【張量分析ppt課件】張量分析課件第三章3 二階張量特征值與特征方向

1、3.4 二階張量特征值、特征方向二階張量A實(shí)現(xiàn) V到V的線性變換（這種變換通過二階張量與矢量的點(diǎn)乘實(shí)現(xiàn)）。對給定的二階張量A , V中是否存在這樣的矢量u使得A點(diǎn)乘u所得到的矢量 A u方向與 u相同， 而大小發(fā)生變化。這類問題稱為二階張量的特征值問題。設(shè)A為給定的二階張量。那么A的特征值問題歸結(jié)為u V，使得： （3.4-1） （3.4-2） 若（3.4-1）的u存在，則稱u是 A的右特征矢量； 是 A的右特征值；若（3.4-2）的u存在，則稱u是 A的左特征矢量； 是 A的左特征值。編輯課件設(shè)V中標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系為 i1, i2, i3 。則二階張量 A和矢量 u可表示為： 可分別寫成：或

2、（3.4-3） （3.4-4） （3.3-3）和（3.3-4）是關(guān)于 u1, u2, u3的齊次線性代數(shù)方程。方程有非零解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式為零。或者說A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要條件是： 編輯課件 (a)、(b)兩式是關(guān)于的三次相同的代數(shù)方程。也就是說 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： 令 ： 編輯課件（3.4-5） 將該式代入(c)式得： （3.4-6） 該式稱為二階張量 A 的特征方程。且由特征方程可確定特征值1, 2, 3。式中 I1(A) , I2(A) , I3(A)稱 A的第一、第二、第三不變量。由(c)式及行列式的定義可知det(A

3、- I)表達(dá)式中的矢量a、b、c的取值只要滿足 ，則 a、b、 c 的取值不改變行列式 det ( A- I ) 的值。因此 A的三個不變量I1(A) , I2(A) , I3(A)與a、b、c的選取無關(guān)。 由（3.4-6）可知，對給定的二階張量A 。特征方程的系數(shù)是不變的，且特征值1, 2, 3由不變量 I1(A) , I2(A) , I3( I3 (A) 唯一確定。對特征值問題，由特征方程確定了特征特征值后，將特征值 1, 2, 3代入特征問題的（3.4-3）、（3.4-4）式中可確定是否存在特征矢量。編輯課件例15： 試求二階張量 的特征值。并確定A是否存在右和左特征矢量。如果存在試求出

4、特征矢量。 解：由det (A- I )得： 解之得：顯然2, 3代入（3.4-3）和（3.4-4）式中所確定的u1, u2, u3是復(fù)數(shù)。即 u = ui ii是復(fù)矢量。因此二階張量A不存在與特征值2 = i , 3 = -i 對應(yīng)的右和左實(shí)特征矢量。與1 = 1對應(yīng)的右和左特征矢量如果存在，則應(yīng)當(dāng)滿足（3.4-3）和（3.4-4）式。即：（1） 編輯課件和 （2） （1）式和（2）式關(guān)于u1, u2, u3的系數(shù)行列式的值分別均為0。因此 u1, u2, u3 有非零解。也就是說與特征值 1 = 1對應(yīng)的左、右特征矢量都存在。 右特征矢量： ; （a是任意實(shí)數(shù)） 是方程組（1）的非零解。因

5、此 u = a i2是 A的1 = 1特征值對應(yīng)的右特征矢量。 左特征矢量： ; （a是任意實(shí)數(shù)）編輯課件是方程組（2）的非零解。因此： 是 A的1 = 1特征值對應(yīng)的右特征矢量。由該例可以看出二階張量 A 的同一特征值對應(yīng)的右和左特征矢量是不相同的。且與復(fù)特征值對應(yīng)的實(shí)特征矢量不存在。但特征方程（3.4-6）至少有一個實(shí)特征值。因此可以肯定二階張量至少有一個右特征矢量和一個左特征矢量。 編輯課件以下對(實(shí))正交二階張量、(實(shí))對稱二階張量和(實(shí))反對稱二階張量的特征值問題進(jìn)行分析。 一、正交二階張量特征值問題由特征方程（3.4-6）可知，實(shí)A的三個特征值至少有一個是實(shí)數(shù)，另外兩個或是實(shí)數(shù)或是

6、一對共軛復(fù)數(shù)。對正交二階張量這里只討論存在的實(shí)特征值和其對應(yīng)的特征矢量。 設(shè)Q是正交二階張量；r、 是Q的右特征矢量和實(shí)特征值。 若det Q =1，則： 因此得出結(jié)論：正交二階張量 Q，當(dāng)det Q =1時存在右特征矢量 r。其對應(yīng)的特征值 = 1。且： 編輯課件（3.4-7） 若det Q = -1 ，則： 因此得結(jié)論：正交二階張量Q，當(dāng)det Q = -1時存在右特征矢量 r 。其對應(yīng)的特征值 = -1。且： （3.4-8） 綜合（3.4-7）和（3.4-8）式有：（3.4-9） 二、反對稱二階張量特征值問題設(shè) 編輯課件該式表明反對稱二階張量或有一個零特征值和二個復(fù)特征值；或三個特征值為

7、零。即反對稱二階張量至少有一個零特征值( = 0)，那么： 即存在一個單位矢量 r 使得： 由于反對稱二階張量 A無非零實(shí)特征值。因此 A是退化二階張量( det A = 0 ) 。退化二階張量本質(zhì)上已不是二階張量。對反對稱（退化）二階張量可與一矢量對應(yīng)。按矢量空間到矢量空間的變換，對任意aV ，反對稱二階張量A通乘將A變換到 A aV。同時對任意給定二階反對稱二階張量 A ，存在矢量使得： （3.4-10） 當(dāng)定義三階張量： （3.4-11） 則： （3.4-12） 編輯課件由運(yùn)算可得：由（3.4-12）定義的矢量稱為二階反對稱張量A的軸矢量。且對每一個反對稱二階張量 A都對應(yīng)一個軸矢量 。

8、 A和一一對應(yīng)。 編輯課件例16： 試證明對任意 a 都有 ：證： 又 顯然是A的右特征矢量。同理可得 是A的左特征矢量。例17： 試證明： 證：由第二章例6 e 恒等式得： 編輯課件例18： 已知A是反對稱二階張量， 是其軸矢量。試證明： 1 2 3 證： 1 2 由于a、b、c 的任意性，對V 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基底, i2, i3 取 編輯課件 a = i1, b = i2, c = i3 , 則： 又 3 編輯課件三、對稱二階張量特征值問題對稱二階張量是物理量中重要的一類二階量。如慣性張量 J、應(yīng)力張量 、應(yīng)變張量等。因此對稱二階張量的分析是二階張量分析的一個重要內(nèi)容。對稱二階張量的特征值問

9、題主要從兩個方面討論：一是對稱二階張量的特征值和特征矢量的性質(zhì)；二是對稱二階張量的譜表示。 定理： 實(shí)對稱二階張量的特征值為實(shí)數(shù)。且不同實(shí)特征值對應(yīng)的特征矢量相互正交。 證：設(shè) 。由特征方程（3.4-1） (a)A是實(shí)對稱二階張量，若二階張量的復(fù)共軛取為： 而矢量的復(fù)共軛取為：編輯課件又 (b)用 左點(diǎn)乘(a)式；u左點(diǎn)乘 (b)式，然后兩式相減得： 該式表明對稱實(shí)二階張量 A 的特征值（與非零特征矢量對應(yīng)的）是實(shí)數(shù)。對實(shí)對稱二階張量A，設(shè)其三個特征值分別為 1、2、3,與其對應(yīng)的特征矢量分別為u、v、w ，則： 當(dāng)123時： 兩式分別左點(diǎn)乘 u、v相減得： 編輯課件 由于12 ，因此上式要求

10、： 同理可有：最后得12 3 時：因此對二階實(shí)對稱張量A，若 A的三個特征值互不相等，則A有三個相互正交的特征矢量。且稱三個特征矢量方向?yàn)锳主向或主方向。 當(dāng)12= 3時： 取 另取與i1正交的單位矢量 r2、 r3 。且r2 r3。則 i1、 r2、 r3 是矢量空間V中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基底。二階對稱張量在這一組基底上可表示為：編輯課件 同理有： 最后得二階張量A在基底i1、 r2、 r3上的表示為： 二階對稱張量A的特征方程為： 該方程是關(guān)于 的分量 的齊次線性代數(shù)方程。 的不全為零解（非零解）的充分必要條件為： 或 顯然若要 ，則： 編輯課件 設(shè)：是r2、 r3平面內(nèi)的任意兩個相互正交的矢

11、量(a b) ，則： 以上分析表明：若對稱二階張量 A的特征值滿足 則與 。 對應(yīng)的特征矢量是 A的主向。且所有與 征矢量正交的矢量也都是A的主向。 對應(yīng)的特編輯課件當(dāng)1=2=3時：在 12 3中令 1=2=3，則二階對稱張量 A 可表示為： 因?yàn)閕1、 r2、 r3是相互正交的單位矢量，所以 是單位二階張量。因此： 顯然對任意矢量 u有： 這表明二階對稱張量A的三個特征值相等時，任意方向均是主向。編輯課件例19： 已知 試求A的特征值和主向（單位特征矢量）。 解：解之得： 設(shè)1、2、3對應(yīng)的特征矢量為 u1、v2、w3。且取： 當(dāng)1=3時： 編輯課件 關(guān)于 u1、u2、u3 的三個代數(shù)方程只

12、有兩個是獨(dú)的。也就是說關(guān)于 u1、u2、u3 兩個獨(dú)的線性代數(shù)方程只能給出這三個未知量的兩組關(guān)系。這里的二組關(guān)系取為用u1表示的u2(u1)和u3(u1)（用u2表示的u1(u2)和u3(u2) ; 用u3表示的u1(u3)和u2(u3) 。但必須注意不能用為零 ui表示另兩個 u的分量。如當(dāng)u1=0時只能用u2或 u3去表示 u1、u3或 u1、u2 ）。由方程解得：當(dāng)2=3時： 編輯課件由方程解得：當(dāng)3= -1時：由方程解得：編輯課件以上確定了A的特征值：及對應(yīng)的特征矢量但應(yīng)當(dāng)注意如果u是A的特征矢量，由 A u=u可-u也是 A的特征矢量。因此對此題中A的單位特征矢量取為： 編輯課件由實(shí)

13、對稱二階張量的特征值和特征矢量分析可知，任意實(shí)對稱二階張量 A 至少存在三個相互正交的特征矢量。若取三個相互正交的單位特征矢量為r1、r2、r3。那么在矢量空間V中可取標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系 o ; r1, r2, r3 。與基矢量r1、r2、r3對應(yīng)的坐標(biāo)軸稱為坐標(biāo)主軸。關(guān)于給定對稱實(shí)二階張量A的表示有：定理： 對任意給定二階實(shí)對稱張量 A。存在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基底，每一基矢量都是 A 的單位特征矢量 (r1, r2, r3) 。同時與基矢量r1, r2, r3相對應(yīng)的特征值 1, 2, 3是 A在基底 r1, r2, r3 構(gòu)成的二階張量基底 ri rj ( i , j = 1 , 2 , 3 )上全

14、部的非零分量。即：（3.4-14） 并稱實(shí)對稱二階張量的這種表示為譜表示。 1, 2, 3稱為二階張量A的譜。 編輯課件證： 設(shè)二階實(shí)對稱張量 A在標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系 o ; r1, r2, r3 中表示為： 用r1, r2, r3分別點(diǎn)乘以上三式得： 因此 A 可表示為： 當(dāng) 時： 當(dāng) 時： （3.4-15） （3.4-16） 編輯課件例20： 試求 的譜表示。 解：顯然u3為任意實(shí)數(shù)時都是方程組的解；而 u1、 u2則必須滿足方程：該方程關(guān)于 u1、 u2無非零解。因此最后得： 編輯課件該方程組的第三個方程：要求v3=0。而關(guān)于v1 、 v2的兩個方程為： ； 編輯課件該方程組的第三個方程：要

15、求w3=0。而關(guān)于w1 、 w2的兩個方程為： ； 最后得：其中： 編輯課件3.5 各向同性張量在很多的物理問題中，用以描述某一確定物理性質(zhì)的數(shù)學(xué)量張量（零階的標(biāo)量、一階的矢量等）必須能夠反應(yīng)該物理性質(zhì)的方向性。若某一物理性質(zhì)因方向的不同而發(fā)生變化（如木材在順紋方向和與順紋方向正交方向的力學(xué)性能的差異、復(fù)合或?qū)雍习逶诎迕娴姆较蚺c板正交方向的力學(xué)性能的差異等），則稱該物理性質(zhì)是各向異性的。顯然對名向異性物理性質(zhì)進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)量張量也必須反映這種依賴方向而變化的物理性質(zhì)。在數(shù)學(xué)上，張量的這種對方向的依賴性質(zhì)通過用以表示張量的坐標(biāo)系正交變換實(shí)現(xiàn)。 編輯課件設(shè)o ; i1, i2, i3 是矢量空間

16、V 中的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。則 r 階張量A可表示為： 當(dāng)o ; i1, i2, i3 在正交二階張量 Q作用下變換為 o ; Qi1, Qi2, Qi3 標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系時， r 階張量A有可表示為： （3.5-1） 顯然一般情況下：（3.5-2） 如果（3.5-2）的3 r個式子中有一個是左右兩邊不相等，則表明A至少在正交變換Q作用于標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系 o ; i1, i2, i3時依賴于坐標(biāo)變換，這時稱 r 階張量 A是各向異性的。如果所有正交變換 Q作用于標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系 o ; i1, i2, i3 時，（3.5-2）式的 3 r個式子左右兩邊均相等。則稱 r 階張量 A 或者說對所有正交坐標(biāo)變

17、換，張量 A的 3 r 個分量都保持不變時， r 階張量 A稱各向同性張量。 編輯課件例21 已知矢量 ；二階張量 。試求當(dāng)o ; i1, i2, i3 標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系在正交二階張量： 1 2 的變換下矢量u和二階張量 A的表達(dá)式。 解：1 顯然 。因此 u是一階各向異性張量(各向異性矢量) 。 但必須注意，盡管 ，但這并不說明A是各向 編輯課件同性的。A只有對所有正交坐標(biāo)變換（即對所有正交二階張量Q作用在o ; i1, i2, i3 的變換）都有： 時，A才是各向同性的二階張量。 2 顯然 。因此 u 是各向異性矢量。 顯然 ，其余的 因此 A 是各向異性二階張量。 編輯課件由例20可以看出

18、二階張量 A 在第一個正交變換下保持分量不變 ；而在第二個正交變換下其分量發(fā)生了變化。對一般 r階張量（并不是所有的r階張量）在某些特定的正變換時， 當(dāng)這些特定的正交二階張量作用在r階張量上時，張量的分量保持不變 。因此各向異性的張量能夠按某些正交二階張量分類。 設(shè) r 階張量 A在矢量空間V 中給定的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系o ; i1, i2, i3 下表示為： 對給定的正交二階張量Q，坐標(biāo)系o ; i1, i2, i3 在Q作用下變換為： A在 坐標(biāo)系下表示為： 編輯課件1橫觀各向異性： 若A在正交二階張量： （3.5-3） 的變換下（對任意的取值），的分量保持不變，則 A稱為 r 階橫觀各向異性

19、張量。 2正交各向異性： 若A在正交二階張量： （3.5-4） 分別作用的變換下，A的分量均保持不變。則 A稱為r 階正階正交各向異性張量。 3半各向同性： 若A在所有滿足： （3.5-5） 正交二階張量Q ( Q稱為真正交二階張量?；蚍Q旋轉(zhuǎn)正交二編輯課件階張量)變換下，其分量保持不變。則稱 A是 r階半各向同性張量?；蚍Q為各向同性偽張量。 例22： 試求橫觀各向異性二階張量A的表達(dá)式。 解：編輯課件編輯課件由 得： 編輯課件由于第一組的四個方程對任意都必須滿足。由第二組的四個方程可得：當(dāng) 時，/，/得： 顯然只有當(dāng) 最后得橫觀各向異性二階張量可表示為： 時，以上兩個表達(dá)成立。因此編輯課件以上按正交二階張量所表示的不同坐標(biāo)變換對各向異性張量進(jìn)行了分類。由此引入了橫觀各向異性張量和正交各向異性張量。這兩類各向異性張量在各向異性理論和復(fù)合材料力學(xué)中描述了材料性模量與方向的依賴關(guān)系。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（包括彈性力學(xué)和流體力學(xué)等）各向同性是重要的概念。下面給出描述各向同性物理性質(zhì)的各向同性張量的定理。 定理：對零階、一階、二階、四階張量有：1零階張量（數(shù)量）是各向異同性張量。 2零矢量是各向同性一階張量；