高考數(shù)學文化題目的命制背景-推理與證明中的數(shù)學文化

1、高考數(shù)學文化題目的命制背景-推理與證明中的數(shù)學文化一.專題綜述以小題的形式，以古代有代表意義的猜想推理為背景考查數(shù)學文化相關知識，讓學生通過邏輯推理得到結論。預測：中外一些經(jīng)典的數(shù)學問題類題目.如：回文數(shù)、I匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等經(jīng)典數(shù)學小問題值得注意。二.典例分析例1. （2017南寧質檢）如圖所示是畢達哥拉斯（Pythagoras）的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4 095個正方形，設初始正方形的邊長為手，則最小正方形的邊長為.1【答案】64【解析】依題意？正方形的邊長構成以率為首項，公比為半的等比粼列，

2、因為共有4的5個正方形，則1+ 2+21+-+2E=4峪所以最小正方形的邊長為醇卷）1=隹=今I例2.在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的詳解九章算法（1261年）一書中，用如圖1所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家布萊士 帕斯卡的著作（1655年）介紹了這個三角形.近年來國外也逐 漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是 中國三角形（Chinese triangle）口圖1, 17世紀德國數(shù)學家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了 萊布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關系式：Cjn+C：IC： 1,其中n是行數(shù)，rCN.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關系式是

3、.I 1L 2 I14 6 4 1I E 10 I。5 JI 12211(363Illi4 12 iz 4J：_L1M而布面51 j_ j_ j_ j_ 16 而而前而匯C.1. ,C：高;ccz=cr;【解析】類匕LOT察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)會二，而相鉆兩項之和是上一行的兩者相拱 滂，故類比式子a+bJc霜,有7b誣島【規(guī)律總結】以古代數(shù)學知識為背景命制的題目常與現(xiàn)代數(shù)學知識有關，解題的關鍵是將數(shù)學史背景下的條件轉化為高中數(shù)學知識，考查考生的閱讀理解能力、抽象概括能力、轉化與化歸能力，既體現(xiàn)了對數(shù)學應用性的考查，也體現(xiàn)了我國數(shù)學文化的源遠流長.四.強化訓練1.12018河

4、南鄭州市第一中模擬】祖的I原理也就是等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數(shù)學家祖沖之的兒子祖咂首先提出來的，祖咂原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知，兩個平行平面間有三個幾何體，分別是三棱錐、四棱錐、圓錐（高度都為h）,其中：三棱錐的底面是正三角形（邊長為a）,四棱錐的底面是有如果截得個角為600的菱形（邊長為b）,圓錐的體積為V ,現(xiàn)用平行于這兩個平行平面的平面去截三個幾何體,的三個截面的面積相等，那么，,下列關系式正確的是（）4 x3V u 2、. 3V - exA.二,b =,a :b

5、 =2.1hh今,ba:b=1:2B.,a: b =、2 :1【解析】由祖Bit原理可知：三個幾何體的體積相等一設圓錐的底面半徑為h可得： -xhxa2 = -x/ixb1 =-xAxilt1 = V34323故選：C2.楊輝三角”又稱 賈憲三角”，是因為賈憲約在公元 1050年首先使用 賈憲三角”進行高次開,方運算，而楊輝在公 元1261年所著的詳解九章算法一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為開方作法本源”圖.下列數(shù)表的構造思路就源于 楊輝三角”該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）2017 2016 2015 201

6、46 3 4 3 2 14033 4O3L 4029II 9 7 5 3SOfrt 80做）20 16 12 8161243628 加A. 2017 22016B. 2018 22015 C. 2017 22015 D. 2018 22016【答案】B【解析】由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列， 且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,第2015行公差為22014 故第1行的第一個數(shù)為：2 M2第2行的第一個數(shù)為：3x2,第3行的第一個數(shù)為：4父21, 第 n行的第一個數(shù)為：（n+lW2n_2 （n+1）an-2,表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是2018 2215.圓周率是指

7、圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時期的數(shù)學家祖充之用割圓術”將圓周率算到了小數(shù)后面第七位，成為當時世界上最先進的成就，割圓術”是指用圓的內接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減小，如圖所示，當圓的內接正多邊形的邊數(shù)為72時，由 割圓術”可得圓周率的近似值可用代數(shù)式表示為（）A.B.【解析】諛圖的半徑為1,正多邊形的圖心角為籌邊長為dlLJ-b 1- cosOH） = 2血所以X 2siiiQ.25 = Nn,艮由i = 720sin0,25a故選：C.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他們研究過圖（1）中的1,3,6,10,，由于這

8、些數(shù)能夠表示成三角形，所以將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖（2）中的1,4,9,16,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）13610困14916圖（21A. 289 B. 1 024C. 1 225 D. 1 378【答案】C【解析】記三角形數(shù)構成的數(shù)列為%,則即=1, 31=3=1 + 2,35=6=1+2+3, 31=10=1 + 2+3+4,可得通項公式為獨二1 + 243+ . . + n=鞏）一2同理可得正方形數(shù)構成的數(shù)列的通項公式為也=nt將四個選項的數(shù)字分別代入上述兩個通項公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225.5.12018湖北八校聯(lián)考】我國南北朝時期的數(shù)

9、學家祖附I提出體積的計算原理（祖的I原理）： 幕勢既同，則積不容異”.勢”即是高，幕”是面積.意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線C的漸近線方程為y =2x , 一個焦點為（J5,0 ）.直線y = 0與y = 3在第一象限內與雙曲線及漸近線圍成如圖所示的圖形OABN ,則它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為 【答案】3二 2 y23 * .【解析】由題意可得雙曲線的萬程為x -、-=1, y=3在第一象限內與為If近線的交點N的坐標為.3,3 ,與412 ），、一，、，9 99 3 22雙曲線第一象限的交點 B的坐標為+-,-，記

10、y = 3與y軸交于點M ,因為n MB -n MA =冗，根據(jù) d 4 2；祖的I原理，可得旋轉體的體積為 3n ,故答案為3n .2_ , n n6.古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10,，第n個三角形數(shù)為 ，2記第n個k邊形數(shù)為N(n,k/k之3),以下列出了部分 k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：1 2123 21二角形數(shù)：N (n,3 )=2 n + 2 n ；正萬形數(shù)：N (n,4 )= n ;五邊形數(shù)：N (n,5 )= 2 n 一2 ；六邊形數(shù):2N(n,6)=2n n,由此推測 N (8,8)=.【答案】176解折】原已知式子可化為：N =(弭

11、3,：1 =22正方形數(shù)：N = ( 4 = ?+On五邊形額火 = 5.5)= ； 六邊形統(tǒng)由此推測由在內推理可得史一2 2 4-A +n故N區(qū)。=$工即+ +父8=17622.宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著四元玉鑒卷中 菱草形段”第一個問題 今有菱草六百八十束，欲令，落一形？垂(同垛)之.問底子(每層三角形邊菱草束數(shù)，等價于層數(shù))幾何？”中探討了 垛枳術”中的落一形垛(落一形”即是指頂上1束，下一層3束，再下一層6束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層葵草束數(shù))，則本問題中三角垛底層菱草總束數(shù)為.【答案】1201解析】試題分析，由題意,第n屋芟草束數(shù)為12一n (n+lj .n-：, 利用 +計計1 =6肛求出”即可得出結論.解：由題意，第n層菱草束數(shù)為1+2*-+n=n (1)上如_=680,2即為=* (n+1) (2n+1)(n+1) =n (n+1) (n+2) =680,即有 n (n+1) (n+2) =15X16X17,n=15, .1n (n+1)=120.故答案為：120孫子算經(jīng)中物不知數(shù)”問題的解法傳至歐于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之.中國剩余定理”又稱孫子定理” .185萍英國來華傳教偉烈亞利將洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關2 至 2017 這 2016為 中國剩