高考數(shù)學(xué)中地內(nèi)切球和外接球問題附習(xí)題

1、格式高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、 有關(guān)外接球的問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要 運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用一、直接法（公式法） 1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為. 27工.例2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一

2、球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為 . 43.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3 一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3 ,則此球的表面積為 .14例4、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為 4,體積為16,則這個(gè)球的表面積為（）.CA. 16 B. 20 C. 24D. 32專業(yè)資料格式3.求多面體的外接球的有關(guān)問題 例5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9 ,底面周8 TOC o 1-5 h z 長為3,則這個(gè)球的體積為解設(shè)正六棱柱的底面邊長為 x，高為h,則有6x

3、3,1一 _ x r-29326 x h, h 3. 843.外2，正六棱柱的底闔圓的半徑接球的半徑R 2 d .體積:r2一 一1一r ,球心到底面的距離d4V 3 .RV33小結(jié)本題是運(yùn)用公式222R r d求球的半徑的）該公式是求球的半徑的常用公式:、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體.9.F _ JL = 71例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ,則其外接球的表面積是例3 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 3 ,則其外接球的表面積是故其外接球的表面積S 4 R2 9小結(jié)：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c ,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方

4、體，于是長方體的專業(yè)資料WORD格式體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R ,專業(yè)資料格式尸222則有2R a b c出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為體對角線長為l a-a 2 b2 c2即 R = -2b2 c2,幾何體的外接球直徑為2R體對角線長l練習(xí)：在四面體知中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1, v6,3 ,若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。球的表面積為S4162R例6 一個(gè)四面體的所有棱長都為四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（A. 3B. 4C.D. 6A.（如圖2）例7在

5、等腰皮形ABCD中，AB=2DC=2 ,DAB=60中點(diǎn)，將 ADE與 BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的仍積為（fV兀所以專業(yè)資料4 3A. 276B. 26C. 86D.24解析：（如圖3）因?yàn)?AE=EB=DC=10, DAB= CBE= DEA=60 ）,即三棱錐P-DCE為正四面體，至此,WORD格式這與例6就完全相同了）故選 C.專業(yè)資料格式.一.一 .r八平面八r八例8 （2已知球O的面上四點(diǎn) A、B、C、D, DA A ABC , AB工BC ,DA=AB=BC= J3,則球O的體積等于解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出

6、球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA工平面ABC ,AB BC ,聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體，又因?yàn)镈A=AB=BC=，則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球V9的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球0的體積等于x .（如圖4）D2、例9 （2008年安徽高考題）已知點(diǎn) A、B、C、D在同一個(gè)球面上，A 產(chǎn)面 ，BC DC ,若AB =6, AC=2 /3，池=8 ,則球的體積是 B BCD解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求 B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出BOC即可，在RtABC

7、中，求出BC =4,所以-BO ,直 C=60 -714B、C兩點(diǎn)間的球面距離是3 .（如圖5）專業(yè)資料格式本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法例2 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積dWJflFMF-JIJlJIM為16,則這個(gè)球的表面積是A. 16B. 20C.24D.32 .選 C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.DCOiAB圖3四.尋求軸截面圓半徑法 例4 正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為解 設(shè)正四棱錐的底面中心為 Oi ,外接球

8、的球心為O,如圖1所示.，由球的截面的性質(zhì)，可得OO專業(yè)資料平面ABCDWORD格式專業(yè)資料格式一 C一平面 ACCCI 、,又S01ABCD , 球心O必在SO所在的直線上ikSC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就2 2 2SC AC .是外接球的半徑.在 AASC 中）由 SA = SC = 7 2, AC =2）得SA4 .故V球3“ASC AC AC為斜邊的RtAC12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該

9、方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們 學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4, BC3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B ACnABCD的外接球的體積為H125A. 1212591256125D.設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為0,則由矩形對角線互相平分，可知0A OB 0C 0D .，點(diǎn)0到四面體的四個(gè)頂點(diǎn) A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)0為四面體的外接球的球心，如圖2所示.，外接球的半徑專業(yè)資料格式R =OA =52 .故V TOC o 1-5 h z 4125一二 3 R36.選C.出現(xiàn)

10、兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。R4=/例耨125已和至棱聊四今廖離郡在球0的球面上，且, PB = 5，求球二所體極C 0解：7二 十 行且40?）AC2= PA2 +PC2 ,因?yàn)镻AL PC 所以知所比上A45C所磔可得圖形為:RPAC 中斜邊為二在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn) =三在 RtA%。中 opoboc所以在幾何體中 1 月 C =,即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。4.（陜西理？ 6） 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在

11、該球的一個(gè)大圓上,則該正三棱錐的體積專業(yè)資料格式3V123 3 BA.4答案 B5.直三棱柱ABC A B C的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若111AB AC AA1,BAC 120 ,則此球的表面積等于2解：在 ABC中AB AC 2 , BAC 120，可得 BC 2 3，由正弦定理 ，可得ABC外接圓半徑=r=2,設(shè)此圓圓心為O ,球而為二03在RT OBO中）易得球半徑R 5 7故此球的表面積為3.正三棱柱 ABC A B C內(nèi)接于半徑為1114 R2 20 .2的球，若A, B兩點(diǎn)的球面距離柱的體積為答案 84.表面積為2的體積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,71則此球r71A.

12、23【解析】此正八面體是每下面的邊長均為a的正三角形，所以由23a2 34a知，8,則此球的直徑為2，故選A。專業(yè)資料格式 TOC o 1-5 h z 6,已知正方體外接球的體積是32兀，那么正方體的棱長等于（）3一 2C 4 2A.2 2B. 2 oC，%一3一33V 4 3 D.3答案 D（2006山東卷） 正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（） 廠VVA. 1 ：3B, 1 ： 3C, 1 ： 3 3D. 1 ： 9答案 C（ 2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且9該六棱柱的體積為底面周長3,則選球的體積為8答案43

13、（2007天津理？ 12） 一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且 一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長別為2, 3,則此球的表面積為答案 14兀（2007全國 卿? 15） 一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面冰:為cm,那么該棱柱的表面積為c m2.專業(yè)資料格式答案 2 4 22的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐（ 2006遼寧） 如圖，半徑為P -ABCDEF ,則此正六棱錐的側(cè)面積是.答案 6 7棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考球面上）若過該球球心的一個(gè)截面如圖）則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是 答案 213.

14、 （2009 棗莊一模）71一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體2正血外接球的表眄積為MIfflB.C. 163D.以上都不對答案C7T14.設(shè)正方體的棱長為B.2 33,則它的外接球的表面積為（2 兀C. 4 兀 D. 43答案C專業(yè)資料20、人因?yàn)樾睦锊豢鞓?，才浪費(fèi)，是一種補(bǔ)償作用21、我要你知道，在這個(gè)世界上總有一個(gè)人是等著你的，不管在什么時(shí)候，不管在什么地方，反正你知道，總有這么個(gè)人。22、回憶這東西若是有氣味的話，那就是樟腦的香，甜而穩(wěn)妥，像記得分明的塊樂，甜而悵惘，像忘卻了的憂愁。23、對于三十歲以后的人來說，十年八年不過是指縫間的事，而對于年輕人而言，三年五年就可以是一生一世

15、。24、一般的說來，活過半輩子的人，大都有一點(diǎn)真切的生活經(jīng)驗(yàn)，一點(diǎn)獨(dú)到的見解。他們從來沒想到把它寫下來，事過境遷，就此湮沒了格式25、男人做錯(cuò)事，但是女人遠(yuǎn)兜遠(yuǎn)轉(zhuǎn)地計(jì)劃怎樣做錯(cuò)事。女人不大想到未來一一同時(shí)也努力忘記她們的過去一一所以天曉得她們到底有什么可想的!26、男人憧憬著一個(gè)女人的身體的時(shí)候，就關(guān)心到她的靈魂，自己騙自己說是愛上了她的靈魂。惟有占領(lǐng)了她的身體之后，他才能夠忘記她的靈魂。27、要是真的自殺，死了倒也就完了，生命卻是比死更可怕的，生命可以無限制地發(fā)展下去，變的更壞，更壞，比當(dāng)初想象中最不堪的境界還要不堪。28、太大的衣服另有一種特殊的誘惑性，走起路來，一波未平，一波又起，有人的

16、地方是人在顫抖，無人的地方是衣服在顫抖，虛虛實(shí)實(shí)，極其神秘。29、因?yàn)槎?，所以慈悲?0、這世上沒有一樣感情不是千瘡百孔的專業(yè)資料格式想要忘記一段感情，方法永遠(yuǎn)只有一個(gè)：時(shí)間和新歡。要是時(shí)間和新歡也不能讓你忘記一段感情，原因只有一個(gè)：時(shí)間不夠長，新歡不瞰張小嫻面包樹上的女人 TOC o 1-5 h z 假如沒有遇上你，我會(huì)不會(huì)有另一種人生？不管有沒有結(jié)果，我還是寧愿與你相逢。張小嫻只是希望能有個(gè)人，在我說沒事的時(shí)候，知道我不是真的沒事；能有個(gè)人，在我強(qiáng)顏歡笑的時(shí)候，知道我不是真的開心。張小嫻有一些人，這輩子都不會(huì)在一起，但是有一種感覺卻可以藏在心里，守一輩子？ ？張小嫻愛情是一百年的孤獨(dú)，直到遇上那個(gè)矢志不渝的守護(hù)你的人，那一刻，所有苦澀的孤獨(dú)，都有了歸途張小嫻我終究是愛你的當(dāng)你想念一個(gè)人的時(shí)候，盡情去想念吧，也許有一天，你再也不會(huì)如此想念他了。到了那一天，你會(huì)想念曾經(jīng)那么想念一個(gè)人的滋味。當(dāng)你愛一個(gè)人的時(shí)候，盡情去愛吧，也讓他