人教A版高中數(shù)學選擇性必修一《2.2.1直線的點斜式方程》教案

1、2.2.1直線的點斜式方程本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學習直線的點斜式方程。在求直線的方程中，直線方程的點斜式是基本的，直線方程的斜截式、兩點式都是由點斜式推出的。從一次函數(shù)y=kxb(k0)引入，自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題求直線的方程問題。在引入過程中，要讓學生弄清直線與方程的一一對應關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手。在推導直線方程的點斜式時，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程。充分體現(xiàn)坐標法建立方程的一般思路，為后續(xù)學習圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎。發(fā)展學生數(shù)學抽象、

2、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A.掌握直線方程的點斜式和斜截式,并會用它們求直線的方程.B.了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系.C.會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題.1.數(shù)學抽象：斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系 2.邏輯推理：直線點斜式和斜截式方程的推導 3.數(shù)學運算：求直線點斜式和斜截式方程 4.直觀想象：通過圖像 1.教學重點：掌握直線方程的點斜式并會應用2.教學難點：了解直線方程的點斜式的推導過程多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、情境導學 笛卡爾出生于法國，畢業(yè)于普瓦捷大學，法國著名哲學家、物理學家、數(shù)學家，被黑格爾稱為“近代哲學之

3、父”。 在笛卡爾之前，幾何與代數(shù)是數(shù)學中兩個不同的研究領(lǐng)域。他站在方法論的自然哲學的高度，認為希臘人的幾何學過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對于當時流行的代數(shù)學，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學”。 笛卡爾的思想核心是：把幾何學的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了“解析幾何學”。 我們知道給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線，這樣，在平面直角坐標系中給定一個點P0 x0,y0和斜率k就能唯一確定一條直線，也就是說這條直線上任意一點

4、坐標(x,y)與點P0的坐標x0,y0和斜率k之間的關(guān)系是完全確定的，那么這一關(guān)系如何表示呢？二、探究新知在平面直角坐標系中,直線l過點P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直線l上不同于P的任意一點,如圖所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐標來表示直線l的斜率y-3x-0=2,即得方程y=2x+3.這表明直線l上任一點的坐標(x,y)都滿足y=2x+3.那么滿足方程y=2x+3的每一組(x,y)所對應的點也都在直線l上嗎?一、直線的點斜式方程 名稱已知條件示意圖方程使用范圍點斜式點P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直線點睛1.點斜式應用的前提是直線的斜率

5、存在,若斜率不存在,則不能應用此式.2.點斜式方程中的點只要是這條直線上的點,哪一個都可以.3.當直線與x軸平行或重合時,方程可簡寫為y=y0.特別地,x軸的方程是y=0;當直線與y軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成x=x0.特別地,y軸的方程是x=0.1.直線l的點斜式方程是y-2=3(x+1),則直線l的斜率是()A.2B.-1 C.3 D.-3答案:C2.方程k=y-y0 x-x0與y-y0=k(x-x0)一樣嗎?答案:不一樣.后者表示過點(x0,y0)且斜率為k的一條直線,前者是這條直線上挖去了一個點(x0,y0).二、直線的斜截式方程 名稱已知條件示意圖方程使用范圍

6、斜截式斜率k和在y軸上的截距by=kx+b斜率存在的直線點睛 1.直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.2.截距是一個實數(shù),它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數(shù)、負數(shù)和0.當直線過原點時,它的橫截距和縱截距都為0.3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和縱截距,如直線y=2x-1的斜率k=2,縱截距為-1.3.直線l的斜截式方程是y=-2x+3,則直線l在y軸上的截距為.答案:34.一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b與直線的斜截式方程y=kx+b有什么不同?答案:一次函數(shù)的x的系數(shù)k0,否則就不是一次函數(shù)了;直線的斜截式方程y=kx+b中的k可以為0.三、根據(jù)直線的斜截式方程

7、判斷兩直線平行與垂直對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2;l1l2k1k2=-1.點睛：兩直線的斜率之積為-1,則兩直線一定垂直;兩條直線的斜率相等,兩直線不一定平行,還可能重合.5.已知直線l1:y=x+2與l2:y=-2ax+1平行,則a=.解析:由l1l2,得-2a=1,所以a=-12.答案:-12三、典例解析例1求滿足下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(2,-3),傾斜角是直線y=33x傾斜角的2倍;(2)經(jīng)過點P(5,-2),且與y軸平行;(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點.思路分析:先求出直線的斜率,然后由點斜式寫出方程. 解

8、:(1)直線y=33x的斜率為33,傾斜角為30.所求直線的傾斜角為60,其斜率為3.所求直線方程為y+3=3(x-2),即3x-y-23-3=0.(2)與y軸平行的直線,其斜率k不存在,不能用點斜式方程表示.但直線上點的橫坐標均為5,故直線方程可記為x=5.(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點的直線斜率kPQ=-4-35-(-2)=-77=-1.直線過點P(-2,3),由直線的點斜式方程可得直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0. 點斜式方程的求法(1)求直線的點斜式方程,關(guān)鍵是求出直線的斜率,所以,已知直線上一點的坐標及直線的斜率或直線上兩點坐標,均可求出直線的方程.(2)

9、斜率不存在時,可直接寫出過點(x0,y0)的直線方程x=x0.跟蹤訓練1 直線l1的傾斜角為135,直線l2經(jīng)過點B(-1,4).求滿足下列條件的直線l2的方程.(1)直線l2l1;(2)直線l2l1.解:(1)由已知直線l1的斜率k1=tan 135=-1.因為l2l1,所以直線l2的斜率k2=k1=-1.又直線l2經(jīng)過點B(-1,4),代入點斜式方程得y-4=-1x-(-1),即y=-x+3.(2)由已知直線l1的斜率k1=tan 135=-1.因為l2l1,所以直線l2的斜率k2=-1k1=1.又直線l2經(jīng)過點B(-1,4),代入點斜式方程得y-4=1x-(-1),即y=x+5.例2 求

10、滿足下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(0,-2),且與直線y=3x-5垂直;(2)與直線y=-2x+3平行,與直線y=4x-2在y軸上的截距相同.思路分析:寫出直線的斜率及在y軸上的截距,用斜截式寫出直線方程.解:(1)因為直線y=3x-5的斜率為3,且所求直線與該直線垂直,所以所求直線斜率為- 1 3又直線過點(0,-2),由直線方程的斜截式,得y=- 13x-2,即x+3y+6=0.(2)直線y=-2x+3的斜率為-2,直線y=4x-2在y軸上的截距為-2.由題意知,所求直線的斜率為-2,在y軸上的截距也為-2.由直線方程的斜截式,得y=-2x-2,即2x+y+2=0. 斜截式方程的求法

11、已知直線的斜率與y軸上的截距,可直接寫出直線的方程;已知直線的斜截式方程,可得直線的斜率與y軸上的截距.直線的斜截式方程形式簡單,特點明顯,是運用較多的直線方程的形式之一.跟蹤訓練2 已知斜率為-43的直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為6,求直線l的方程.解:設l:y=-43x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=34b.由題意,得12|b|34b=6,b2=16,b=4.故直線l的方程為y=-43x4.通過對解析幾何創(chuàng)始人，數(shù)學家笛卡爾的介紹，讓學生初步體會坐標法的思想方法，并提出問題，明確研究問題運用方程思想，求解直線點斜式方程。由坐標系中的直線，讓學生理解已知直線兩個要素，建立直線方

12、程的過程。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，讓學生加深對利用點斜式和斜截式求解直線方程的方法，提升運用能力。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進一步讓理解運用直線點斜式和斜截式方程的方法，提升推理論證能力，進一步體會坐標法解決問題的基本思想。三、達標檢測1已知直線的方程是y2x1，則()A直線經(jīng)過點(1,2)，斜率為1B直線經(jīng)過點(2，1)，斜率為1C直線經(jīng)過點(1，2)，斜率為1D直線經(jīng)過點(2，1)，斜率為1【答案】C方程可化為y(2)x(1)，所以直線過點(1，2)，斜率為1.選C.2直線yeq r(3)(x

13、eq r(3)的斜率與在y軸上的截距分別是()Aeq r(3)，eq r(3)Beq r(3)，3 Ceq r(3)，3 Deq r(3)，3【答案】B由直線方程知直線斜率為eq r(3)，令x0可得在y軸上的截距為y3.故選B.3已知直線l1過點P(2,1)且與直線l2：yx1垂直，則l1的點斜式方程為_【答案】y1(x2)直線l2的斜率k21，故l1的斜率為1，所以l1的點斜式方程為y1(x2)4已知兩條直線yax2和y(2a)x1互相平行，則a_. 【答案】1由題意得a2a，解得a1.5.無論k取何值,直線y-2=k(x+1)所過的定點是.【答案】(-1,2)6直線l經(jīng)過點P(3,4)，它的傾斜角是直線yeq r(3)xeq r(3)的傾斜角的2倍，求直線l的點斜式方程【答案】直線yeq r(3)xeq r(3)的斜率keq r(3)，則其傾斜角60，所以直線l的傾斜角為120.以直線l的斜率為ktan 120eq r(3).所以直線l的點斜式方程為y4eq r(3)(x3)通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。本課在求直線的方程中，直線方程的點斜式是基本的，直線方程的斜