 材料非線性振幅過大超出材料線彈性范圍幾何非線性位移或變形過大使結(jié)構(gòu)幾何形狀顯著變化非線性阻尼材料內(nèi)摩擦阻尼、流體阻尼等都是非線性阻尼負剛度負阻尼有些情況下會存在負剛度和負阻尼非線性系統(tǒng) 當(dāng)真實系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或阻尼元件的力與運動速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時，系統(tǒng)的運動微分方程不能用線性微分方程描述

2、，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實系統(tǒng)作小運動時，可忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。第2頁，共33頁。第6章 非線性振動 6.1 非線性振動概述非線性振動的研究方法 非線性振動研究的方法有：定性分析、定量分析和數(shù)值分析方法。非線性振動研究的內(nèi)容 非線性振動研究的基本內(nèi)容之一就是建立對真實振動系統(tǒng)的計算方法，改進計算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。定性法 研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運動的時間歷程。通常采用幾何方法描述系統(tǒng)的運動特征。定量法 通過一些漸近的解析方法研究系統(tǒng)運動的時間歷程。數(shù)值法 通過數(shù)值計算方法研究系統(tǒng)非線性振動的規(guī)律和現(xiàn)象。第3頁，共33頁。第6章單

3、非線性振動 6.1 非線性振動概述線性振動 非線性振動與線性振動的區(qū)別非線性振動 自由振動頻率與初始條件無關(guān) 自由振動頻率與振幅有關(guān) 強迫振動頻率與激勵力頻率相等 強迫振動頻率成分復(fù)雜，有時與激勵頻率不相等的頻率成分突出穩(wěn)定平衡位置附近的運動是穩(wěn)定的 穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不穩(wěn)定運動強迫振動中每個激勵頻率有一個對應(yīng)的振幅 強迫振動中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性 疊加原理成立 疊加原理不成立第4頁，共33頁。6. 2 非線性振動的定性分析方法 第6章 非線性振動 設(shè)n自由度系統(tǒng)的運動微分方程為位形空間相空間其中， qi是廣義坐標，fi是廣義坐標和廣義速度的非線性函數(shù)。 由變量qi規(guī)

4、定的n維笛卡兒空間稱為位形空間。方程的解qi(t)可用位形空間的n維矢量表示。 由變量qi和 規(guī)定的2n維空間稱為狀態(tài)空間或相空間。 設(shè) ， 和 ， 則矢量x可唯一表示系統(tǒng)在任一時刻t的狀態(tài)。方程可寫為 或第5頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng) Xi中沒有一個顯含時間t 時，系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)， Xi中至少有一個顯含時間t 時，系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。普通點和奇異點 凡是 的點稱為普通點、相點或正則點；而X 0 的點稱為奇異點或平衡點。 從狀態(tài)方程可以看出平衡點的速度與加速度為零。未擾解和被擾解 xi= fi (t )為方程的一個已知解，稱為未

5、擾解。研究系統(tǒng)在fi (t )領(lǐng)域中的運動xi (t )稱為被擾運動。 特別有意義的兩類未擾解是對應(yīng)于平衡點的常數(shù)解和對應(yīng)于封閉軌線的周期解。第6頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 Lyapunov穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性的幾何解釋 設(shè)由 xi 規(guī)定的相空間的原點與平衡點重合，則系統(tǒng)的運動幅度定義為原點到擾動解積分曲線上任何一點的距離： 若給定任意小的正數(shù)e，存在正數(shù)d，對于一切受擾運動，只要其初始擾動滿足 ，對于所有的 均滿足 ，則稱平凡解是穩(wěn)定的。 若這個平凡解是Lyapunov穩(wěn)定的，而且 ，則解是漸近穩(wěn)定的。不穩(wěn)定漸近穩(wěn)定穩(wěn)定第7頁，共33頁。第6章 非線性振

6、動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 相平面 討論一單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，其動力學(xué)方程的一般形式為： 對于單自由度系統(tǒng)，相空間縮減為以x1和x2為直角坐標系的（x1，x2 ）平面，稱為系統(tǒng)的相平面。 設(shè) ， 和 ， ，上式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組： 第8頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 與系統(tǒng)的運動狀態(tài)一一對應(yīng)的相平面上的點稱為系統(tǒng)的相點。相軌跡不同初始條件的相軌跡組成相軌跡族。 系統(tǒng)的運動過程可用相點在相平面上的移動過程來描述。相點移動的軌跡稱為相軌跡，或相跡。第9頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 奇點

7、相平面內(nèi)能使狀態(tài)方程右端等于零的特殊點稱為相軌跡的奇點。表明系統(tǒng)的速度和加速度均等于零，奇點的物理意義即系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此也可將奇點稱為平衡點。 對單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，狀態(tài)方程為：相平面上個別的平衡點就是以下方程的解：第10頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 記系數(shù)矩陣 不失一般性，將坐標原點移至奇點處，并將函數(shù)在奇點（0，0）附近展開為泰勒級數(shù)，得到：其中第11頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 引入向量 設(shè)e1和e2是在原點的領(lǐng)域中小到可以忽略，則可以用下列線性化方程討論非線性方程在原點附近的穩(wěn)定性：作非奇異線性

8、變換則方程可以寫為其中第12頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 選擇合適的B，可使變換后的矩陣J 為若當(dāng)標準型，可以證明，矩陣J與矩陣A有相同的特征值。下面討論矩陣J 的特征值與奇點特性的關(guān)系。 J 有不相等的實特征值l1和l2，則有 線性變換后的方程上式的解為解的兩邊分別對時間求導(dǎo)，并消去時間t，可以得到其中第13頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 則有或設(shè)a = l 2 / l 1 ，則有或把解 改寫成 和或第14頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 相軌跡為指數(shù)曲線族。 當(dāng) l10l2 ，

9、即兩個本征值異號時，a 0，即兩個特征值同號時，奇點為結(jié)點。當(dāng) 兩個特征值都為負時，當(dāng) t 時，所有的軌線趨向于原點，因此，奇點是穩(wěn)定結(jié)點，系統(tǒng)的運動是漸近穩(wěn)定的。而當(dāng)特征值同為正時，奇點是不穩(wěn)定結(jié)點。穩(wěn)定結(jié)點第16頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 J 有相同的特征值l1 = l2 一種情況為方程可以寫為：方程的解為第17頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 相軌跡方程為 相軌跡為直線族。 當(dāng) 兩個特征值小于零時相跡的方向指向原點，奇點為穩(wěn)定節(jié)點；當(dāng) 兩個特征值大于零時相跡的方向遠離原點，奇點為不穩(wěn)定節(jié)點 。穩(wěn)定結(jié)點第18頁，

10、共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 J 有相同的本征值l1 = l2 此時方程可以寫為：此方程的解為另一種情況為第19頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 上述兩式相除，并消去時間 t可得（x 0） 當(dāng)特征值l1 0） 當(dāng)l1 0 時，奇點是不穩(wěn)定結(jié)點。 第20頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 若J 有共軛復(fù)根 則有將直角坐標變換成極坐標方程可寫為因而兩邊對時間求導(dǎo)第21頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 此方程的通解為 此時的相軌跡為圍繞奇點的螺旋線，奇點為焦點

11、。 當(dāng)a 0 時是不穩(wěn)定焦點。 穩(wěn)定焦點第22頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 當(dāng)a 0 時，相軌跡轉(zhuǎn)化為圓，奇點為中心。中心第23頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 奇點的分類準則 線性變換后的變量u與變換前的變量x是線性同構(gòu)的，它們的奇點類型也完全相同。根據(jù)以上分析結(jié)果，奇點的類型取決于矩陣A的特征值。將A的特征方程展開，得到： 其中特征值為其中第24頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 奇點類型和這兩個參數(shù)的關(guān)系可以歸納如下： 由上面的分析可以看出，奇點的不同類型由參數(shù)p和D完全確定，只

12、要這兩個參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點的類型就確定。第25頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 參數(shù)平面上的奇點類型第26頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 例題61判斷單擺的奇點類型 設(shè)單擺相對垂直軸的偏角j為廣義坐標，其動力學(xué)方程為 或 設(shè)： 方程式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組： 第27頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 得到單擺的奇點為其中， 令： 把原點移至單擺的奇點，則在原點附近線性化的方程為：所以有：第28頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 根據(jù)前面的分析，由p、q和D來判斷系統(tǒng)的奇點類型:(0, 0)第29頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 單擺的相軌跡圖 從單擺相軌圖上可以清楚看到系統(tǒng)奇點的性質(zhì)。單擺的相軌跡圖狀態(tài)方程改寫成消去 d t：整理：積分：或：第30頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法 極限環(huán) 相平面內(nèi)的封閉軌線是對系統(tǒng)周期運動的定性描述。穩(wěn)定的中心周圍密集的封閉軌線對應(yīng)于單自由度保守系統(tǒng)的自由振動，振幅取決于初始條件。 孤立的封閉軌線稱作極限環(huán)，振幅取決于系統(tǒng)參數(shù)。極限環(huán)穩(wěn)定性的幾何解釋第31頁，共33頁。第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方